Raíces y potencias de exponente racional
El periodo de un péndulo, el crecimiento de un cultivo de laboratorio cada "medio día", la relación entre el volumen y la superficie de un animal: todas estas fórmulas usan exponentes que no son números enteros. Un exponente $\frac{1}{2}$ o $\frac{2}{3}$ es, en realidad, una raíz escrita de otra forma.
De radical a potencia de exponente fraccionario
En las equivalencias con exponentes racionales trabajaremos con base $a>0$, numerador entero e índice entero $n\ge2$. La raíz de índice par es la principal, no negativa. $0^q=0$ para $q>0$; $0^0$ y los exponentes negativos de cero no se definen aquí. Las raíces impares admiten radicandos negativos, por ejemplo $\sqrt[3]{-8}=-2$, pero no trasladamos sin más todas las reglas a bases negativas: $\sqrt{(-1)^2}=1$, mientras $(-1)^{2/2}=-1$. En general, $\sqrt{x^2}=|x|$.
Expresa los siguientes radicales como potencias de exponente fraccionario: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.
Expresa los siguientes radicales como potencias de exponente fraccionario: $\sqrt[5]{x^3}$, $\sqrt{7}$, $\sqrt[4]{a^5}$.
Escribe en forma de radical las siguientes potencias de exponente fraccionario: $m^{2/3}$, $5^{1/4}$, $y^{-3/2}$.
Escribe en forma de radical las siguientes potencias de exponente fraccionario: $m^{2/3}$, $5^{1/4}$, $y^{-3/2}$.
Calcular valores exactos
Pasar a exponente fraccionario permite usar las propiedades de las potencias que ya conoces, en vez de manipular radicales a mano.
Calcula el valor numérico exacto de las siguientes potencias de exponente racional sin utilizar la calculadora: $27^{1/3}$, $16^{3/4}$, $25^{-1/2}$.
Calcula el valor numérico exacto de las siguientes potencias de exponente racional sin utilizar la calculadora: $27^{1/3}$, $16^{3/4}$, $25^{-1/2}$.
Simplificar radicales reduciendo el exponente
Si el numerador y el denominador del exponente tienen factores comunes, el radical se puede simplificar a un índice más pequeño.
Simplifica los siguientes radicales expresándolos primero como potencia de exponente fraccionario y reduciendo la fracción obtenida: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$,…
Simplifica los siguientes radicales expresándolos primero como potencia de exponente fraccionario y reduciendo la fracción obtenida: $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[10]{x^5}$, $\sqrt[12]{a^8}$.
Operar radicales de distinto índice
Con exponentes fraccionarios, multiplicar o dividir radicales de distinto índice es tan fácil como sumar o restar fracciones.
Realiza la siguiente multiplicación expresando previamente los radicales como potencias de exponente fraccionario. Da el resultado final en forma de radical:…
Realiza la siguiente multiplicación expresando previamente los radicales como potencias de exponente fraccionario. Da el resultado final en forma de radical: $\sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$.
Expresa la siguiente operación como una única potencia de exponente racional: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} : x^{1/4}$.
Expresa la siguiente operación como una única potencia de exponente racional: $x^{1/2} \cdot x^{1/3} : x^{1/4}$.
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes números, pasando previamente cada radical a potencia de exponente racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$,…
Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes números, pasando previamente cada radical a potencia de exponente racional: $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt[4]{4}$.
Aplicaciones: crecimiento y escalas
En un cultivo de laboratorio, la masa de un hongo se modela mediante la expresión $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en días. Si la masa…
En un cultivo de laboratorio, la masa de un hongo se modela mediante la expresión $M(t) = M_0 \cdot 2^{t/3}$, donde $t$ es el tiempo transcurrido en días. Si la masa inicial es de $15$ gramos, calcula la masa del hongo tras $6$ días y exprésala en forma de radical para el instante $t = 4$ días.
La superficie corporal $S$ y el volumen $V$ de un mamífero están relacionados de forma aproximada por la ley alométrica $S = k \cdot V^{2/3}$, donde $k$ es una…
La superficie corporal $S$ y el volumen $V$ de un mamífero están relacionados de forma aproximada por la ley alométrica $S = k \cdot V^{2/3}$, donde $k$ es una constante. Si un elefante tiene un volumen $1\,000$ veces mayor que el de un perro mediano, ¿cuántas veces mayor será la superficie corporal del elefante respecto a la del perro? Justifica tu respuesta paso a paso usando las propiedades de las potencias.