Conceptos de semejanza

Sara tiene dos fotografías de su perro. La primera mide $10 \text{ cm}$ de ancho y $15 \text{ cm}$ de alto. La segunda es una ampliación que mide $20 \text{ cm}$ de ancho y $30 \text{ cm}$ de alto. ¿Son estas dos fotografías figuras semejantes? Justifica tu respuesta comprobando si las dimensiones son proporcionales.

Observa los siguientes pares de rectángulos. Indica, sin realizar cálculos complejos, cuál de ellos no puede ser semejante al original y explica por qué fijándote en su forma.

Calcula la razón de semejanza $k$ que convierte al rectángulo $A$ en el rectángulo $B$, sabiendo que el lado menor de $A$ mide $4 \text{ cm}$ y el lado menor de $B$ mide $12 \text{ cm}$. ¿Se trata de una ampliación o de una reducción?

Un logotipo tiene forma de pentágono regular con un lado de $3 \text{ cm}$. Para la fachada de una tienda, se fabrica un logotipo semejante con una razón de semejanza $k = 15$. ¿Cuánto medirá el lado del nuevo logotipo?

Dibuja en una cuadrícula una letra "L" que ocupe $2$ cuadraditos de ancho y $4$ de alto. A continuación, dibuja a su lado otra letra "L" que sea semejante pero con una razón de semejanza $k = 0,5$. ¿Cuántos cuadraditos de alto tendrá la nueva figura?

En la pantalla de su móvil, Marcos ve un mapa a una escala determinada. Si la razón de semejanza entre el mapa de la pantalla y la realidad es $k = \frac{1}{5000}$, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

• a) El mapa es una reducción de la realidad.

• b) $1 \text{ cm}$ en el mapa representa $5000 \text{ cm}$ en la realidad.

• c) Los ángulos entre las calles cambian en el mapa para que puedan caber en la pantalla.

Un ilustrador está diseñando dos versiones de un mismo logotipo rectangular. El logotipo original tiene unas dimensiones de $12\text{ cm}$ de largo y $8\text{ cm}$ de ancho. Si quiere crear una versión ampliada que sea semejante y cuyo largo mida $30\text{ cm}$:

1. Calcula la razón de semejanza $k$ de la ampliación.

2. Determina el ancho del nuevo logotipo.

3. Si el perímetro del logotipo pequeño es de $40\text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del grande? Utiliza la relación entre perímetros de figuras semejantes para comprobarlo.

Si tenemos dos polígonos semejantes con una razón de semejanza $k = 2,5$, y el perímetro del polígono pequeño es de $20 \text{ cm}$, ¿cuál será el perímetro del polígono mayor? Recuerda la relación que existe entre la razón de semejanza y los perímetros.

Disponemos de dos envases de zumo cilíndricos que son semejantes. El envase pequeño tiene una altura de $10\text{ cm}$ y una capacidad de $250\text{ ml}$. El envase grande tiene una altura de $20\text{ cm}$.

1. ¿Cuál es la razón de semejanza $k$ entre el envase grande y el pequeño?

2. Calcula la capacidad (volumen) del envase grande en litros. Recuerda la relación entre la razón de semejanza y el volumen de cuerpos semejantes.

3. Si el área de la base del pequeño es de $25\text{ cm}^2$, ¿cuál será el área de la base del grande?

Determina si los siguientes pares de triángulos son semejantes e indica qué criterio de semejanza has utilizado en cada caso:

• Caso A: El triángulo 1 tiene ángulos de $40^\circ$ y $75^\circ$. El triángulo 2 tiene ángulos de $75^\circ$ y $65^\circ$.

• Caso B: El triángulo 1 tiene lados de $6\text{ cm}$, $9\text{ cm}$ y $12\text{ cm}$. El triángulo 2 tiene lados de $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ y $16\text{ cm}$.

• Caso C: Ambos triángulos tienen un ángulo de $50^\circ$. En el primero, los lados que forman ese ángulo miden $4\text{ cm}$ y $7\text{ cm}$. En el segundo, miden $8\text{ cm}$ y $14\text{ cm}$.