Exercicis: Població i mostra

Una fàbrica de components electrònics produeix un lot de $5000$ resistències. Per comprovar la seva qualitat, el departament de control selecciona i analitza $150$ resistències. Identifica la població, la mostra, l'individu i la mida de la mostra en aquest estudi estadístic.

Classifica les variables estadístiques següents en qualitatives, quantitatives discretes o quantitatives contínues:

• El color del pelatge d'una espècie de guineu.

• El nombre de satèl·lits naturals dels planetes del sistema solar.

• La massa en quilograms dels enviaments postals d'una empresa de paqueteria.

• La marca dels ordinadors d'una aula d'informàtica.

En un municipi de $24000$ habitants es vol realitzar un estudi sobre els hàbits de lectura. Per fer-ho, s'entrevista $800$ ciutadans. Determina quina és la població d'estudi, quina és la mostra i quina és la mida mostral.

Una empresa de programari vol conèixer l'opinió dels seus usuaris sobre una nova actualització de la seva aplicació. Explica breument en quina situació l'empresa faria un cens i en quina situació faria un estudi mostral.

En una reserva natural habiten $3400$ cérvols. Un equip de biòlegs decideix agafar una mostra equivalent al $15\%$ de la població per fer un estudi de salut. Calcula la mida de la mostra que han de seleccionar.

Indica si les variables quantitatives següents són discretes o contínues:

1. a) El volum d'aigua en un embassament mesurat en hectómetres cúbics.
2. b) El nombre de pulsacions per minut d'un atleta després d'una cursa.
3. c) La temperatura màxima diària registrada en una ciutat.
4. d) El nombre de passatgers d'un vol comercial.

Per fer un control de qualitat en una fàbrica de refrescos, s'extreuen $45$ llaunes d'una producció total de $1800$ llaunes diàries. Quin percentatge de la producció total representa la mostra seleccionada?

Un equip de nutricionistes mesura la quantitat de sucre, en grams, que contenen diferents marques de cereals d'un supermercat. Identifica quina és la variable estadística de l'estudi i de quin tipus és.

Carlos vol fer una enquesta sobre hàbits de reciclatge al seu institut d'Educació Secundària, on hi ha $600$ estudiants matriculats en tres etapes: ESO ($360$ alumnes), Batxillerat ($180$ alumnes) i Cicles Formatius ($60$ alumnes). Per fer el treball d'Estadística, ha de seleccionar una mostra de $60$ alumnes. Carlos afirma a la seva memòria: «Com que hi ha $3$ etapes educatives, perquè l'estudi sigui just i representatiu he d'enquestar exactament $20$ estudiants de cadascuna, ja que $60 : 3 = 20$».

1. a) Identifica i explica detalladament l'error de raonament que ha comès Carlos.
2. b) Calcula quants alumnes de cada etapa s'haurien de triar realment si s'aplica un mostratge aleatori estratificat amb afixació proporcional.

La Direcció General de Trànsit (DGT) posa en marxa durant el mes de juliol una campanya intensiva de control de l'ús del cinturó de seguretat i sistemes de retenció infantil a les carreteres secundàries d'una comunitat autònoma. Durant aquesta setmana, les patrulles aturen i inspeccionen un total de $14\,400$ vehicles dels aproximadament $480\,000$ desplaçaments previstos. En cada control, els agents anoten si els ocupants porten el cinturó cordat reglamentàriament (sí/no) i el nombre total d'ocupants que viatgen al vehicle.

1. a) Identifica amb precisió la població, la mostra, un individu i la mida de la mostra $n$ d'aquest estudi.
2. b) Justifica per què la DGT recorre a una mostra i no fa un cens en aquest tipus de campanyes a la carretera.
3. c) Classifica les dues variables estadístiques analitzades a cada vehicle segons la seva tipologia (qualitativa nominal/ordinal o quantitativa discreta/contínua).

En un centre d'educació secundària hi ha $120$ alumnes a 1r d'ESO, $100$ a 2n d'ESO, $90$ a 3r d'ESO i $50$ a 4t d'ESO. Es vol extreure una mostra de $72$ alumnes mitjançant un mostratge aleatori estratificat amb afixació proporcional. Calcula quants alumnes de 3r d'ESO han de formar part de la mostra.

L'ajuntament d'una ciutat vol conèixer l'opinió dels ciutadans sobre la construcció d'un nou carril bici al centre. Per fer-ho, un enquestador es situa a la porta d'una botiga de bicicletes i entrevista $150$ persones que en surten. Analitza si la mostra seleccionada és representativa de la població de la ciutat i explica quin tipus de biaix es comet en el disseny de l'estudi.

En una cadena de muntatge s'han fabricat $1200$ telèfons mòbils en un dia. Es vol fer un control de qualitat seleccionant una mostra de $40$ telèfons mitjançant un mostratge sistemàtic. Si el primer telèfon seleccionat a l'atzar és el que ocupa la posició $14$, determina el coeficient d'elevació, i les posicions dels tres primers i del darrer telèfon seleccionat a la mostra.

Una granja avícola té tres naus amb gallines ponedores: la nau A té $4500$ gallines, la nau B en té $3000$ i la nau C en té $2500$. Es vol extreure una mostra de $200$ gallines utilitzant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. Determina la mida de la mostra que correspon a cadascuna de les tres naus.

Es vol estimar el temps mitjà d'ús diari de xarxes socials per part dels adolescents de tota una comunitat autònoma. Per fer-ho, es selecciona aleatòriament $200$ alumnes d'un institut privat situat al barri de més poder adquisitiu de la capital. Justifica per què aquesta mostra no és representativa de la població i proposa un mètode de mostratge més adequat.

En un estudi d'ecologia marina es registren les característiques següents d'una població de dofins:

1. a) Espècie a la qual pertany.
2. b) Longitud del cos en metres.
3. c) Nombre de cries que ha tingut al llarg de la seva vida.
4. d) Nivell de risc d'extinció (Baix, Vulnerable, En perill).

Classifica detalladament cada variable estadística. En el cas de les variables qualitatives, indica expressament si són ordinals o nominals.

Una empresa d'enquestes ha seleccionat una mostra de $630$ persones per a un estudi de mercat. Si es sap que aquesta mostra representa exactament el $3,5\%$ de la població objectiu, calcula la mida total de la població d'estudi.

El diorama següent representa un procés de mostratge estratificat amb afixació proporcional.

Si la població total està formada per $2400$ individus, calcula el percentatge i la mida de la població de l'estrat taronja. Si la mostra total és de $160$ individus, determina quants individus de cada color componen la mostra.

Segons dades de l'Institut Nacional d'Estadística (INE), una comarca rural d'Espanya té una població total de $24\,000$ habitants, distribuïts en tres grups d'edat: joves de 0 a 19 anys ($4\,800$ persones), adults de 20 a 64 anys ($14\,400$ persones) i persones grans de 65 anys o més ($4\,800$ persones). Se seleccionarà una mostra de $120$ habitants mitjançant mostratge estratificat amb afixació proporcional per a un estudi sobre l'atenció sanitària comarcal.

1. a) Abans de fer cap càlcul exacte, fes una estimació intuïtiva: raona quina fracció o percentatge de la població total representa aproximadament el grup d'adults (20 a 64 anys) i estima quants adults haurien de formar part de la mostra de $120$ persones.
2. b) Aplica la fórmula del mostratge estratificat amb afixació proporcional ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) per calcular el nombre exacte d'individus que s'han de seleccionar en cadascun dels tres estrats d'edat.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada i valora si el repartiment obtingut respecta la representativitat de l'estructura poblacional de la comarca.

L'Ajuntament d'un municipi costaner de $60\,000$ habitants vol fer una consulta ciutadana per decidir si es vianalitza el centre històric. Per a això, es disposa d'un pressupost que permet fer una mostra de $600$ enquestes presencials o telefòniques. A l'equip tècnic municipal sorgeixen tres propostes diferents per seleccionar els participants:

• Proposta 1: Situar enquestadors el dissabte al matí a la porta dels tres supermercats principals del centre històric i entrevistar les primeres $600$ persones que en surtin.

• Proposta 2: Utilitzar el cens del padró municipal ordenat alfabèticament (de l'1 al $60\,000$). Calcular el salt sistemàtic $k = 60\,000 / 600 = 100$, triar a l'atzar un nombre d'arrencada $a$ entre 1 i 100, i enquestar els veïns a les posicions $a, a+100, a+200, \dots$

• Proposta 3: Habilitar una enquesta oberta al web municipal durant un mes i difondre-la per xarxes socials; estimen que amb aquest mètode participaran més de $3\,000$ veïns a cost gairebé nul.

Analitza raonadament els avantatges, inconvenients i possibles biaixos de cadascuna de les tres opcions. Justifica quin dels mètodes és el més adequat per garantir que la mostra sigui representativa i explica per què una mida de mostra més gran (Proposta 3) no garanteix per si sola una millor representativitat.

En un municipi dividit en tres districtes (Nord, Sud i Centre), s'ha realitzat una enquesta utilitzant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. La mostra total és de $300$ persones, de les quals $120$ pertanyen al districte Nord i $75$ al districte Sud. Si la població total del municipi és de $18000$ habitants, calcula la població de cadascun dels tres districtes.

Una base de dades conté els registres de $N = 2520$ clients. Es vol extreure una mostra de mida $n = 45$ mitjançant un mostratge sistemàtic. L'arrencada aleatòria determina que el primer client seleccionat és el que ocupa la posició $a = 23$.

Troba una expressió algebraica general per a la posició de l'individu $i$-èsim de la mostra (per a $1 \le i \le 45$) i determina quina posició a la base de dades ocupa el client que va ser seleccionat en el lloc número $32$ de la mostra.

En una empresa tecnològica, la plantilla es divideix en tres categories: el $50\%$ són programadors, el $30\%$ són dissenyadors i la resta són directius. Es realitza un estudi de clima laboral seleccionant una mostra mitjançant un mostratge estratificat amb afixació proporcional. Si a la mostra hi ha exactament $16$ directius, quina és la mida total de la mostra i quants programadors i dissenyadors la componen?

Una cadena de televisió nacional vol predir el resultat d'un referèndum legislatiu important. Per fer-ho, durant un programa de debat en horari de màxima audiència, demana als espectadors que trugin a un número de telèfon de pagament o enviïn un SMS per votar per la seva opció preferida. Es reben més de $100000$ respostes.

Identifica i explica com a mínim tres fonts de biaix (errors sistemàtics) en aquest disseny de mostratge i raona per què, tot i la mida enorme de la mostra, els resultats probablement no seran representatius de la població general.

Una fàbrica disposa de dues màquines, A i B, per a la producció d'engranatges. Es sap que la màquina A produeix el $65\%$ del total diari. El departament de qualitat agafa una mostra estratificada amb afixació proporcional de $180$ engranatges per avaluar la precisió de tall. Si la màquina B produeix $1400$ engranatges al dia, calcula la mida de la població total diària i el nombre d'engranatges de cada màquina que componen la mostra.

En un estudi sobre l'adopció d'una nova tecnologia, la població d'una empresa es divideix en tres departaments: Vendes, amb $3x$ empleats; Màrqueting, amb $x + 40$; i Desenvolupament, amb $2x - 20$. Es pren una mostra mitjançant mostratge aleatori estratificat amb afixació proporcional de mida $130$.

Sabent que a la mostra hi ha exactament $60$ empleats del departament de Vendes, planteja una equació per determinar el valor de $x$, calcula la població total de l'empresa i la mida de la mostra corresponent als departaments de Màrqueting i Desenvolupament.

En un observatori astronòmic es registren les característiques següents d'un catàleg d'exoplanetes:

A) Distància a l'estrella amfitriona (en Unitats Astronòmiques).

B) Tipus de planeta (Rocós, Gegant gasós, Gegant gelat).

C) Nombre de llunes confirmades.

D) Temperatura mitjana estimada (en graus Kelvin).

Classifica rigorosament cadascuna d'aquestes variables. Per a les variables quantitatives, determina en quins casos té sentit estadístic calcular la mitjana aritmètica i en quins la mediana podria ser una mesura de centralització més representativa si existissin valors atípics extrems.

Les autoritats educatives d'una regió volen avaluar el nivell d'anglès dels estudiants de 4t d'ESO. A la regió hi ha $25$ instituts, cadascun amb exactament $120$ alumnes matriculats en aquest curs. Es requereix una mostra total de $600$ alumnes. Es proposen dos mètodes de mostratge:

• Mètode A: Triar a l'atzar $5$ instituts i avaluar tots els seus alumnes de 4t d'ESO.

• Mètode B: Triar a l'atzar $24$ alumnes de 4t d'ESO de cadascun dels $25$ instituts.

Identifica el tipus de mostratge que s'aplica en cada mètode i argumenta quin dels dos dissenys garanteix una representativitat més gran de la població total, explicant els possibles desavantatges del mètode que descartis.

En un hospital comarcal amb $450$ pacients ingressats repartits entre les àrees de Cirurgia, Traumatologia i Medicina Interna, la direcció mèdica fa una auditoria de qualitat mitjançant un mostratge aleatori estratificat amb afixació proporcional sobre una mostra total de $90$ pacients.

En l'informe final es van extraviar les dades del cens inicial per plantes, però es conserven les següents dades fiables:

• A la mostra auditada es van incloure exactament $36$ pacients de Cirurgia i $24$ de Traumatologia.

• Per seleccionar els pacients que corresponien a Medicina Interna dins de la seva pròpia llista interna d'ingressats (ordenada de l'1 al $N_{\text{interna}}$), l'equip va aplicar un mostratge sistemàtic amb un salt fix $k$. En aquesta llista, el primer pacient seleccionat a l'atzar va ser el de la posició $a = 3$, i l'últim pacient seleccionat d'aquesta mateixa planta ocupava la posició $148$.

1. a) Dedueix quants pacients de Medicina Interna van formar part de la mostra de $90$ pacients.
2. b) Sabent que els pacients de Medicina Interna ocupen les posicions $a, a+k, a+2k, \dots$, planteja la relació entre el primer seleccionat ($a = 3$), l'últim ($148$) i el nombre de pacients d'aquesta planta a la mostra per calcular el salt $k$ i el total de pacients ingressats a Medicina Interna ($N_{\text{interna}}$).
3. c) Utilitzant la condició de proporcionalitat ($n_i = n \cdot \frac{N_i}{N}$) i coneixent la població total de l'hospital ($N = 450$), reconstrueix quants pacients hi havia ingressats a Cirurgia ($N_{\text{cirug\u00eda}}$) i quants a Traumatologia ($N_{\text{trauma}}$).

A partir de les dades de l'Enquesta de Població Activa (EPA) de l'INE corresponents a una província espanyola amb $320\,000$ persones ocupades, la distribució per sectors laborals és la següent: Serveis amb $224\,000$ treballadors, Indústria amb $48\,000$, Construcció amb $32\,000$ i Agricultura amb $16\,000$. Un institut d'investigació social disposa de pressupost per enquestar una mostra de $n = 500$ treballadors.

Un membre de l'equip proposa: «Si apliquem afixació proporcional estricta, la mostra d'agricultors serà tan petita que resultarà impossible estudiar les seves condicions laborals amb fiabilitat. Hauríem d'enquestar $125$ treballadors de cadascun dels quatre sectors ($500 : 4 = 125$)». La directora de l'estudi replica que aquest repartiment no seria vàlid per obtenir dades generals de la província.

1. a) Modela la mostra proporcional calculant el nombre exacte de treballadors ($n_i$) que correspondria a cada sector per respectar la representativitat provincial amb $n = 500$.
2. b) Compara la distribució real respecte a la proposta de $125$ enquestes: calcula el percentatge que representa l'Agricultura en la població ocupada real i el percentatge que suposaria en la mostra proposada per l'investigador. Fes el mateix càlcul comparatiu per al sector Serveis.
3. c) Redacta una justificació estadística raonada: quina distorsió provocaria la mostra no proporcional de $125$ persones per sector si es volgués estimar el salari mitjà dels treballadors de tota la província? Quina alternativa metodològica plantejaries per poder estudiar a fons el sector agrícola sense desvirtuar les conclusions globals de la província?