Raíces de un polinomio
En un videojuego de plataformas, la altura de un personaje que salta sigue una curva: sube, llega arriba y vuelve a tocar el suelo. Los instantes en los que toca el suelo son justo los puntos donde esa curva corta el eje horizontal. Si la altura viene dada por un polinomio $P(x)$, esos instantes son sus raíces: los valores de $x$ para los que $P(x) = 0$. Este apartado va de encontrarlas sin tener que dibujar la gráfica cada vez.
Qué es una raíz
Comprobar si un número es raíz es tan sencillo como sustituir y calcular.
Evalúa el polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analíticamente si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces suyas.
Evalúa el polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ para determinar analíticamente si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces suyas.
Justifica, sin realizar ningún cálculo complejo ni usar la regla de Ruffini, por qué $x = 0$ es obligatoriamente una raíz del polinomio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.
Justifica, sin realizar ningún cálculo complejo ni usar la regla de Ruffini, por qué $x = 0$ es obligatoriamente una raíz del polinomio $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.
Raíces y gráfica: los cortes con el eje X
Si representas $y = P(x)$, sus raíces son exactamente los puntos donde la curva toca o cruza el eje $X$. Por eso a veces se las llama también "ceros" del polinomio.
Fíjate en la gráfica: hay tres puntos marcados sobre el eje $X$, y esos son los tres valores de $x$ que anulan el polinomio. Nota también que una raíz doble (el polinomio toca el eje sin cruzarlo, como una raíz que se repite dos veces) se ve distinta de una simple: la curva "rebota" en vez de atravesar.
Observa la gráfica de la función polinómica $y = P(x)$ y escribe cuáles son sus raíces reales basándote en los puntos de intersección con los ejes.
Observa la gráfica de la función polinómica $y = P(x)$ y escribe cuáles son sus raíces reales basándote en los puntos de intersección con los ejes.
Determina las raíces del polinomio que ya se encuentra factorizado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando cuáles son simples y cuáles múltiples.
Determina las raíces del polinomio que ya se encuentra factorizado: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicando cuáles son simples y cuáles múltiples.
Ruffini: dividir entre $(x-a)$ y comprobar el resto
Sustituir funciona bien para comprobar un candidato, pero cuando ya sabes (o sospechas) que $a$ es raíz, la regla de Ruffini te da además el cociente, es decir, el polinomio que queda al "quitar" esa raíz.
Si el resto de la división de $P(x)$ entre $(x-a)$ es $0$, entonces $a$ es raíz y $(x-a)$ es un factor de $P(x)$. Si el resto no es $0$, $a$ no es raíz: no hace falta probar nada más con ese número.
Utiliza la regla de Ruffini para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.
Utiliza la regla de Ruffini para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.
Halla todas las raíces enteras del polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando la regla de Ruffini de forma iterativa.
Halla todas las raíces enteras del polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilizando la regla de Ruffini de forma iterativa.
Candidatos a raíz entera: los divisores del término independiente
Probar números al azar es ineficiente. Si el polinomio tiene coeficientes enteros, sus raíces enteras (si las tiene) están siempre entre los divisores del término independiente.
Escribe todos los números enteros que son candidatos a ser raíces del polinomio mónico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basándote en su término independiente.
Escribe todos los números enteros que son candidatos a ser raíces del polinomio mónico $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basándote en su término independiente.
Determina todas las raíces racionales del polinomio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para ello, indica primero la lista completa de fracciones candidatas y luego comprueba…
Determina todas las raíces racionales del polinomio $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Para ello, indica primero la lista completa de fracciones candidatas y luego comprueba cuáles anulan el polinomio.
De las raíces a la factorización completa
Si conoces todas las raíces de un polinomio, puedes escribirlo directamente como producto de factores $(x - \text{raíz})$, multiplicados por el coeficiente principal. Esta es la idea que conecta las raíces con la factorización que trabajarás a fondo con factor común e identidades notables en otros apartados.
Este proceso se apoya en el factor común y las identidades notables para simplificar antes de usar Ruffini: ambas herramientas se tratan con detalle en los apartados de factorización de polinomios.
Construye un polinomio de tercer grado, desarrollado y ordenado, que tenga como raíces exactas $x = 1$, $x = -3$ y $x = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$.
Construye un polinomio de tercer grado, desarrollado y ordenado, que tenga como raíces exactas $x = 1$, $x = -3$ y $x = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$.
Escribe un polinomio de cuarto grado, en su forma desarrollada, que tenga a $x = 2$ como raíz doble, a $x = -1$ como raíz simple, que carezca de término independiente y…
Escribe un polinomio de cuarto grado, en su forma desarrollada, que tenga a $x = 2$ como raíz doble, a $x = -1$ como raíz simple, que carezca de término independiente y cuyo coeficiente del término de mayor grado sea $3$.
Sabiendo que un polinomio de tercer grado mónico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene como raíces $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ y $x_3 = 4$, determina el valor numérico de su…
Sabiendo que un polinomio de tercer grado mónico $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene como raíces $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ y $x_3 = 4$, determina el valor numérico de su término independiente $c$ y de su coeficiente de grado dos $a$. Justifica tu respuesta deduciéndolo a partir de la forma factorizada sin necesidad de realizar toda la multiplicación de los tres binomios.