Exercicis: Semblança de rectangles

Comprova si la pantalla d'una tauleta amb una resolució de $2048 \times 1536$ píxels és matemàticament semblant a la pantalla d'un monitor d'ordinador amb una resolució de $2560 \times 1440$ píxels. Justifica la teva resposta calculant la raó de proporcionalitat entre els seus costats.

Una fotografia impresa té unes dimensions de $10 \text{ cm}$ d'amplada per $15 \text{ cm}$ de llargada. Volem fer una ampliació per a un pòster de manera que sigui semblant a l'original. Si l'amplada de l'ampliació ha de ser de $60 \text{ cm}$, quant mesurarà la seva llargada?

Una parcel·la de gespa té forma rectangular i mesura $40 \text{ m}$ d'amplada per $60 \text{ m}$ de llargada. En el plànol del projecte arquitectònic, l'amplada de la parcel·la s'ha dibuixat amb una longitud de $8 \text{ cm}$. Quina és l'àrea que ocupa la parcel·la en el plànol expressada en $\text{cm}^2$?

Dos rectangles són semblants. Les dimensions del primer rectangle són $5 \text{ cm}$ i $12 \text{ cm}$. Si sabem que el perímetre del segon rectangle és de $102 \text{ cm}$, determina la longitud dels seus costats.

El llenç d'una pintura mesura $40 \text{ cm}$ de base i $60 \text{ cm}$ d'altura. S'hi afegeix un paspartú (marc de cartró) de $10 \text{ cm}$ de gruix per cadascun dels seus quatre costats. És el rectangle exterior del paspartú semblant al rectangle interior del llenç? Justifica la teva resposta calculando les proporcions.

La relació d'aspecte d'un televisor panoràmic modern és de $16:9$, la qual cosa significa que el rectangle de la seva pantalla és semblant a un rectangle de $16 \text{ cm}$ de base i $9 \text{ cm}$ d'altura. Si la base de la pantalla d'un televisor mesura $104 \text{ cm}$, quant mesura la seva altura?

El rectangle $A$ té unes dimensions de $x$ cm d'altura i $18 \text{ cm}$ de base. El rectangle $B$ mesura $12 \text{ cm}$ d'altura i $27 \text{ cm}$ de base. Sabent que tots dos rectangles són semblants i que la base és el costat major en tots dos casos, calcula el valor exacte de $x$.

Un full estàndard de mida DIN A4 mesura $210 \text{ mm}$ d'amplada per $297 \text{ mm}$ de llargada. Si el tallem per la meitat amb un tall paral·lel al costat menor, obtenim dues quartilles de mida DIN A5. Calcula les dimensions del DIN A5 i divideix el seu costat major entre el seu costat menor per comprovar si manté aproximadament la mateixa proporció que el DIN A4 original.

En Mateo vol ampliar una fotografia de carnet que fa $3\text{ cm}$ de base i $4\text{ cm}$ d'alçària per col·locar-la en un marc de fotos. Per assegurar-se que la imatge no es deformi, raona de la manera següent: «Si a la base de $3\text{ cm}$ li sumo $5\text{ cm}$, passa a fer $8\text{ cm}$; per tant, per mantenir la forma he de sumar exactament el mateix a l'alçària: $4 + 5 = 9\text{ cm}$. Com que he afegit la mateixa longitud als dos costats i tots els angles continuen sent rectes ($90^\circ$), el nou rectangle de $8 \times 9\text{ cm}$ és semblant a la foto original».\n\na) Identifica l'error conceptual que comet en Mateo sobre la semblança de rectangles.\nb) Justifica numèricament per què el rectangle de $8 \times 9\text{ cm}$ no és semblant al de $3 \times 4\text{ cm}$ calculant i comparant les seves raons d'aspecte.\nc) Corregeix el càlcul d'en Mateo: si la base ampliada fa obligatòriament $8\text{ cm}$, quant ha de fer l'alçària perquè la fotografia mantingui una semblança geomètrica estricta amb l'original?

El reglament de la Real Federación Española de Fútbol (RFEF) permet una certa flexibilitat en les dimensions dels terrenys de joc per a competicions oficials. La gespa de l'Estadio de Vallecas (Madrid) fa aproximadament $100\text{ m}$ de longitud per $65\text{ m}$ d'amplària, mentre que la de l'Estadio de Mestalla (València) té unes mides de $105\text{ m}$ de longitud per $68\text{ m}$ d'amplària.\n\na) Abans de fer cap càlcul numèric, estima mentalment si creus que tots dos camps són semblants o si un d'ells et sembla perceptiblement més allargat que l'altre. Justifica en una frase la teva intuïció inicial.\nb) Calcula la raó entre la longitud i l'amplària (relació d'aspecte) de tots dos terrenys de joc arrodonint a dues xifres decimals.\nc) Comprova si la teva estimació inicial era encertada, determina formalment si els dos camps són matemàticament semblants i valora si un futbolista notaria a la pràctica una diferència notable de forma o si la proporció és gairebé idèntica.

Una finestra rectangular mesura $80 \text{ cm}$ d'amplada i $120 \text{ cm}$ d'alçària. Es vol instal·lar un marc d'alumini d'un gruix constant $x$ al voltant de tota la finestra. Planteja una equació i demostra si existeix algun valor de $x > 0$ per al qual el rectangle exterior del marc sigui matemàticament semblant al rectangle interior de la finestra.

Una pantalla de televisió té una diagonal de $55 \text{ polzades}$ i el seu format és semblant a un rectangle de $16 \times 9$. Sabent que $1 \text{ polzada}$ equival a $2,54 \text{ cm}$, calcula les dimensions exactes (base i altura) de la pantalla en centímetres.

El carnet d'identitat té unes dimensions de $85,6 \text{ mm}$ per $53,98 \text{ mm}$. El rectangle auri és aquell en què la raó entre el seu costat major i menor és el nombre auri $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

1. a) Comprova si el carnet és un rectangle auri aproximat calculant la seva proporció.
2. b) Si l'amplada del carnet fos exactament $54 \text{ mm}$, quant hauria de mesurar la llargada exacta, arrodonida a dos decimals, per ser un rectangle auri perfecte?

Un camp de futbol professional té forma rectangular amb unes dimensions de $105 \text{ m}$ de llargada i $68 \text{ m}$ d'amplada. Per fer pràctiques tàctiques, l'entrenador dibuixa a la pissarra un camp semblant que té una àrea de $1785 \text{ cm}^2$. Quines són les dimensions en centímetres del camp dibuixat a la pissarra?

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Es disposa d'una taula de fusta rectangular de $120 \text{ cm}$ de llargada i $90 \text{ cm}$ d'amplada. Es vol fer un únic tall recte paral·lel al costat menor per rebutjar una franja d'amplada $x$, de manera que el rectangle de fusta restant sigui semblant al rectangle original. Calcula el valor de $x$.

El format de paper DIN es basa en la propietat geomètrica que, en dividir un plec per la meitat mitjançant un tall paral·lel al seu costat menor, els dos nous rectangles obtinguts són semblants al rectangle original. Demostra algebraicament que perquè un rectangle de costats $a$ i $b$ (amb $a > b$) compleixi aquesta propietat, la raó entre el costat major i el costat menor ha de ser exactament $\sqrt{2}$.

A l'interior d'un triangle isosceles de base $10 \text{ cm}$ i altura $6 \text{ cm}$ s'inscriu un rectangle de manera que un dels seus costats descansa sobre la base del triangle i els altres dos vèrtexs toquen els costats iguals del triangle. Si sabem que el rectangle inscrit té un format $2:1$ (la seva base és el doble que la seva altura), calcula les seves dimensions exactes.

Els vèrtexs d'un rectangle en el pla cartesià són $A(1, 1)$, $B(4, 1)$, $C(4, 3)$ i $D(1, 3)$. Se li aplica una homotècia de centre en l'origen de coordenades $O(0, 0)$ i raó de semblança $k = -2$ per obtenir un nou rectangle $A'B'C'D'$.

1. a) Calcula les coordenades dels nous vèrtexs.
2. b) Calcula l'àrea del rectangle original i del rectangle transformat, i comprova la relació entre totes dues àrees emprant el quadrat de la raó de semblança.

A Espanya, el Document Nacional d'Identitat (DNI) i les targetes bancàries segueixen l'estàndard internacional ID-1 (norma ISO/IEC 7810), les mides oficials del qual són $85{,}60\text{ mm}$ de llarg per $53{,}98\text{ mm}$ d'ample. D'altra banda, els impresos oficials de l'administració pública es publiquen en fulls de format DIN A4, que fan $297\text{ mm}$ de llarg per $210\text{ mm}$ d'ample.\n\na) Modela la situació calculant la relació d'aspecte (llarg dividit entre ample) de tots dos formats arrodonint a tres xifres decimals. A partir dels resultats, argumenta si el DNI és semblant a un full DIN A4.\nb) Els fulls de la sèrie DIN compleixen que la seva raó teòrica exacta és $\sqrt{2} \approx 1{,}414$. Si la Fábrica Nacional de Moneda y Timbre decidís redissenyar el carnet perquè mantingués exactament l'amplària actual de $53{,}98\text{ mm}$ però fos rigorosament semblant a un full DIN A4, quina hauria de ser la seva nova longitud?\nc) Compara la longitud real del DNI ($85{,}60\text{ mm}$) amb la que has obtingut a l'apartat b). El DNI real és més allargat o més quadrat que el format DIN? Justifica la teva resposta comparant ambdues raons.

Una agència de publicitat digital dissenya bàners adaptatius per a mitjans de comunicació en línia. Han creat un anunci principal per a pantalles d'ordinador que fa $960\text{ píxels}$ d'amplada i $360\text{ píxels}$ d'alçada. Per a la versió mòbil, necessiten que el nou anunci sigui matemàticament semblant al d'ordinador perquè els logotips no es deformin ni es tallin.\n\na) Escriu l'equació que ha de relacionar la base $x$ i l'alçària $y$ de l'anunci mòbil per garantir la semblança amb el d'ordinador, expressant la constant de proporcionalitat com una fracció irreductible.\nb) Si l'espai a la pantalla del telèfon exigeix que l'alçària de l'anunci sigui exactament de $120\text{ píxels}$, determina quina amplada $x$ ha de tenir el bàner.\nc) Planteja i resol el problema invers amb l'àrea: si el client exigeix que l'anunci per a mòbil tingui una superfície total exacta de $15000\text{ píxels}^2$ conservant la semblança amb el d'ordinador, calcula quines han de ser les seves dimensions exactes (base i alçària).

Un quadre rectangular té unes dimensions de $a$ (base) i $b$ (altura), amb $a > b$. S'hi afegeix un marc de fusta que té un gruix horitzontal $x$ (als laterals esquerre i dret) i un gruix vertical $y$ (a dalt i a baix). Demostra de forma algebraica que, perquè el rectangle exterior del marc sigui semblant al rectangle interior del quadre, els gruixos han de complir estrictament la proporció $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.

A un quadrat de costat $L$ se li adossa un rectangle de dimensions $L \times x$ (on $x < L$) compartint un costat de longitud $L$. S'exigeix que el rectangle total format, de dimensions $L \times (L+x)$, sigui matemàticament semblant al rectangle petit que s'ha adossat.

1. a) Planteja l'equació de semblança i calcula el valor exacte de $x$ en funció de $L$.
2. b) Demostra que el rectangle total és un rectangle auri.

El "nombre de plata" es defineix en matemàtiques com a $\delta_S = 1 + \sqrt{2}$. Un rectangle de plata és aquell en què la raó entre el seu costat major i el seu costat menor és exactament $\delta_S$. Demostra algebraicament que si a un rectangle de plata se li retallen dos quadrats màxims (els costats dels quals són iguals a l'altura del rectangle), el rectangle restant resultant continua sent un rectangle de plata.

En un sistema de coordenades, el perfil d'una teulada a dues aigües asimètrica està delimitat per l'eix d'abscisses i els segments que uneixen l'origen $(0,0)$ amb el punt $(4,6)$, i aquest últim amb el punt $(12,0)$. Es vol col·locar un panell solar rectangular inscrit en aquest triangle, recolzat sobre l'eix $X$. Si s'exigeix que el panell solar sigui semblant al rectangle que circumscriu el triangle sencer (és a dir, un rectangle de $12 \times 6$), calcula les dimensions exactes del panell solar.

Es té un rectangle $R_1$ de dimensions $21 \times 13 \text{ cm}$. Se li retalla el quadrat més gran possible, i s'obté un nou rectangle $R_2$. A aquest $R_2$ se li torna a retallar el quadrat més gran possible per obtenir $R_3$, i així positivament. Calcula les dimensions de $R_2$, $R_3$ i $R_4$. És algun d'aquests rectangles estrictament semblant a $R_1$? Calcula la raó entre el costat major i el menor en cada pas i explica a quin valor irracional s'aproxima aquesta successió de rectangles.

Un hort solar rectangular de dimensions $a$ (llargada) i $b$ (amplada), amb $a > b$, es subdividirà en $n$ parcel·les rectangulars idèntiques mitjançant talls paral·lels al seu costat menor. Si es requereix que cadascuna de les $n$ parcel·les sigui matemàticament semblant a l'hort original, determina l'expressió algebraica que ha de complir la raó $\frac{a}{b}$ en funció del nombre de parcel·les $n$.

Dos rectangles $R_1$ i $R_2$ són semblants amb una raó de semblança $k > 1$ (sent $R_2$ una ampliació de $R_1$). Sabem que la diagonal de $R_1$ mesura $D$ i que el perímetre de $R_1$ és $P$. Troba una expressió algebraica que permeti calcular l'àrea del rectangle ampliat $R_2$ en funció únicament de $k$, $P$ i $D$.

Es considera un rectangle $ABCD$ de base $AB = 8 \text{ cm}$ i altura $BC = 6 \text{ cm}$. Es traça la diagonal $AC$. Des del vèrtex $B$ es traça la perpendicular a la diagonal, que la tallà en el punt $H$. El segment $BH$ és l'altura del triangle rectangle $ABC$ sobre la hipotenusa. Demostra, calculant les seves dimensions exactes, que el rectangle que té per costats els segments $AH$ i $BH$ és matemàticament semblant al rectangle original $ABCD$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un taller de disseny editorial han de comparar dues làmines rectangulars per comprovar si les seves maquetes són semblants:\n- Làmina 1: base de $45\text{ cm}$ i alçària de $60\text{ cm}$.\n- Làmina 2: base de $54\text{ cm}$ i alçària de $72\text{ cm}$.\n\nL'equip debat quin procediment aplicar i sorgeixen tres propostes:\n- Mètode A (Raó interna d'aspecte): Dividir l'alçària entre la base dins de cada làmina ($60/45$ i $72/54$) i veure si tots dos quocients coincideixen.\n- Mètode B (Factor d'escala o raó externa): Dividir els costats homòlegs entre ambdues làmines ($54/45$ i $72/60$) per trobar la constant d'ampliació $k$.\n- Mètode C (Multiplicació en creu): Plantejar la igualtat $\frac{45}{60} = \frac{54}{72}$ i comprovar si el producte d'extrems és igual al de mitjans ($45 \cdot 72 = 60 \cdot 54$).\n\na) Aplica els tres mètodes amb les dades de l'enunciat i confirma si les làmines són semblants.\nb) Compara els mètodes i justifica: quin d'ells t'indica directament quantes vegades és més gran una làmina que l'altra?, quin et descriu la forma pròpia de la làmina sense dependre de l'altra?, i quin resulta més segur si les mides generen decimals infinits periòdics?\nc) Si et demanen calcular l'alçària $H$ d'una tercera làmina semblant que té una base de $75\text{ cm}$, tria raonadament quin dels tres mètodes permet aïllar $H$ de manera més directa i obtén el seu valor.

Un fotògraf professional fa les seves preses amb una càmera rèflex digital que té un sensor que genera imatges amb la proporció estàndard de fotografia $3:2$ (base més gran que l'alçària). En preparar una exposició, analitza les opcions d'impressió i emmarcament al mercat espanyol:\n\na) Al laboratori fotogràfic li ofereixen dos formats estàndard de paper: $10 \times 15\text{ cm}$ i $13 \times 18\text{ cm}$. Modela i demostra analíticament quin dels dos papers és estrictament semblant a la imatge del sensor i quin provocarà una deformació o una retallada si s'imprimeix ocupant tot el paper.\nb) Per al paper de $13 \times 18\text{ cm}$, si el fotògraf ajusta la foto a l'amplada total de $18\text{ cm}$ mantenint intacta la proporció $3:2$ de la imatge original, quina alçària real ocuparà la imatge impresa? Quants centímetres de paper quedaran en blanc al llarg de l'alçària?\nc) A una fotografia ja impresa de $10 \times 15\text{ cm}$ se li afegeix un marc amb un paspartú blanc al voltant de gruix uniforme constant de $x = 2{,}5\text{ cm}$ als quatre costats. Demostra algebraicament si el rectangle exterior total ($15 \times 20\text{ cm}$) és semblant o no a la foto original de $10 \times 15\text{ cm}$. A partir de la condició teòrica $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$, calcula quin gruix vertical $y$ hauria de tenir el marc si es fixa el gruix horitzontal en $x = 2{,}5\text{ cm}$ perquè el conjunt exterior sí que sigui semblant a la fotografia.