Semejanza de rectángulos
Las pantallas, las fotos y las hojas de papel son rectángulos, y casi nunca piensas en si son "semejantes" entre sí. Pero cuando amplías una foto, eliges una resolución de pantalla o fotocopias a otro tamaño, estás usando (o rompiendo) la semejanza de rectángulos sin darte cuenta.
Cuándo dos rectángulos son semejantes
Comprueba si la pantalla de una tableta con una resolución de $2048 \times 1536$ píxeles es matemáticamente semejante a la pantalla de un monitor de ordenador con una…
Comprueba si la pantalla de una tableta con una resolución de $2048 \times 1536$ píxeles es matemáticamente semejante a la pantalla de un monitor de ordenador con una resolución de $2560 \times 1440$ píxeles. Justifica tu respuesta calculando la razón de proporcionalidad entre sus lados.
Una fotografía impresa tiene unas dimensiones de $10 \text{ cm}$ de ancho por $15 \text{ cm}$ de largo. Queremos hacer una ampliación para un póster de forma que sea…
Una fotografía impresa tiene unas dimensiones de $10 \text{ cm}$ de ancho por $15 \text{ cm}$ de largo. Queremos hacer una ampliación para un póster de forma que sea semejante a la original. Si el ancho de la ampliación debe ser de $60 \text{ cm}$, ¿cuánto medirá su largo?
Formatos de pantalla: la relación de aspecto
En vídeo y fotografía, la "relación de aspecto" (por ejemplo $16{:}9$) es justo la razón base/altura que define una familia completa de rectángulos semejantes, sea una pantalla de móvil o una de cine.
La relación de aspecto de un televisor panorámico moderno es de $16:9$, lo que significa que el rectángulo de su pantalla es semejante a un rectángulo de $16 \text{ cm}$…
La relación de aspecto de un televisor panorámico moderno es de $16:9$, lo que significa que el rectángulo de su pantalla es semejante a un rectángulo de $16 \text{ cm}$ de base y $9 \text{ cm}$ de altura. Si la base de la pantalla de un televisor mide $104 \text{ cm}$, ¿cuánto mide su altura?
Una pantalla de televisión tiene una diagonal de $55 \text{ pulgadas}$ y su formato es semejante a un rectángulo de $16 \times 9$. Sabiendo que $1 \text{ pulgada}$…
Una pantalla de televisión tiene una diagonal de $55 \text{ pulgadas}$ y su formato es semejante a un rectángulo de $16 \times 9$. Sabiendo que $1 \text{ pulgada}$ equivale a $2,54 \text{ cm}$, calcula las dimensiones exactas (base y altura) de la pantalla en centímetros.
El formato DIN: doblar por la mitad sin perder la proporción
El tamaño de papel DIN (A4, A3, A5...) tiene una propiedad especial: al cortar una hoja por la mitad, paralelamente al lado corto, los dos trozos son semejantes a la hoja original.
Un folio estándar de tamaño DIN A4 mide $210 \text{ mm}$ de ancho por $297 \text{ mm}$ de largo. Si lo cortamos por la mitad con un corte paralelo al lado menor,…
Un folio estándar de tamaño DIN A4 mide $210 \text{ mm}$ de ancho por $297 \text{ mm}$ de largo. Si lo cortamos por la mitad con un corte paralelo al lado menor, obtenemos dos cuartillas de tamaño DIN A5. Calcula las dimensiones del DIN A5 y divide su lado mayor entre su lado menor para comprobar si mantiene aproximadamente la misma proporción que el DIN A4 original.
El formato de papel DIN se basa en la propiedad geométrica de que, al dividir un pliego por la mitad mediante un corte paralelo a su lado menor, los dos nuevos…
El formato de papel DIN se basa en la propiedad geométrica de que, al dividir un pliego por la mitad mediante un corte paralelo a su lado menor, los dos nuevos rectángulos obtenidos son semejantes al rectángulo original. Demuestra algebraicamente que para que un rectángulo de lados $a$ y $b$ (con $a > b$) cumpla esta propiedad, la razón entre el lado mayor y el lado menor debe ser exactamente $\sqrt{2}$.
Marcos y ampliaciones: cuándo *no* se conserva la semejanza
Añadir un marco de grosor constante a un rectángulo, o una franja de ancho fijo, casi nunca conserva la semejanza: el grosor hay que repartirlo con cuidado para que sí la conserve.
Se dispone de una plancha de madera rectangular de $120 \text{ cm}$ de largo y $90 \text{ cm}$ de ancho. Se desea realizar un único corte recto paralelo al lado menor…
Se dispone de una plancha de madera rectangular de $120 \text{ cm}$ de largo y $90 \text{ cm}$ de ancho. Se desea realizar un único corte recto paralelo al lado menor para desechar una franja de ancho $x$, de manera que el rectángulo de madera sobrante sea semejante al rectángulo original. Calcula el valor de $x$.
Un cuadro rectangular tiene unas dimensiones de $a$ (base) y $b$ (altura), con $a > b$. Se le añade un marco de madera que tiene un grosor horizontal $x$ (en los…
Un cuadro rectangular tiene unas dimensiones de $a$ (base) y $b$ (altura), con $a > b$. Se le añade un marco de madera que tiene un grosor horizontal $x$ (en los laterales izquierdo y derecho) y un grosor vertical $y$ (arriba y abajo). Demuestra de forma algebraica que, para que el rectángulo exterior del marco sea semejante al rectángulo interior del cuadro, los grosores deben cumplir estrictamente la proporción $\frac{x}{y} = \frac{a}{b}$.