Exercicis: Arrels (potències d'exponent racional)

Expressa els següents radicals com a potències d'exponent fraccionari: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.

Escriu en forma de radical les següents potències d'exponent fraccionari: $m^{2/3}$, $5^{1/4}$, $y^{-3/2}$.

Calcula el valor numèric exacte de les següents potències d'exponent racional sense utilitzar la calculadora: $27^{1/3}$, $16^{3/4}$, $25^{-1/2}$.

Simplifica els següents radicals expressant-los primer com a potència d'exponent fraccionari i reduint la fracció obtinguda: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$, $\sqrt[12]{a^8}$.

Realitza la següent multiplicació expressant prèviament els radicals com a potències d'exponent fraccionari. Dona el resultat final en forma de radical: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$.

Realitza la següent divisió expressant els termes en forma de potència d'exponent racional i simplifica el resultat: $\frac{\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a}}$.

Calcula la potència de l'arrel passant l'expressió a exponent fraccionari i aplicant les propietats de les potències: $(\sqrt[5]{2})^3$.

Expressa la següent operació com una única potència d'exponent racional: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} : x^{1/4}$.

En un examen de 4t d'ESO, en Marcos ha d'expressar diversos radicals com a potències. Quan arriba a l'expressió $\sqrt[3]{7^2}$, escriu al seu full:

Quan el professor li pregunta per què ho ha resolt així, en Marcos argumenta: «El 3 és el primer nombre que es llegeix en dir arrel cúbica, així que s'ha de col·locar al numerador de la fracció de l'exponent».

1. a) Explica de manera raonada quin és l'error de concepte d'en Marcos, recordant quina relació hi ha entre l'índex d'una arrel i l'exponent fraccionari en elevar l'expressió a aquest índex.
2. b) Corregeix la igualtat d'en Marcos escrivint la potència d'exponent fraccionari que correspon de debò a $\sqrt[3]{7^2}$.
3. c) Aplica la regla correcta per calcular el valor numèric exacte de $\sqrt[3]{64^2}$, calculant primer l'arrel del radicand i elevant després el resultat.

Al Parc Nacional de Doñana, l'equip veterinari que fa el seguiment del linx ibèric utilitza la llei al·lomètrica de Kleiber per estimar la taxa metabòlica basal $B$ (l'energia mínima diària en repòs que necessita l'animal per viure, mesurada en quilocalories al dia) en funció de la seva massa corporal $M$ (en quilograms):

1. a) Expressa la fórmula de $B$ substituint la potència d'exponent fraccionari per la seva expressió equivalent en forma de radical.
2. b) Per calcular l'energia basal d'un linx jove de $M = 16\text{ kg}$, un voluntari proposa calcular primer $16^3 = 4096$ i després intentar extreure l'arrel quarta $\sqrt[4]{4096}$, mentre que una tècnica veterinària proposa calcular primer $\sqrt[4]{16}$ i després elevar aquest valor al cub. Calcula el valor final de $B$ seguint el procediment de la tècnica i justifica per què el seu mètode és molt més convenient per fer el càlcul a mà sense calculadora.

En un cultiu de laboratori, la massa d'un bolet es modelitza mitjançant l'expressió $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, on $t$ és el temps transcorregut en dies. Si la massa inicial és de $15$ grams, calcula la massa del bolet després de $6$ dies i expressa-la en forma de radical per a l'instant $t = 4$ dies.

Opera i simplifica al màxim la següent expressió, utilitzant les propietats de les potències d'exponent racional: $\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt{a}}$.

El període $T$ (en segons) d'un pàndol simple de longitud $L$ (en metres) ve donat per la fórmula $T = 2\pi \cdot \left(\frac{L}{g}\right)^{1/2}$, on $g$ és l'acceleració de la gravetat. Si volem que el període d'oscillació es multipliqui per $3$, per quin factor s'ha de multiplicar la longitud del pàndol? Raona la teva resposta utilitzant les propietats de les potències.

Simplifica la següent expressió algebraica operant amb exponents fraccionaris i expressa el resultat final sense exponents negatius ni fraccionaris: $\left( \frac{x^{-1/2} \cdot y^{2/3}}{x^{1/3} \cdot y^{-1/6}} \right)^6$.

Un dipòsit amb forma de cub conté exactament $120$ litres d'aigua quan està completament ple. Expressa la longitud de la seva arista interior en decímetres utilitzant una potència d'exponent fraccionari.

Redueix a índex comú i ordena de menor a major els següents nombres, passant prèviament cada radical a potència d'exponent racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$.

Efectua la següent operació combinada passant prèviament tots els radicals a potències d'exponent racional de base $3$. Simplifica el resultat i expressa'l en forma de radical: $\frac{\sqrt[4]{27} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt[3]{9}}$.

En economia, si un capital creix a una taxa d'interès compost anual $r$, el capital final després de $t$ anys es calcula amb la fórmula $C = C_0 (1+r)^t$. Calcula el capital final si s'inverteixen $2\,000$ € al $5$ % d'interès anual durant $18$ mesos (expressa el temps com una fracció d'any i deixa l'operació indicada amb exponent racional).

Dos estudiants de 4t d'ESO, la Lucía i el David, han de simplificar i obtenir el valor exacte de la següent operació entre radicals:

• La Lucía decideix treballar directament amb radicals: busca el mínim comú múltiple dels índexs per reduir-los a índex comú ($6$) i opera dins d'una única arrel.

• El David decideix transformar-ho tot a potències: descompon el radicand en factors primers ($16 = 2^4$), expressa cada arrel com una potència de base $2$ amb exponent fraccionari i suma els exponents.

1. a) Resol l'operació pas a pas seguint el mètode de radicals de la Lucía fins a obtenir el valor numèric final.
2. b) Resol l'operació pas a pas seguint el mètode d'exponents fraccionaris del David fins a obtenir el mateix valor numèric.
3. c) Compara els dos camins: quin dels dos mètodes consideres més directe o menys propens a cometre errades quan els radicands són potències d'una mateixa base? Justifica la teva resposta.

En els programes de tecnificació del Centre d'Alt Rendiment (CAR) esportiu de Madrid, s'aplica un model biomecànic d'escala per estimar l'índex de força relativa $F$ d'un aixecador júnior en funció de la seva massa corporal $M$ (en quilograms):

Durant la seva etapa de formació, l'atleta passa d'una massa inicial de $27\text{ kg}$ a assolir $64\text{ kg}$ després de diverses temporades d'entrenament.

1. a) Estima i raona abans d'operar: la massa corporal de l'atleta s'ha multiplicat per més de dos ($64/27 \approx 2,37$). Tenint en compte que l'exponent fraccionari és menor que $1$ ($2/3 < 1$), esperes que la seva força relativa $F$ es dupliqui, creixi més del doble o creixi menys del doble? Justifica la teva deducció.
2. b) Transforma la fórmula a forma radical i calcula amb exactitud el valor de $F$ per a $M = 27\text{ kg}$ i per a $M = 64\text{ kg}$, detallant cada pas.
3. c) Comprova si la teva estimació de l'apartat a) era correcta calculant el quocient entre ambdues forces ($F_{64}/F_{27}$) i explica breument per què els esports de força es divideixen en categories de pes tan estrictes.

La tercera llei de Kepler estableix que el quadrat del període orbital $T$ d'un planeta és proporcional al cub del radi mitjà de la seva òrbita $R$. Expressa $T$ en funció de $R$ i de la constant de proporcionalitat $k$, utilitzant exponents fraccionaris. Si el radi de l'òrbita de Júpiter és aproximadament $5,2$ vegades el radi de l'òrbita de la Terra, quants anys terrestres triga Júpiter a fer una volta completa al Sol?

Simplifica la següent expressió algebraica operant des de l'interior cap a l'exterior i utilitzant potències d'exponent racional. Expressa el resultat com una única potència de base $x$: $\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot \sqrt[4]{x^{-1}}}}$.

La superfície corporal $S$ i el volum $V$ d'un mamífer estan relacionats de manera aproximada per la llei al·lomètrica $S = k \cdot V^{2/3}$, on $k$ és una constant. Si un elefant té un volum $1\,000$ vegades més gran que el d'un gos mitjà, quantes vegades més gran serà la superfície corporal de l'elefant respecte de la del gos? Justifica la teva resposta pas a pas fent servir les propietats de les potències.

Resol la següent equació exponencial. Per fer-ho, expressa prèviament tots dos membres de l'equació com a potències de base $5$ amb exponent racional: $\sqrt[3]{5^{2x-1}} = \frac{1}{\sqrt{5^{x+2}}}$.

Racionalitza l'expressió $\frac{2a}{\sqrt[5]{a^2}}$ interpretant la fracció com un quocient de potències d'exponent racional. Mostra tots els passos utilitzant les propietats dels exponents i expressa el resultat final en forma de radical.

Demostra que la propietat dels radicals $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$ és certa utilitzant exclusivament la definició d'arrel com a potència d'exponent racional i les propietats de les potències.

En la teoria de la relativitat especial, el factor de Lorentz es defineix mitjançant l'expressió $\gamma = \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$, on $v$ és la velocitat de la nau i $c$ la velocitat de la llum. Expressa aquesta fórmula utilitzant notació de radicals i fraccions. A continuació, calcula el valor exacte de $\gamma$ en forma de fracció simplificada si una nau viatja a una velocitat $v = \frac{\sqrt{3}}{2}c$.

Simplifica la següent expressió algebraica extreient el factor comú de menor exponent (utilitzant potències d'exponent racional): $x^{5/2} - x^{3/2}$. A continuació, avalua el valor numèric de l'expressió simplificada per a $x = 4$.

Un equip de programació educativa està dissenyant un simulador matemàtic. El sistema ha de transformar qualsevol nombre real positiu $x$ en el resultat exacte $x^{5/6}$. Tanmateix, el processador gràfic només permet encadenar dues arrels consecutives amb potències internes, respectant l'estructura:

on els paràmetres $a, b, c, d$ han de ser nombres enters positius, amb índexs d'arrel vàlids ($a \ge 2$ i $c \ge 2$).

1. a) Expressa l'estructura completa com una única potència de base $x$ i dedueix l'equació que han de verificar els paràmetres $a, b, c, d$ perquè el resultat coincideixi exactament amb $x^{5/6}$.
2. b) Troba dues combinacions de valors numèrics enters completament diferents per a $(a, b, c, d)$ que compleixin totes les condicions imposades pel processador.
3. c) Un programador novell assegura que si s'intercanvien els dos índexs de les arrels ($a$ per $c$) i els dos exponents ($b$ per $d$), el resultat final de l'algorisme canviarà. Demostra formalment, utilitzant les propietats de les potències d'exponent racional i del producte, si el programador té raó o està equivocat.

L'Institut Espanyol d'Oceanografia (IEO) monitora el creixement del musclo a les batees de la ria d'Arousa (Galícia). Per estimar la massa comercial de carn $M$ (en grams) a partir de la longitud total de la closca $L$ (en centímetres), els biòlegs fan servir el model al·lomètric:

1. a) Converteix l'exponent decimal $2,5$ en una fracció irreductible i escriu la fórmula completa utilitzant un únic radical simplificat.
2. b) Un productor afirma que si un musclo adult fa quatre vegades la longitud d'una cria ($L_{\text{adult}} = 4 \cdot L_{\text{cria}}$), la seva massa serà també quatre vegades més gran. Demostra algebraicament, aplicant les propietats de les potències d'exponent racional, per quin factor exacte es multiplica la massa en quadruplicar la longitud de la closca.
3. c) Calcula la massa exacta prevista pel model per a un exemplar petit de $L = 4\text{ cm}$ i per a un de gran de $L = 9\text{ cm}$, mostrant els passos intermedis amb arrels i potències enteres abans d'operar amb el factor $0,25$. A partir dels resultats i de la relació entre mesures lineals (1D) i volums (3D), justifica de manera raonada per què en els éssers vius la massa augmenta a un ritme molt més gran que la seva longitud.

Repte del tema. Quanta energia mou el nostre país i quina part correspon a la teva llar? Converteix-te en analista energètic i elabora un breu informe d'impacte.

1. Dades oficials: Entra al web de Red Eléctrica de España (REE) i consulta la demanda elèctrica peninsular anual recent en MWh. Converteix-la a joules sabent que $1\text{ kWh} = 3,6 \cdot 10^6\text{ J}$ i expressa-la en notació científica amb dos decimals.

2. De lo macro a lo micro: Pren el consum mensual d'una factura real de la llum de casa teva (o la mitjana espanyola de $270\text{ kWh/mes}$). Mitjançant operacions amb potències de base $10$, calcula quants habitatges com el teu proveeix la demanda nacional.

3. Càlcul amb exponent racional: Obtén també la demanda de fa $5$ anys ($V_0$) i l'actual ($V_f$). En un full de càlcul, determina la taxa anual de creixement usant la fórmula d'exponent fraccionari $r = \left(\frac{V_f}{V_0}\right)^{\frac{1}{5}} - 1$.

4. Proposta final: Redacta un informe breu comparant magnituds i proposant una mesura viable d'estalvi energètic a casa.

Es valorarà:

• Correcció en el canvi d'unitats i en la notació científica.

• Precisió en les operacions amb potències i en el càlcul amb arrels/exponents fraccionaris.

• Extracció rigorosa de dades reals al web oficial i claredat de l'informe.