Función exponencial
Una bacteria se divide en dos cada hora. Una sustancia radiactiva pierde la mitad de su masa cada cierto tiempo. En ambos casos, la cantidad no cambia sumando siempre lo mismo (como en una recta), sino multiplicando siempre por el mismo número. Eso es crecimiento o decrecimiento exponencial, y crece —o decrece— muchísimo más deprisa de lo que la intuición suele esperar.
La función exponencial
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Todas las funciones $y=a^x$ pasan por el punto $(0, 1)$, porque $a^0=1$ siempre.
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También pasan por $(1, a)$.
Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función exponencial $f(x) = 2,5^x$. ¿Corta esta función al eje de abscisas en algún…
Determina el dominio, el recorrido y la ecuación de la asíntota horizontal de la función exponencial $f(x) = 2,5^x$. ¿Corta esta función al eje de abscisas en algún punto? Razona tu respuesta.
Crecimiento si $a>1$, decrecimiento si $0<a<1$
Completa una tabla de valores para la función $f(x) = 5^{-x}$ tomando los valores enteros de $x$ desde $-2$ hasta $2$. Escribe una función exponencial equivalente a…
Completa una tabla de valores para la función $f(x) = 5^{-x}$ tomando los valores enteros de $x$ desde $-2$ hasta $2$. Escribe una función exponencial equivalente a $f(x)$ pero que tenga el exponente positivo.
Calcula la tasa de variación media de la función exponencial $f(x) = 3^x$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 3]$. ¿Qué observas al comparar ambos resultados? ¿Qué indica…
Calcula la tasa de variación media de la función exponencial $f(x) = 3^x$ en los intervalos $[1, 2]$ y $[2, 3]$. ¿Qué observas al comparar ambos resultados? ¿Qué indica esto sobre el ritmo de crecimiento de la función exponencial en comparación con una función lineal?
La asíntota horizontal y las traslaciones
En $g(x) = a^{x-p}+q$, el exponente $x-p$ desplaza la curva $p$ unidades en horizontal, y el $+q$ final la desplaza $q$ unidades en vertical, arrastrando con ella la asíntota: la nueva asíntota es $y=q$.
Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función exponencial y justifica tu respuesta: a) $f(x) = x^3$ b) $g(x) = 3^x$ c) $h(x) = 3x$…
Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas corresponden a una función exponencial y justifica tu respuesta:
- a) $f(x) = x^3$
- b) $g(x) = 3^x$
- c) $h(x) = 3x$
- d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$
- e) $j(x) = 1^x$
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica qué transformaciones geométricas (traslaciones) hay que aplicar para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 4$.…
A partir de la función $f(x) = 2^x$, explica qué transformaciones geométricas (traslaciones) hay que aplicar para obtener la gráfica de la función $g(x) = 2^{x-3} + 4$. Indica cuál es la ecuación de la asíntota horizontal de la función $g(x)$.
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observando la asíntota horizontal y los puntos destacados en la curva,…
La siguiente gráfica corresponde a una función exponencial de la forma $f(x) = 2^{x-p} + q$. Observando la asíntota horizontal y los puntos destacados en la curva, determina los valores de los parámetros $p$ y $q$, y escribe la expresión analítica completa de la función.
Interés compuesto y desintegración
Una familia deposita $6000$ euros en una cuenta de ahorro que ofrece un interés compuesto anual del $2,5\%$. Escribe la función $C(t)$ que expresa el capital acumulado…
Una familia deposita $6000$ euros en una cuenta de ahorro que ofrece un interés compuesto anual del $2,5\%$. Escribe la función $C(t)$ que expresa el capital acumulado al cabo de $t$ años. ¿Cuál será el saldo de la cuenta después de $8$ años si no se realiza ningún movimiento? Redondea el resultado a dos cifras decimales.
Una sustancia radiactiva pierde la mitad de su masa cada $15$ días. Si en el momento inicial hay una muestra de $200$ gramos, escribe la función $M(t)$ que modeliza la…
Una sustancia radiactiva pierde la mitad de su masa cada $15$ días. Si en el momento inicial hay una muestra de $200$ gramos, escribe la función $M(t)$ que modeliza la masa restante en función del tiempo $t$ (en días). ¿Cuántos gramos quedarán exactamente después de $60$ días?
El precio de un componente tecnológico se devalúa con el tiempo según una función exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, donde $t$ se mide en años. Si el…
El precio de un componente tecnológico se devalúa con el tiempo según una función exponencial de la forma $V(t) = k \cdot a^t$, donde $t$ se mide en años. Si el componente costaba $800$ euros cuando era nuevo ($t=0$) y al cabo de $2$ años su valor es de $450$ euros, calcula los valores exactos de $k$ y $a$. ¿Cuál será su valor a los $4$ años?
Determina y justifica para qué valores del parámetro $m$ la función $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una función exponencial estrictamente…
Determina y justifica para qué valores del parámetro $m$ la función $f(x) = \left(\frac{2m - 5}{3}\right)^x$ representa una función exponencial estrictamente decreciente. Ten en cuenta las condiciones algebraicas que debe cumplir la base de una función exponencial de este tipo.