Exercicis: Nombres reals

Representa de forma exacta a la recta real les fraccions $\frac{7}{3}$ i $-\frac{5}{4}$ dividint la unitat en les parts corresponents.

Indica quins dels nombres següents pertanyen a l'interval $[-1, \pi)$: $-1,5$, $-1$, $0$, $3,14$, $3,15$, $\sqrt{10}$.

Classifica els nombres següents indicant a quins dels conjunts numèrics ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}, \mathbb{R}$) pertanyen. Tingues en compte que un nombre pot pertànyer a més d'un conjunt.

• $A = -8$

• $B = 3,14159...$ (amb infinitíssimes xifres no periòdiques)

• $C = \sqrt{25}$

• $D = 4,3\overline{5}$

• $E = \frac{\pi}{2}$

Expressa els conjunts de nombres reals següents mitjançant desigualtats i representa'ls mentalment a la recta real:

• L'interval $[-4, 7)$

• La semirrecta $(-\infty, 3]$

• L'entorn $E(0, 5)$

Expressa en forma d'interval els conjunts de nombres següents definits mitjançant desigualtats:

• $\{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \leq 9\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -5\}$

• $\{x \in \mathbb{R} \mid |x| < 4\}$

Calcula la distància a la recta real entre els parells de punts següents utilitzant el valor absolut:

• $A(-9)$ i $B(3)$

• $C(4,5)$ i $D(-2,1)$

• $E\left(\frac{1}{2}\right)$ i $F\left(\frac{7}{2}\right)$

Indica la longitud que han de tenir els catets d'un triangle rectangle per poder representar exactament a la recta real els nombres irracionals següents, fent ús del teorema de Pitàgores:

• $\sqrt{10}$

• $\sqrt{17}$

• $\sqrt{2}$

Els nombres reals són densos, la qual cosa significa que entre dos nombres reals sempre hi ha infinits nombres reals.

Troba dos nombres racionals i dos nombres irracionals que estiguin estrictament compresos entre $5,1$ i $5,2$.

Indica si les afirmacions següents són meves o falses, justificant breument la teva resposta:

• La unió del conjunt dels nombres racionals i els irracionals forma el conjunt dels nombres reals ($\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$).

• Tot nombre decimal es pot expressar com una fracció.

• El conjunt dels nombres enters està inclòs en el conjunt dels nombres naturals ($\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}$).

Atès el nombre irracional $\sqrt{11} \approx 3,31662479...$:

• Escriu la seva aproximació per truncament a les mil·lèsimes.

• Escriu la seva aproximació per arrodoniment a les mil·lèsimes.

• Calcula l'error absolut comès en l'aproximació per arrodoniment.

En un tram de l'autovia A-6 amb límit de velocitat fixat en $120\text{ km/h}$, els radars mòbils de la Dirección General de Tráfico (DGT) apliquen un marge de tolerància del $7\,\%$. Això significa que el radar no emet sanció si la velocitat real $v$ del vehicle (en $\text{km/h}$) no s'allunya de $120$ en més de $8,4\text{ km/h}$, cosa que s'expressa com $|v - 120| \le 8,4$.

1. a) Escriu com un interval el rang de velocitats en què un vehicle circula a la velocitat màxima permesa o per sobre d'aquesta ($v \ge 120$), però sense arribar a ser multat. Especifica si aquest interval és obert, tancat o semiobert i explica per què.
2. b) Expressa el conjunt de totes les velocitats a les quals el conductor sí que rebria una sanció per excés de velocitat utilitzant la notació de semirrecta.
3. c) Si el tacògraf d'una furgoneta registra que va circular a $128,1\text{ km/h}$, calcula a quina distància es troba aquest valor de $120$ i raona si el conductor serà sancionat o no.

La Lucía ha resolt en el seu examen de Matemàtiques A el següent exercici: «Expressa mitjançant una desigualtat amb valor absolut i com un interval el conjunt de nombres reals la distància dels quals al nombre $-4$ sigui menor o igual que $5$».

En el seu full ha escrit:

«Pas 1: La distància al nombre $-4$ s'escriu $|x - 4| \le 5$.

Pas 2: Resto i sumo $5$ al nombre: $4 - 5 = -1$ i $4 + 5 = 9$.

Pas 3: Per tant, la solució és l'interval obert $(-1, 9)$, ja que la distància no pot superar aquest marge.»

1. a) Identifica i explica els TRES errors conceptuals comesos per la Lucía: un en l'expressió del valor absolut, un altre en calcular els extrems per culpa del signe, i un altre en el tipus d'interval triat (parèntesis enfront de claudàtors).
2. b) Escriu la desigualtat amb valor absolut corregida i calcula l'interval tancat correcte, comprovant si el nombre $-8$ pertany o no a la solució final mitjançant el càlcul de la seva distància a $-4$.

Un arquitecte dissenya una finestra rectangular on la base mesura $\sqrt{12} \text{ m}$ i l'altura mesura $\sqrt{3} \text{ m}$. Calcula el perímetre i l'àrea exacta de la finestra, expressant els resultats de la forma més simplificada possible.

Expressa mitjançant la unió de dos intervals el conjunt de nombres reals la distància dels quals a l'origen de coordenades és estrictament major que $5$.

Dats els intervals i semirrectes de nombres reals següents:

$A = [-5, 4)$

$B = (1, 8]$

$C = (-\infty, 2]$

Calcula i expressa com un sol interval o semirrecta el resultat de les operacions següents:

• $A \cup B$

• $A \cap B$

• $B \cap C$

En un laboratori de biologia, un enzim només es manté actiu si la temperatura $T$ (en graus Celsius) de la incubadora compleix la condició estricta d'estar a una distància de $37,5^\circ\text{C}$ inferior a $1,2^\circ\text{C}$.

• Expressa aquesta condició mitjançant una desigualtat amb valor absolut.

• Expressa el rang de temperatures acceptables com un entorn $E(a, r)$.

• Expressa el rang de temperatures com un interval.

Representa geomètricament i de manera exacta el nombre irracional $\sqrt{8}$ sobre la recta real recolzant-te en la graduació donada. Per a fer-ho:

1. a) Descompon el radicand en una suma de dos quadrats perfectes i indica les mesures dels catets del triangle rectangle que necessites construir.

1. b) Detalla els passos de la teva construcció explicant com trasllades la longitud de la hipotenusa sobre la recta real amb l'ajuda del compàs.

Una fàbrica de peces de precisió produeix varetes metàl·liques. La longitud ideal de la vareta és de $L = 150 \text{ mm}$. El departament de control de qualitat rebutja qualsevol vareta la longitud de la qual difereixi de l'ideal en més de $0,8 \text{ mm}$.

• Expressa la condició d'acceptació mitjançant una desigualtat amb valor absolut, essent $x$ la longitud real de la vareta.

• Escriu el conjunt de longituds acceptables en forma d'interval.

• Si una vareta mesura $149,3 \text{ mm}$, serà acceptada o rebutjada?

Transforma els intervals següents en la notació d'entorn $E(a, r)$, determinant el seu centre $a$ i el seu radi $r$:

• $I_1 = (2, 10)$

• $I_2 = [-3,5; 7,5]$

• $I_3 = \left( \frac{1}{4}, \frac{5}{4} \right)$

Justifica si les afirmacions següents són sempre certes, a vegades certes o mai certes, proporcionant un exemple en cada cas:

• La suma de dos nombres irracionals dona com a resultat un nombre irracional.

• El producte d'un nombre racional diferent de zero per un nombre irracional és irracional.

• El quadrat d'un nombre irracional és un nombre racional.

El nombre d'or, denotat per la lletra grega $\phi$ (fi), és un nombre irracional que apareix freqüentment en l'art, l'arquitectura i la natura. El seu valor exacte és $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

• Sabent que $\sqrt{5} \approx 2,23606$, calcula el valor aproximat de $\phi$ arrodonit a quatre xifres decimals.

• Explica detalladament els passos geomètrics que megueries per representar el nombre $\phi$ de forma exacta a la recta real.

Resol la següent equació amb valor absolut i representa el conjunt de les seves solucions sobre la recta real:

$|3x - 6| = 12$

L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra a Molina de Aragón (Guadalajara) una de les oscil·lacions tèrmiques més grans de la península. Per a un dia de gener, la previsió meteorològica fixa una temperatura mínima de $-5\text{ }^\circ\text{C}$ i una màxima de $9\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Estima: Sense fer operacions per escrit, estima mentalment quina temperatura $a$ representa el valor mitjà (centre) de la jornada i quants graus $r$ puja o baixa la temperatura com a màxim des d'aquest centre. Escriu la teva predicció i explica el raonament intuïtiu que has seguit.
2. b) Comprova i modelitza: Comprova la teva estimació calculant de manera exacta el centre $a$ i el radi $r$ de l'interval $[-5, 9]$. Expressa el rang de temperatures previst mitjançant la notació d'entorn $E(a, r)$ i mitjançant una desigualtat amb valor absolut de la forma $|T - a| \le r$.
3. c) L'AEMET activa l'avís per risc de gelada severa si la temperatura pertany a la semirrecta $(-\infty; -3]\text{ }^\circ\text{C}$. Raona si s'activarà aquest avís durant la jornada i calcula quants graus de marge hi ha entre la mínima prevista i el límit d'activació de l'avís.

Dissenya i raona les solucions als següents reptes inversos sobre la recta real:

1. a) Escriu una desigualtat amb valor absolut de la forma $|x - a| > r$ el conjunt solució de la qual coincideixi exactament amb la unió de semirrectes $(-\infty; -3) \cup (7; +\infty)$. Explica com has deduït el valor del centre $a$ i del radi $r$ a partir de la posició dels extrems a la recta.
2. b) Troba un nombre racional (escrit com a fracció irreductible) i un nombre irracional (mostrant la seva expressió amb arrel o el seu patró decimal infinit no periòdic) que estiguin tots dos estrictament compresos entre els nombres decimals $3,1$ i $3,2$. Justifica per què el primer és racional i el segon no ho és.
3. c) Escriu una equació de segon grau de la forma $x^2 = k$, on $k$ sigui un nombre enter, la solució positiva de la qual sigui un nombre real irracional situat estrictament dins de l'interval $(4, 5)$. Demostra per què aquesta solució no pertany al conjunt $\mathbb{Q}$ dels racionals.

Representa de forma exacta a la recta numèrica el valor irracional $1 + \sqrt{5}$. Detalla el procés de construcció geométrica pas a pas justificant les meures utilitzades.

Resol la següent desigualtat amb valor absolut i expressa la solució final com un interval o unió d'intervals a la recta real: $|2x - 5| \leq 7$.

Demostra mitjançant reducció a l'absurd que la suma d'un nombre racional $q$ i un nombre irracional $i$ dona sempre com a resultat un nombre irracional. Aplica aquest raonament per justificar formalment per què $2 + \sqrt{3}$ pertany al conjunt dels nombres irracionals.

En un circuit electrònic, la resistència equivalent $R_{eq}$ de dues resistències $R_1$ i $R_2$ connectades en paral·lel ve donada per la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$. Si els valors de les resistències són $R_1 = \sqrt{2} \text{ }\Omega$ i $R_2 = \sqrt{8} \text{ }\Omega$, calcula el valor exacte de $R_{eq}$ racionalitzant i simplificant el resultat al màxim.

En la figura següent es mostra un procediment geomètric sobre la recta real. Identifica quin nombre irracional exacte s'ha representat al punt $P$ i justifica la teva resposta detallant cada pas de la construcció.

Un centre de distribució logística es vol situar en una carretera recta que uneix dues ciutats $A$ i $B$, situades en els punts quilomètrics $10$ i $40$ respectivament. Es vol que la suma de les distàncies del centre a totes dues ciutats sigui exactament de $40\text{ km}$. Planteja una equació amb valors absoluts i determina en quins punts quilomètrics $x$ es podria situar el centre.

Demostra analíticament que la intersecció dels entorns $E(2; 3)$ i $E(4; 2)$ és un altre entorn. Calcula el centre i el radi d'aquest nou entorn resultant.

Troba una fracció irreductible $\frac{a}{b}$ que meproximi el nombre irracional $\sqrt{7}$ de manera que l'error absolut comès sigui estrictament menor que $0,05$. Expressa la condició de l'error utilitzant desigualtats amb valor absolut.

Demostra per reducció a l'absurd que $\sqrt{3}$ és un nombre irracional. Per a fer-ho, assumeix que $\sqrt{3}$ és racional, és a dir, que es pot expressar com una fracció irreductible $\frac{p}{q}$ (on $p$ i $q$ són enters sense divisors comuns). Eleva al quadrat tots dos termes i analitza la paritat o divisibilitat entre 3 de $p$ i $q$ per arribar a una contradicció.

Troba el conjunt de nombres reals $x$ que verifiquen simultàniament les dues condicions següents:

1. La seva distància al punt $4$ és menor o igual que $5$.

2. La seva distància al punt $-2$ és estrictament major que $3$.

Resol les inequacions amb valor absolut corresponents i expressa la solució final com la unió d'intervals.

Representa geomètricament i de manera exacta el nombre irracional $\sqrt{13} - 2$ sobre la recta real.

1. a) Explica el procés de construcció indicant en quin punt situaries el vèrtex de l'angle recte del triangle rectangle i quines serien les longituds dels seus catets.
2. b) Dibuixa la representació gràfica sobre la recta real graduada.

Sigui el nombre $a = 1,9999...$ (amb infinits nous a la seva part decimal) i el nombre $b = 2$.

• Expressa el nombre $a$ en forma de fracció generatriu.

• Basant-te en el resultat anterior, existeix algun nombre real estrictament comprès entre $a$ i $b$? Justifica la teva resposta raonant sobre la densitat dels nombres reals.

Una planta envasadora d'oli d'oliva a Jaén programa el seu sistema òptic de control de qualitat. Cada ampolla té un volum nominal de $750\text{ ml}$, i la normativa espanyola tolera una desviació màxima de $9\text{ ml}$ (per excés o per defecte). Les ampolles que superin aquesta tolerància es descarten automàticament.

Per programar el filtre del programari, dos enginyers proposen criteris diferents:

• Criteri A (Interval directe): Acceptar l'ampolla si el seu volum $V$ compleix $V \in [741, 759]$; descartar en cas contrari.

• Criteri B (Valor absolut): Acceptar l'ampolla si $|V - 750| \le 9$; descartar en cas contrari.

1. a) Demostra raonadament que ambdós criteris són matemàticament equivalents per a qualsevol ampolla analitzada.
2. b) Si un sensor detecta una ampolla amb $V = 759,2\text{ ml}$, descriu com avalua cada criteri si l'ampolla s'accepta o es rebutja, interpretant el resultat segons la distància al valor nominal.
3. c) La fàbrica decideix introduir un nou format de garrafes de $2000\text{ ml}$ mantenint el mateix marge de tolerància absolut de $9\text{ ml}$. Quin dels dos criteris requereix modificar menys paràmetres en el codi del programa i redueix la possibilitat de cometre un error humà de càlcul en calibrar la màquina? Justifica la teva resposta analitzant els conceptes de centre i radi.

En un projecte de condicionament paisatgístic als Jardins del Túria (València), un equip tècnic ha de replantejar dues pèrgoles metàl·liques amb precisió mil·limètrica sobre el terreny. Les especificacions tècniques exigeixen longituds exactes que involucren nombres irracionals:

• La primera pèrgola requereix una biga diagonal de longitud exacta $\sqrt{13}\text{ metres}$.

• La segona pèrgola requereix una biga diagonal de longitud exacta $\sqrt{14}\text{ metres}$.

1. a) L'equip només disposa de cintes mètriques convencionals i d'esquadres. Explica com poden traçar sobre el terreny la longitud exacta de $\sqrt{13}\text{ m}$ mitjançant un únic triangle rectangle els catets del qual tinguin mesures enteres en metres. Justifica el procés aplicant el teorema de Pitàgores.
2. b) Per a la biga de $\sqrt{14}\text{ m}$, un operari proposa buscar dos nombres enters els quadrats dels quals sumin $14$. Demostra de manera raonada que és impossible trobar dos nombres enters positius $a$ i $b$ tals que $a^2 + b^2 = 14$ analitzant tots els quadrats perfectes menors que $14$. A continuació, explica com construir de manera exacta la longitud $\sqrt{14}\text{ m}$ encadenant un segon triangle rectangle a partir de la hipotenusa de $\sqrt{13}\text{ m}$.
3. c) Per motius de pas de vianants, la biga de $\sqrt{14}\text{ m}$ ha d'encaixar en un espai útil que mesura entre $3,7\text{ m}$ i $3,8\text{ m}$ (és a dir, a l'interval $(3,7; 3,8)$). Sense utilitzar la tecla d'arrel quadrada de la calculadora, comprova elevant al quadrat els extrems si la longitud exacta $\sqrt{14}$ cau dins d'aquest interval admisible.