Resolución de triángulos rectángulos y aplicaciones
Ya sabes qué son el seno, el coseno y la tangente. Ahora toca usarlos para lo que de verdad importa: averiguar medidas que no puedes tomar directamente, como la altura de un edificio, el ancho de un río o la inclinación de una rampa.
Profundización: Resolver un triángulo rectángulo
"Resolver" un triángulo rectángulo significa calcular todos sus lados y todos sus ángulos. Como ya es rectángulo, basta con conocer dos datos más (dos lados, o un lado y un ángulo agudo) para encontrar el resto.
Resuelve un triángulo rectángulo en el que un cateto mide $7$ cm y su ángulo opuesto es $40^\circ$.
Resuelve un triángulo rectángulo en el que un cateto mide $7$ cm y su ángulo opuesto es $40^\circ$.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $5$ cm y $9$ cm. Calcula sus ángulos agudos y la hipotenusa.
Los catetos de un triángulo rectángulo miden $5$ cm y $9$ cm. Calcula sus ángulos agudos y la hipotenusa.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $15$ cm y uno de sus catetos $9$ cm. Halla sus ángulos agudos y el otro cateto.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $15$ cm y uno de sus catetos $9$ cm. Halla sus ángulos agudos y el otro cateto.
Profundización: Alturas inaccesibles: el ángulo de elevación
El ángulo de elevación es el que forma la visual hacia un punto alto con la horizontal. Es la herramienta clásica para medir la altura de algo sin subir a ello: un edificio, un árbol, una torre.
Desde un punto del suelo situado a $10$ m del pie de un árbol se ve su copa con un ángulo de elevación de $30^\circ$, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el árbol?
Desde un punto del suelo situado a $10$ m del pie de un árbol se ve su copa con un ángulo de elevación de $30^\circ$, como se muestra en la figura.
¿Cuánto mide el árbol?
Desde un punto del suelo situado a $25$ m de la fachada de un edificio se ve la azotea con un ángulo de elevación de $50^\circ$. ¿Qué altura tiene el edificio?
Desde un punto del suelo situado a $25$ m de la fachada de un edificio se ve la azotea con un ángulo de elevación de $50^\circ$. ¿Qué altura tiene el edificio?
Una chimenea de $30$ m de altura se observa desde un punto del suelo situado a $45$ m de su base. ¿Con qué ángulo de elevación se ve su extremo superior?
Una chimenea de $30$ m de altura se observa desde un punto del suelo situado a $45$ m de su base. ¿Con qué ángulo de elevación se ve su extremo superior?
Profundización: El ángulo de depresión: mirando hacia abajo
Cuando miras hacia abajo desde un punto alto (un acantilado, un faro, un avión) hasta un objeto en el suelo, el ángulo que forma tu visual con la horizontal se llama ángulo de depresión. Por geometría (son ángulos alternos entre paralelas), el ángulo de depresión desde arriba es igual al ángulo de elevación visto desde abajo.
Desde lo alto de un acantilado de $60$ m se divisa una boya con un ángulo de depresión de $25^\circ$, como muestra la figura. a) ¿A qué distancia del pie del acantilado…
Desde lo alto de un acantilado de $60$ m se divisa una boya con un ángulo de depresión de $25^\circ$, como muestra la figura.
- a) ¿A qué distancia del pie del acantilado está la boya? b) ¿A qué distancia del observador?
Desde lo alto de un faro de $45$ m se observan dos barcos alineados con el faro: el más cercano con un ángulo de depresión de $32^\circ$ y el más lejano con $20^\circ$,…
Desde lo alto de un faro de $45$ m se observan dos barcos alineados con el faro: el más cercano con un ángulo de depresión de $32^\circ$ y el más lejano con $20^\circ$, como muestra la figura.
¿Qué distancia separa a los dos barcos?
Profundización: Distancias y anchos inaccesibles
Cuando no puedes medir una distancia directamente (el ancho de un río, la altura de una torre sin acceso a su base), una estrategia muy potente es tomar dos medidas desde dos puntos distintos y combinar la información.
Para medir el ancho de un río nos colocamos frente a un árbol de la otra orilla y caminamos $30$ m por nuestra orilla en dirección perpendicular al río. Desde ahí, el…
Para medir el ancho de un río nos colocamos frente a un árbol de la otra orilla y caminamos $30$ m por nuestra orilla en dirección perpendicular al río. Desde ahí, el árbol se ve formando un ángulo de $55^\circ$ con la orilla, como muestra la figura.
¿Cuánto mide el río de ancho?
Desde cierto punto de un valle, la cumbre de una montaña se ve con un ángulo de elevación de $35^\circ$. Retrocediendo $250$ m en línea recta, la cumbre se ve con un…
Desde cierto punto de un valle, la cumbre de una montaña se ve con un ángulo de elevación de $35^\circ$. Retrocediendo $250$ m en línea recta, la cumbre se ve con un ángulo de $22^\circ$, como se muestra en la figura.
- a) Plantea un sistema de dos ecuaciones usando la tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos. b) Resuelve el sistema. c) ¿Cuál es la altura de la montaña sobre el nivel del observador?
Un grupo de alumnos quiere medir el ancho de un lago sin cruzarlo. Frente a una boya $B$ situada en la orilla opuesta marcan un punto $P$ en su orilla; desde $P$ avanzan…
Un grupo de alumnos quiere medir el ancho de un lago sin cruzarlo. Frente a una boya $B$ situada en la orilla opuesta marcan un punto $P$ en su orilla; desde $P$ avanzan $60$ m por la orilla en dirección perpendicular hasta un punto $Q$, y desde $Q$ miden el ángulo $\widehat{PQB} = 48^\circ$. a) Haz un esquema de la situación. b) Calcula el ancho del lago. c) Si se construyese una pasarela recta de $P$ a $B$ con un $5\ \%$ de longitud adicional por los apoyos, ¿qué longitud tendría la pasarela?
Rampas, inclinaciones y problemas combinados
Rampas, toboganes, tejados y puertos de montaña se describen con su ángulo de inclinación y su longitud: dos datos de un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es la rampa, la base es el recorrido horizontal y la altura es el desnivel. Algunos problemas combinan dos triángulos a la vez.
El tobogán de un parque acuático tiene una rampa de $18$ m que forma un ángulo de $25^\circ$ con el suelo, como se muestra en la figura. a) ¿Qué altura tiene la…
El tobogán de un parque acuático tiene una rampa de $18$ m que forma un ángulo de $25^\circ$ con el suelo, como se muestra en la figura.
- a) ¿Qué altura tiene la plataforma de salida? b) ¿Qué distancia horizontal ocupa el tobogán?
La rampa de un skatepark tiene una inclinación de $18^\circ$ y una longitud de $6$ m, como se muestra en la figura. a) ¿Qué desnivel salva la rampa? b) ¿Cuál es su…
La rampa de un skatepark tiene una inclinación de $18^\circ$ y una longitud de $6$ m, como se muestra en la figura.
- a) ¿Qué desnivel salva la rampa? b) ¿Cuál es su pendiente expresada en porcentaje?
Una tirolina une dos torres de $22$ m y $14$ m de altura separadas $60$ m en horizontal, como muestra la figura. a) ¿Qué desnivel hay entre las dos salidas? b) ¿Qué…
Una tirolina une dos torres de $22$ m y $14$ m de altura separadas $60$ m en horizontal, como muestra la figura.
- a) ¿Qué desnivel hay entre las dos salidas? b) ¿Qué longitud tiene el cable, supuesto tenso y recto? c) ¿Con qué ángulo de descenso se desliza el usuario?