Exercicis: Funció exponencial

En estudiar les traslacions de funcions elementals, un estudiant afirma que la gràfica de $y = 3^{x+2}$ s'obté desplaçant la gràfica original de $y = 3^x$ dues unitats cap a la dreta. Corregeix aquesta afirmació indicant el sentit del desplaçament real.

En simplificar l'expressió d'una funció exponencial $f(x) = 2^x \cdot 2^3$, un alumne obté com a resultat $f(x) = 4^{x+3}$. Explica quina propietat de les potències ha aplicat incorrectament en manipular les bases i escriu l'expressió simplificada correcta.

Indica quines de les expressions algebraiques següents corresponen a una funció exponencial i justifica la teva resposta:

1. a) $f(x) = x^3$
2. b) $g(x) = 3^x$
3. c) $h(x) = 3x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
5. e) $j(x) = 1^x$

Donada la funció exponencial $f(x) = 4^x$, calcula els valors de la funció per a $x = -2$, $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$ i $x = 2$. Expressa els resultats en forma de fracció irreductible quan sigui necessari.

Classifica les funcions exponencials següents en creixents o decreixents, justificant la teva decisió en funció del valor de la seva base:

1. a) $f(x) = 1,8^x$
2. b) $g(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^x$
3. c) $h(x) = 0,3^x$
4. d) $i(x) = \left(\frac{7}{4}\right)^x$

La gràfica d'una funció exponencial de la forma $f(x) = a^x$ passa pel punt $(3, 125)$. Determina el valor de la base $a$ i escriu l'expressió algebraica de la funció.

En un laboratori s'està estudiant el creixement d'un cultiu de bacteris. Inicialment s'introdueixen $50$ bacteris en una placa de Petri i s'observa que el seu nombre es duplica cada hora. Escriu la funció $P(t)$ que proporciona el nombre de bacteris en funció del temps $t$ (en hores) i calcula quants n'hi haurà al cap de $4$ hores.

Observa les gràfiques de les funcions exponencials representades en els panells A i B. Una correspon a $f(x) = 3^x$ i l'altra a $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x$. Assigna cada expressió a la seva gràfica corresponent i explica quina relació geomètrica existeix entre totes dues.

Determina el domini, el recorregut i l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció exponencial $f(x) = 2,5^x$. Talla aquesta funció l'eix d'abscisses en algun punt? Raona la teva resposta.

Completa una taula de valors per a la funció $f(x) = 5^{-x}$ prenent els valors enters de $x$ des de $-2$ fins a $2$. Escriu una funció exponencial equivalent a $f(x)$ però que tingui l'exponent positiu.

Tipus: ERROR D'ALTRI. En Marcos vol calcular com perd valor una furgoneta de repartiment a Madrid que va tenir un preu inicial de $24\,000$ €. Al concessionari li indiquen que el valor comptable del vehicle es deprecia un $15\%$ cada any, responent a la funció exponencial $V(t) = 24\,000 \cdot 0{,}85^t$, on $t$ és el temps en anys transcorreguts. En Marcos fa el raonament següent a la seva llibreta: «Si cada any perd un $15\%$, al cap de $7$ anys haurà perdut en total un $7 \cdot 15\% = 105\%$ del seu valor original. Per tant, als $7$ anys el vehicle valdrà un $5\%$ negatiu, és a dir, $V(7) = -1200$ €».\na) Localitza i explica l'error conceptual que comet en Marcos en acumular els percentatges de pèrdua.\nb) Explica, a partir de la definició de funció exponencial i de la seva asímptota horitzontal, per què el valor obtingut mitjançant $V(t)$ mai no pot arribar a ser negatiu ni anul·lar-se.\nc) Corregeix el càlcul d'en Marcos determinant el valor real estimat de la furgoneta als $7$ anys (arrodoneix el resultat als cèntims d'euro).

Tipus: MODELITZA. Segons dades de l'Instituto Nacional de Estadística (INE), un municipi del medi rural a Sòria tenia $1250$ habitants a 1 de gener de 2018. A causa de la despoblació i de l'envelliment demogràfic, el seu padró es redueix de manera constant a un ritme aproximat del $4\%$ anual.\na) Escriu l'expressió analítica de la funció exponencial $P(t)$ que modelitza el nombre estimat d'habitants en funció dels anys transcorreguts $t$ des de 2018.\nb) Identifica la base $a$ de la teva funció. Justifica per què es tracta d'una funció decreixent relacionant-ho amb el valor d'aquesta base.\nc) Calcula la població projectada per a l'any 2026 arrodonint al nombre enter de persones més proper. Arribarà en algun moment la funció matemàtica a predir exactament $0$ habitants? Raona la teva resposta contrastant el que indica l'asímptota horitzontal del model matemàtic amb el que passarà inevitablement en la realitat humana del poble.

Una família diposita $6000$ euros en un compte d'estalvi que ofereix un interès compost anual del $2,5\%$. Escriu la funció $C(t)$ que expressa el capital acumulat al cap de $t$ anys. Quin serà el saldo del compte després de $8$ anys si no es fa cap moviment? Arrodoneix el resultat a dues xifres decimals.

A partir de la funció $f(x) = 2^x$, explica quines transformacions geomètriques (traslacions) cal aplicar per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = 2^{x-3} + 4$. Indica quina és l'equació de l'asímptota horitzontal de la funció $g(x)$.

El preu d'un component tecnològic es devalua amb el temps segons una funció exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, on $t$ es mesura en anys. Si el component costava $800$ euros quan era nou ($t=0$) i al cap de $2$ anys el seu valor és de $450$ euros, calcula els valors exactes de $k$ i $a$. Quin serà el seu valor als $4$ anys?

Una substància radioactiva perd la meitat de la seva massa cada $15$ dies. Si en el moment inicial hi ha una mostra de $200$ grams, escriu la funció $M(t)$ que modelitza la massa restant en funció del temps $t$ (en dies). Quants grams quedaran exactament després de $60$ dies?

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció exponencial $f(x) = 3^x$ en els intervals $[1, 2]$ i $[2, 3]$. Què observes en comparar tots dos resultats? Què indica això sobre el ritme de creixement de la funció exponencial en comparació amb una funció lineal?

La gràfica següent correspon a una funció exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observant l'asímptota horitzontal i els punts destacats a la corba, determina els valors dels paràmetres $p$ i $q$, i escriu l'expressió analítica completa de la funció.

Una notícia falsa es difon en una xarxa social seguint un model exponencial $N(t) = 15 \cdot 1,4^t$, on $N(t)$ és el nombre de persones que coneixen la notícia i $t$ és el temps transcorregut en hores. Quantes persones coneixien la notícia a l'inici de la mesura? Quantes la coneixeran al cap de $6$ hores? (Arrodoneix al nombre enter més pròxim).

Troba analíticament les coordenades dels punts de tall amb els eixos cartesians de la funció exponencial $f(x) = 3^{x+2} - 27$.

Tipus: PROBLEMA INVERS. En un assaig clínic sobre l'eliminació d'un analgèsic en l'organisme, se sap que la quantitat de principi actiu residual en sang $C(t)$ (en mil·ligrams) segueix una funció exponencial de la forma $C(t) = C_0 \cdot a^t$, on $t$ representa el temps en hores des de la seva ingestió. Per una fallada de registre informàtic s'han extraviat les dades dels paràmetres $C_0$ i $a$, però es conserven dues mesures exactes a l'historial: en l'instant inicial ($t = 0$) la quantitat era de $600$ mg, i exactament al cap de $3$ hores la quantitat restant era de $75$ mg.\na) Determina raonadament el valor del paràmetre inicial $C_0$ i troba el valor exacte de la base $a$. Escriu a continuació la fórmula completa de la funció $C(t)$.\nb) A partir del valor de $a$, indica quin percentatge del fàrmac present a l'organisme s'elimina cada hora.\nc) Si el medicament deixa de fer efecte terapèutic quan la quantitat residual cau per sota de $10$ mg, fes un tempteig justificat avaluant la funció en valors enters de $t$ per esbrinar entre quines dues hores consecutives deixa de ser eficaç el tractament.

Tipus: MODELITZA. L'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra al nivell del mar a les illes Canàries una pressió baromètrica estàndard de $1013$ hPa (hectopascals). En ascendir en altitud, la densitat de l'aire disminueix i la pressió atmosfèrica es redueix aproximadament un $12\%$ per cada quilòmetre d'elevació, seguint la funció $P(h) = 1013 \cdot 0{,}88^h$, on $h$ és l'altitud en quilòmetres.\na) El centre de visitants del Parc Nacional del Teide se situa a $2$ km d'altitud, i el cim del volcà es troba a uns $3{,}7$ km. Calcula la pressió atmosfèrica aproximada en tots dos punts arrodonint a les unitats enteres d'hPa.\nb) En pujar del nivell del mar ($h = 0$) a $1$ km d'altitud la pressió cau més de $120$ hPa, mentre que en passar de $3$ km a $4$ km d'altitud la pressió cau en menys de $85$ hPa. Justifica aquest fenomen recolzant-te en les propietats gràfiques de la funció exponencial decreixent.\nc) Un equip oceanogràfic se submergeix a $1$ km sota el nivell del mar a les costes d'El Hierro. Té sentit matemàtic avaluar $P(-1)$ en la funció donada? Té sentit físic interpretar aquest resultat com la pressió real sota l'aigua? Justifica la teva resposta distingint entre el domini matemàtic abstracte i l'àmbit de validesa d'un model real.

Determina i justifica per a quins valors del paràmetre $m$ la funció $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una funció exponencial strictly decreixent. Tingues en compte les condicions algebraiques que ha de complir la base d'una funció exponencial d'aquest tipus.

En un ecosistema conviuen dues espècies d'insectes. La població de l'espècie A ve donada per $P_A(t) = 500 \cdot 4^t$, i la de l'espècie B per $P_B(t) = 32000 \cdot 0,5^t$, essent $t$ el temps en mesos. En quin instant $t$ totes dues poblacions tindran exactament el mateix nombre d'individus? Resol-ho plantejant i resolent l'equació exponencial corresponent.

Observa la gràfica de la funció exponencial, la qual té una expressió algebraica de la forma $f(x) = k \cdot a^x + c$. Identifica l'equació de l'asímptota horitzontal per deduir el valor de $c$, i utilitza les coordenades dels punts destacats a la figura per plantejar un sistema d'equacions que et permeti calcular els paràmetres $k$ i $a$. Escriu l'expressió final de la funció.

Estudia la continuïtat de la funció definida a trossos següent en el punt $x = 2$:

$f(x) = \begin{cases} 3^{x-1} + 2 & \text{si } x \le 2 \\ m \cdot x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Troba el valor exacte del paràmetre $m$ perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini $\mathbb{R}$.

Segons la llei de refredament de Newton, la temperatura d'un objecte col·locat en una habitació a temperatura constant es modelitza mitjançant una funció exponencial. Una tassa de cafè acabada de fer segueix la funció $T(t) = 22 + 68 \cdot 0,85^t$, on $T$ és la temperatura en graus Celsius i $t$ el temps en minuts.

1. a) Quina és la temperatura inicial del cafè?
2. b) Quina és la temperatura ambient de l'habitació? (Pista: analitza la tendència de la funció quan el temps $t$ es fa immensament gran).
3. c) Quina temperatura tindrà el cafè als $10$ minuts?

Donades les funcions $f(x) = 2^x$ i $g(x) = 4 - x^2$, raona gràficament quants punts de tall tenen. A continuació, comprova mitjançant assaig i error (tanteig) entre quins nombres enters consecutius es troben les abscisses d'aquests punts d'intersecció, provant amb valors enters petits.

Una empresa de màrqueting ofereix dos plans de remuneració als seus comercials. El Pla A consisteix en un salari base de $1000$ euros el primer mes, més un augment fix de $200$ euros per cada mes addicional d'antiguitat. El Pla B ofereix un salari inicial de $100$ euros el primer mes, però la quantitat es multiplica per $1,5$ cada mes. Escriu les funcions $S_A(t)$ i $S_B(t)$ (essent $t$ el número del mes) i determina, calculant els valors mes a mes, a partir de quin mes el Pla B resulta estrictament més rendible que el Pla A.

La massa $M$ en grams d'un isòtop radioactiu disminueix amb el temps $t$ (en anys) segons l'expressió $M(t) = M_0 \cdot 3^{-t/20}$, on $M_0$ és la massa inicial. Si es sap que quan han passat $40$ anys queden exactament $15$ grams d'isòtop, calcula la massa inicial $M_0$. Quants grams quedaran quan hagin transcorregut $60$ anys en total?

Tipus: TRIA EL MÈTODE. Una empresa de repartiment en bicicleta i furgoneta de València adquireix un vehicle comercial per $32\,000$ €. Per calcular el balanç del seu patrimoni al llarg dels propers anys, el gestor dubta entre dos mètodes d'amortització comptable:\n- Mètode lineal: El vehicle perd un import fix de $3200$ € cada any: $f(t) = 32\,000 - 3200 \cdot t$.\n- Mètode exponencial: El vehicle perd un $15\%$ del seu valor comptable de l'any precedent: $g(t) = 32\,000 \cdot 0{,}85^t$.\na) Calcula el valor que adjudica cada mètode al vehicle després de $3$ anys d'ús i després de $10$ anys d'ús.\nb) Examina què passaria amb el mètode lineal als $11$ anys d'ús. Per què el model lineal deixa de tenir validesa matemàtica i econòmica a llarg termini? Explica quina propietat de la funció exponencial (recorregut i asímptotes) fa que el model exponencial sigui conceptualment més coherent per descriure pèrdues de valor prolongades.\nc) En els primers $4$ anys de vida del vehicle, quin dels dos models reflecteix una desvalorització més ràpida? Si la direcció de l'empresa decideix aplicar un criteri de màxima prudència financera (reflectir el menor valor possible en els primers anys per no sobrevalorar els seus béns), justifica matemàticament quin dels dos mètodes hauria de triar.

Tipus: ESTIMA I COMPROVA. A l'àrea de Medicina Nuclear d'un hospital públic s'utilitza el radioisòtop Tecneci-99m per a exploracions cardíaques. La seva massa decau de manera exponencial amb una semivida de $T = 6$ hores, responent a la fórmula $M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/6}$, on $t$ és el temps en hores i $M_0$ l'activitat inicial en MBq (megabecquerels). A les 08:00 del matí es rep al laboratori una dosi amb $M_0 = 800$ MBq.\na) Estima: Sense fer operacions amb decimals ni fer servir calculadora, calcula mentalment quants períodes de semivida complets caben en $24$ hores (fins a les 08:00 de l'endemà) i estima si l'activitat restant estarà per sobre de $100$ MBq, entre $40$ i $60$ MBq, o per sota de $20$ MBq. Justifica per escrit la teva deducció.\nb) Comprova: Aplica la fórmula calculant el valor exacte de $M(24)$ mitjançant potències de base fraccionària i comprova si la teva estimació raonada de l'apartat anterior era correcta.\nc) El protocol de seguretat de l'hospital estipula que un vial utilitzat no es pot eliminar amb les escombraries biosanitàries ordinàries fins que la seva activitat residual hagi baixat per sota de l'$1\%$ de la inicial ($8$ MBq). Estima primer quantes semivides (potències successives d'$1/2$) calen com a mínim per reduir qualsevol quantitat per sota de l'$1\%$, i calcula després el nombre exacte mínim d'hores que ha de romandre el residu a la cambra d'aïllament plomada.