Exercicis: Resolució de triangles rectangles i aplicacions

Resol el triangle rectangle de la figura, és a dir, calcula tots els seus costats i tots els seus angles.

Resol un triangle rectangle en què un catet mesura $7$ cm i el seu angle oposat és $40^\circ$.

Els catets d'un triangle rectangle mesuren $5$ cm i $9$ cm. Calcula els seus angles aguts i la hipotenusa.

La hipotenusa d'un triangle rectangle mesura $15$ cm i un dels seus catets $9$ cm. Troba els seus angles aguts i l'altre catet.

Des d'un punt del terra situat a $10$ m del peu d'un arbre se'n veu la copa amb un angle d'elevació de $30^\circ$.

Quant fa l'arbre d'alçària?

Des d'un punt del sòl situat a $25$ m de la façana d'un edifici es veu el terrat amb un angle d'elevació de $50^\circ$. Quina altura té l'edifici?

Una xemeneia de $30$ m d'altura s'observa des d'un punt del sòl situat a $45$ m de la seva base. Amb quin angle d'elevació es veu el seu extrem superior?

Valora si és certa o falsa l'afirmació: «coneixent els tres angles d'un triangle rectangle es poden calcular els seus tres costats». Justifica la teva resposta amb un exemple.

En Marcos vol calcular a quina alçada arriba l'extrem superior d'una escala de mà de $3\text{ m}$ de longitud que està recolzada en una paret vertical. Amb un transportador d'angles casolà, comprova que l'escala forma un angle de $70^\circ$ amb el terra horitzontal.

Per resoldre-ho, en Marcos fa al seu quadern el plantejament següent:

1. a) Sense fer comptes amb la calculadora, raona per què el resultat d'en Marcos ($1,03\text{ m}$) no té sentit físic per a una escala de $3\text{ m}$ inclinada a $70^\circ$ (un angle molt pronunciat).
2. b) Explica quin error conceptual ha comès en Marcos en triar la raó trigonomètrica i què representa en la realitat aquest valor d'$1,03\text{ m}$.
3. c) Escriu el plantejament correcte, calcula l'alçada real que aconsegueix l'escala i arrodoneix el resultat a dues xifres decimals.

Seguint les recomanacions tècniques de l'IDAE (Institut per a la Diversificació i Estalvi de l'Energia) per optimitzar la captació solar en habitatges del centre d'Espanya, una família instal·la a la seva teulada plana una estructura de panells solars fotovoltaics orientada al sud amb una inclinació de $35^\circ$ respecte a l'horitzontal. La longitud del panell inclinat (que actua com a hipotenusa de l'estructura) és d'$1,80\text{ m}$.

1. a) Descriu quin element del triangle rectangle (hipotenusa, catet oposat o catet contigu respecte a l'angle de $35^\circ$) representa l'alçada màxima del panell sobre la teulada i quin representa l'ombra o empremta horitzontal que ocupa a terra.
2. b) Calcula a quina alçada sobre la teulada queda la vora superior del panell fotovoltaic.
3. c) Calcula la distància horitzontal que ocupa la base de l'estructura sobre la teulada per saber quant d'espai lliure deixa al voltant. Arrodoneix els dos resultats a dos decimals de metre.

El tobogan d'un parc aquàtic té una rampa de $18$ m que forma un angle de $25^\circ$ amb el sòl, com es mostra en la figura.

1. a) Quina altura té la plataforma de sortida? b) Quina distància horitzontal ocupa el tobogan?

Des de dalt d'un penya-segat de $60$ m es divisa una boia amb un angle de depressió de $25^\circ$, com mostra la figura.

1. a) A quina distància del peu del penya-segat està la boia? b) A quina distància de l'observador?

Un globus aerostàtic està amarrat al sòl amb una corda tensa de $80$ m que forma un angle de $60^\circ$ amb el sòl, com es mostra en la figura.

1. a) A quina altura està el globus? b) Si una ràfega de vent inclina la corda fins a formar $45^\circ$ amb el sòl, quants metres descendeix el globus?

Per mesurar l'amplada d'un riu et col·loques davant d'un arbre de l'altra riba i camines $30$ m per la teva riba. Des d'allà, l'arbre es veu formant un angle de $55^\circ$ amb la riba, com mostra la figura.

Quant fa el riu d'amplada?

Des d'un punt del sòl situat a $20$ m d'un edifici, la base de l'antena del terrat es veu amb un angle d'elevació de $38^\circ$ i el seu extrem superior amb $52^\circ$, com mostra la figura.

Quant mesura l'antena?

La rampa d'un skatepark té una inclinació de $18^\circ$ i una longitud de $6$ m, com es mostra en la figura.

1. a) Quin desnivell salva la rampa? b) Quin és el seu pendent expressat en percentatge?

Un triangle isòsceles té els costats iguals de $10$ cm i l'angle desigual de $50^\circ$. a) Calcula l'altura sobre el costat desigual (pista: aquesta altura divideix el triangle en dos triangles rectangles). b) Calcula l'àrea del triangle.

Un alumne afirma: «des de $30$ m d'una torre veig la seva part superior amb un angle de $30^\circ$, per tant la torre mesura $30 \cdot \sen\ 30^\circ = 15\ \text{m}$». Detecta l'error, explica quina raó trigonomètrica hauria d'haver utilitzat i calcula l'altura correcta.

En una muntanya de la Sierra de Guadarrama, un agent mediambiental vol conèixer l'alçada d'una torre de vigilància contra incendis. Situat en un terreny pla a una distància horitzontal de $35\text{ m}$ de la base de la torre, utilitza un clinòmetre situat a l'alçada dels seus ulls ($1,60\text{ m}$ del terra) i mesura un angle d'elevació de $43^\circ$ fins a la part més alta de la caseta.

1. a) Estima: Com que l'angle mesurat ($43^\circ$) està molt a prop de $45^\circ$, i sabent que en un triangle rectangle amb un angle agut de $45^\circ$ tots dos catets mesuren el mateix, fes una estimació raonada de l'alçada total de la torre sense fer servir la calculadora. Esperes que l'alçada sobre els ulls de l'agent sigui lleugerament més gran o més petita que $35\text{ m}$?
2. b) Calcula: Planteja la raó trigonomètrica adequada i calcula amb exactitud l'alçada total de la torre sobre el terra (sumant l'alçada de l'observador). Arrodoneix a dos decimals.
3. c) Comprova i valora: Compara el resultat exacte amb la teva estimació prèvia, calcula la diferència entre tots dos i argumenta si l'estimació mental inicial ha estat un mètode pràctic i raonable per a una primera valoració sobre el terreny.

La normativa espanyola d'accessibilitat en espais públics (Codi Tècnic de l'Edificació, DB-SUA) exigeix pendents suaus perquè les persones en cadira de rodes puguin desplaçar-se amb seguretat. En les obres d'un poliesportiu municipal, s'ha dissenyat una rampa recta per salvar un desnivell vertical de $0,75\text{ m}$, i el projecte fixa que el tauler inclinat (la rampa que es recorre) ha de mesurar exactament $9,40\text{ m}$ de longitud.

1. a) Planteja l'equació trigonomètrica on la incògnita sigui l'angle d'inclinació $\alpha$ de la rampa amb l'horitzontal i obtén el seu valor en graus (arrodonit a un decimal).
2. b) Comprova si la rampa compleix la recomanació tècnica que aquest angle no superi els $5^\circ$.
3. c) Construcció inversa: Dissenya tu les dades d'un accés alternatiu: redacta l'enunciat d'un problema on les dades de partida siguin la distància horitzontal que ocupa la rampa ($d$) i l'angle d'inclinació fixat en $\alpha = 4^\circ$, de manera que la solució matemàtica obligui a obtenir exactament el mateix desnivell de $0,75\text{ m}$. Calcula i mostra el valor numèric exacte d'aquesta distància horitzontal $d$ que ha de figurar en el teu problema (arrodoneix a dos decimals).

Des de cert punt d'una vall, el cim d'una muntanya es veu amb un angle d'elevació de $35^\circ$. Reculant $250$ m en línia recta, el cim es veu amb un angle de $22^\circ$, com es mostra en la figura.

1. a) Planteja un sistema de dues equacions utilitzant la tangent en cadascun dels dos triangles rectangles. b) Resol el sistema. c) Quina és l'altura de la muntanya sobre el nivell de l'observador?

Des de dalt d'un far de $45$ m s'observen dos vaixells alineats amb el far: el més pròxim amb un angle de depressió de $32^\circ$ i el més llunyà amb $20^\circ$, com mostra la figura.

Quina distància separa els dos vaixells?

Un grup d'alumnes vol mesurar l'amplada d'un llac sense creuar-lo. Davant d'una boia $B$ situada a la riba oposada marquen un punt $P$ a la seva riba; des de $P$ avancen $60$ m per la riba en direcció perpendicular fins a un punt $Q$, i des de $Q$ mesuren l'angle $\widehat{PQB} = 48^\circ$. a) Fes un esquema de la situació. b) Calcula l'amplada del llac. c) Si es construís una passarel·la recta de $P$ a $B$ amb un $5\ \%$ de longitud addicional pels suports, quina longitud tindria la passarel·la?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un port de muntanya té un primer tram de $2{,}3$ km amb una inclinació constant de $9^\circ$ i un segon tram de $1{,}8$ km amb una inclinació de $6^\circ$. a) Quin desnivell es supera en cada tram? b) Quin és el desnivell total del port? c) Quin és el pendent mitjà del port complet, expressat en percentatge? (Fes servir les distàncies horitzontals recorregudes.)

L'Ana i en Bruno estan separats $50$ m en un camp pla. Entre tots dos, en el seu mateix pla vertical, vola un estel: l'Ana el veu amb un angle d'elevació de $55^\circ$ i en Bruno amb $65^\circ$, com mostra la figura.

1. a) A quina altura vola l'estel? b) A quina distància horitzontal de l'Ana es troba?

Des d'un punt del sòl situat a $30$ m de la base d'una columna, la vora superior de la columna es veu amb un angle d'elevació de $25^\circ$ i l'extrem de l'estàtua que la corona amb $40^\circ$. a) Quant mesura la columna? b) Quant mesura l'estàtua? c) Amb quin angle d'elevació es veuria el conjunt complet des d'un punt situat a $50$ m de la base?

Un globus sonda ascendeix verticalment des d'un punt situat a $400$ m d'un observador, com es mostra en la figura.

En un moment donat l'observador el veu amb un angle d'elevació de $45^\circ$ i, un minut després, amb $60^\circ$. a) A quina altura estava el globus en cada observació? b) Quant va ascendir en aquest minut? c) Quina va ser la seva velocitat mitjana d'ascens, en metres per segon?

Una tirolina uneix dues torres de $22$ m i $14$ m d'altura separades $60$ m en horitzontal, com mostra la figura.

1. a) Quin desnivell hi ha entre les dues sortides? b) Quina longitud té el cable, suposant-lo tens i recte? c) Amb quin angle de descens es llisca l'usuari?

Un equip tècnic necessita determinar l'alçada d'una torre de telecomunicacions situada dins d'un recinte tancat al qual no es pot accedir per mesurar distàncies fins a la seva base. Per resoldre el problema, dos especialistes debaten quina estratègia de camp utilitzar des de l'exterior de la tanca:

• Estratègia A (Doble angle amb clinòmetre): Situar-se en un punt $P$ del terreny pla i mesurar un angle d'elevació de $40^\circ$. A continuació, retrocedir exactament $15\text{ m}$ en línia recta horitzontal fins a un punt $Q$ i mesurar un nou angle d'elevació de $28^\circ$. Requereix plantejar i resoldre un sistema de dues equacions amb la tangent.

• Estratègia B (Mesurament amb telèmetre làser): Situar-se en el punt $P$, mesurar amb el clinòmetre l'angle d'elevació de $40^\circ$ i apuntar a la cúspide de la torre amb un telèmetre làser de llarg abast, que mesura una distància visual directa en línia recta (hipotenusa) de $33,87\text{ m}$.

1. a) Resol l'alçada de la torre mitjançant l'Estratègia A: planteja el sistema d'equacions fent servir $\tg(40^\circ)$ i $\tg(28^\circ)$, iguala la incògnita corresponent i calcula l'alçada $h$ de la torre (arrodoneix a dos decimals).
2. b) Resol l'alçada de la torre mitjançant l'Estratègia B: calcula l'alçada $h$ utilitzant una única raó trigonomètrica a partir de les dades del telèmetre.
3. c) Compara tots dos mètodes i justifica quin dels dos resulta més convenient a la pràctica professional, analitzant la dificultat algebraica dels càlculs, la quantitat de mesuraments necessaris sobre el terreny i el risc d'arrossegar errors d'arrodoniment.

El telefèric de Fuente Dé, situat al Parc Nacional dels Picos de Europa (Cantàbria), salva un gran penya-segat de roca en un únic tram recte sense torres intermèdies. Les dades geogràfiques oficials de la instal·lació són:

• Altitud de l'estació inferior de sortida: $1070\text{ m}$ sobre el nivell del mar.

• Altitud de l'estació superior d'arribada («El Cable»): $1823\text{ m}$ sobre el nivell del mar.

• Longitud del cable estès en línia recta entre ambdues estacions (recorregut de la cabina): $1450\text{ m}$.

1. a) Modela la situació mitjançant un triangle rectangle: calcula el desnivell vertical que salva el telefèric i identifica què representa cada magnitud ($1450\text{ m}$ i el desnivell trobat) en els costats del triangle rectangle (hipotenusa, catet oposat o catet contigu respecte a la inclinació amb el terra horitzontal).
2. b) Calcula l'angle mitjà d'inclinació que forma el cable amb l'horitzontal (arrodoneix a un decimal de grau).
3. c) Calcula la distància horitzontal que separa ambdues estacions (la projecció en línia recta sobre un pla topogràfic). Arrodoneix a metres grossos.
4. d) Suposa que la cabina s'atura per una aturada de seguretat quan ha recorregut exactament la meitat del trajecte del cable ($725\text{ m}$ des de la sortida). Raona, aplicant propietats de proporcionalitat i semblança de triangles (sense recórrer a la calculadora per a raons trigonomètriques), a quina altitud sobre el nivell del mar es troba la cabina en aquest moment. A continuació, confirma numèricament la teva deducció calculant aquesta altitud mitjançant el sinus de l'angle obtingut a l'apartat b).

Repte del tema. Quant mesura realment el teu entorn? Calcularàs l'altura d'un element inaccessible proper a casa teva (edifici, arbre o fanal) i analitzaràs el comportament de la seva ombra mitjançant trigonometria.

1. Presa de dades: En un dia assolellat, mesura amb una cinta mètrica la longitud de l'ombra de l'element triat. En aquest mateix instant, anota l'hora exacta i consulta a l'AEMET o un web meteorològic l'elevació solar ($\alpha$) a la teva localitat, o calcula aquest angle mesurant l'ombra d'un objecte testimoni vertical d'$1,0\text{ m}$.

2. Resolució matemàtica: Modela la situació mitjançant un triangle rectangle. Aplica la raó trigonomètrica adequada ($\tan \alpha = \frac{\text{altura}}{\text{ombra}}$) i aïlla l'altura real de l'element. A continuació, calcula quant mesurarà la seva ombra en el moment en què el Sol es trobi a $30^\circ$ d'altura.

3. Informe digital: Elabora un informe breu d'una pàgina (o un full de càlcul) que contingui la taula de dades, el croquis del triangle resolt i una recomanació pràctica: a quina distància mínima s'ha de situar una jardinera o un panell solar per no quedar a l'ombra de l'element durant les hores centrals del dia?

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció de dades reals i el plantejament geomètric del triangle.

• Correcció en el càlcul trigonomètric i l'aïllament algebraic amb precisió decimal.

• Qualitat de la presentació i justificació pràctica de la proposta final.