Exercicis: Arrels de polinomis

Avalua el polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$ per determinar analíticament si els valors $x = 2$ i $x = -1$ són arrels seves.

Utilitza la regla de Ruffini per comprovar si $x = 3$ és una arrel del polinomi $Q(x) = 2x^4 - 5x^3 - 4x^2 + 7x - 6$.

Escriu tots els nombres enters que són candidats a ser arrels del polinomi mònic $R(x) = x^4 + 3x^3 - 5x^2 + x - 12$, basant-te en el seu terme independent.

Determina les arrels del polinomi que ja es troba factoritzat: $S(x) = 3x(x - 5)(x + 2)^2$, indicant quines són simples i quines múltiples.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè $x = -2$ sigui una arrel exacta del polinomi $T(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 10$.

Construeix un polinomi de tercer grau, desenvolupat i ordenat, que tingui com a arrels exactes $x = 1$, $x = -3$ i $x = 4$, i el coeficient principal del qual sigui $1$.

Observa la gràfica de la funció polinòmica $y = P(x)$ i escriu quines són les seves arrels reals basant-te en els punts d'intersecció amb els eixos.

Justifica, sense fer cap càlcul complex ni usar la regla de Ruffini, per què $x = 0$ és obligatòriament una arrel del polinomi $V(x) = 5x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 9x$.

A la classe de Matemàtiques, la Lucía està buscant les arrels primeres del polinomi $P(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$ i escriu a la pissarra la conclusió següent: «Com que el terme independent és $12$, les úniques possibles arrels primeres són els seus divisors positius: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ i $12$. He comprovat que en substituir $x = 2$ s'obté $P(2) = 0$, per la qual cosa concloc que el binomi $(x + 2)$ és un factor que divideix exactament $P(x)$». Identifica els dos errors conceptuals que ha comès la Lucía, explica detalladament per què contradiuen la relació entre arrels, divisors i factors, i redacta les dues afirmacions corregides.

En una estació meteorològica de l'AEMET a Terol, la temperatura $T$ (en graus Celsius) durant un matí d'hivern es modelitza en funció del temps transcorregut $t$ (en hores transcorregudes des de les 8:00 h, en l'interval $t \in [0, 6]$) mitjançant el polinomi $T(t) = -t^2 + 5t - 6$.

1. a) Troba analíticament les arrels de $T(t)$ i explica quin significat físic tenen en els termòmetres de l'estació.
2. b) A quines hores exactes del rellotge la temperatura va ser de $0\text{ }^\circ\text{C}$?
3. c) Sabent que entre ambdues arrels la gràfica no torna a tallar l'eix horitzontal, avalua el polinomi en un valor horari intermedi per determinar de manera raonada si en aquest interval de temps la temperatura va estar sobre zero o sota zero.

Troba totes les arrels enteres del polinomi de quart grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilitzant la regla de Ruffini de forma iterativa.

El benefici d'una empresa tecnològica, en milers d'euros, ve donat pel polinomi $B(x) = -x^3 + 6x^2 - 5x$, on $x$ representa els mesos transcorreguts des de l'inici de l'any fiscal. Determina en quins mesos exactes el benefici de l'empresa és nul.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $Q(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ tingui com a arrels exactes $x = 1$ i $x = -2$.

Un enginyer dissenya una peça metàl·lica el volum de la qual, en centímetres cúbics, depèn d'una mesura d'ajust $x$ segons l'expressió $V(x) = 2x^3 - 9x^2 + 10x - 3$. Determina quins valors de $x$ fan que el volum sigui nul (és a dir, troba totes les arrels del polinomi).

Escriu un polinomi de quart grau, en la seva forma desenvolupada, que tingui $x = 2$ com a arrel doble, $x = -1$ com a arrel simple, que no tingui terme independent i el coeficient del terme de major grau del qual sigui $3$.

Determina totes les arrels racionals del polinomi $R(x) = 3x^3 + 5x^2 - 4x - 4$. Per fer-ho, indica primer la llista completa de fraccions candidates i després comprova quines anul·len el polinomi.

La trajectòria vertical d'un dron submarí en fase de proves segueix la corba donada per $A(t) = t^4 - 10t^3 + 35t^2 - 50t + 24$, on $A$ és la profunditat en metres i $t$ el temps en minuts des de l'inici de la immersió. Troba en quins instants $t$ el dron es troba exactament a la superfície de l'aigua ($A(t) = 0$).

Demostra de forma raonada que el polinomi $P(x) = x^4 + 3x^2 + 5$ no té cap arrel real, analitzant el signe que prenen els seus diferents termes per a qualsevol valor de $x \in \mathbb{R}$.

Una cooperativa d'oli d'oliva a Jaén analitza el seu marge de benefici diari $B(x)$ (en centenars d'euros) en processar $x$ tones d'oliva mitjançant la funció $B(x) = -x^3 + 8x^2 - 11x - 20$, sent $x \ge 0$. El llindar de rendibilitat (punt d'equilibri on ni es guanyen ni es perden diners) s'assoleix justament en les arrels de $B(x)$.

1. a) Abans de calcular res, raona per què els divisors negatius del terme independent no tenen sentit econòmic en aquest context. Si la capacitat tècnica de la tafona no supera les $6$ tones diàries, estima quins possibles candidats enters positius a arrel té sentit avaluar.
2. b) Tria de manera justificada el candidat que consideris més prometedor i comprova mitjançant substitució o per la regla de Ruffini si és arrel de $B(x)$.
3. c) Factoritza el polinomi per trobar totes les arrels amb significat econòmic i interpreta amb quin volum diari de processament la tafona opera en el punt d'equilibri sense pèrdues.

Un programador de videojocs a València està dissenyant el relleu d'una pantalla de plataformes en dues dimensions, on el nivell de terra ve donat per l'eix horitzontal $X$. El disseny requereix un polinomi mònic $P(x)$ (amb coeficient principal $1$) que compleixi les condicions següents:

1. El personatge creua el nivell de terra travessant-lo en $x = -1$ i en $x = 3$.

2. En $x = 2$, el terreny toca la cota de terra rebotant cap amunt sense enfonsar-se (és a dir, $x = 2$ és una arrel de multiplicitat $2$).

3. El polinomi té el grau més petit possible que permeti aquestes característiques.

1. a) Escriu la forma factoritzada de $P(x)$ i dedueix quin és el seu grau.
2. b) Sense necessitat de multiplicar tots els factors, calcula raonadament el terme independent de $P(x)$ explicant com es relaciona amb les arrels donades.
3. c) Si el dissenyador decideix multiplicar tot el polinomi per $3$ per triplicar l'alçària dels turons, canviarien els punts en què el terreny toca terra? Justifica la teva resposta utilitzant la definició d'arrel.

Sabent que un polinomi de tercer grau mònic $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ té com a arrels $x_1 = -1$, $x_2 = 2$ i $x_3 = 4$, determina el valor numèric del seu terme independent $c$ i del seu coeficient de grau dos $a$. Justifica la teva resposta deduint-ho a partir de la forma factoritzada sense necessitat de fer tota la multiplicació dels tres binomis.

Una caixa sense tapa es construeix a partir d'una làmina rectangular de cartró de $40\text{ cm}$ per $30\text{ cm}$, retallant quadrats idèntics de costat $x$ a les quatre cantonades i doblant les solapes cap amunt. Troba el polinomi $V(x)$ que defineix el volum de la caixa i determina totes les seves arrels matemàtiques (fins i tot aquelles que no tinguin sentit físic per a la construcció de la caixa).

Troba l'expressió d'un polinomi $Q(x)$ de grau 5 que compleixi simultàniament totes les condicions següents:

• $x = \sqrt{2}$ i $x = -\sqrt{2}$ són arrels simples.

• $x = 3$ és una arrel doble.

• La gràfica del polinomi passa per l'origen de coordenades.

• El valor numèric del polinomi en $x = 1$ és $Q(1) = 8$.

Es sap que el polinomi $R(x) = x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + k$ té una arrel a $x = 2$. Troba primer el valor del paràmetre $k$. A continuació, comprova mitjançant la regla de Ruffini si $x = 2$ és una arrel múltiple (doble, triple...) i troba la resta d'arrels reals del polinomi.

En un estudi de dinàmica de poblacions, el creixement d'una colònia de bacteris ve donat pel model $C(t) = t^4 - 8t^3 + 22t^2 - 24t + 9$. Un biòleg afirma que la població s'anul·la en exactament dos instants de temps diferents, i en tots dos casos amb multiplicitat parella. Factoritza el polinomi per comprovar si el biòleg té raó i indica els instants en els quals $C(t) = 0$.

Demostra analíticament que si un polinomi $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ té tots els seus coeficients enters i tant $P(0)$ com $P(1)$ donen com a resultat nombres senars, aleshores $P(x)$ no pot tenir cap arrel que sigui un nombre enter. (Pista: raona sobre la paritat de $x$ quan és parell i quan és senar).

El cost de producció d'un component tecnològic segueix la funció polinòmica $C(x) = 8x^3 - 36x^2 + 46x - 15$. Sabent que $x = \frac{3}{2}$ és una de les arrels exactes d'aquest polinomi, determina les altres dues arrels resolent l'equació resultant després de la divisió.

Un dissenyador 3D crea una superfície corba el perfil de tall transversal de la qual està modelat pel polinomi $P(x) = x^5 - 2x^4 - 6x^3 + 8x^2 + 5x - 6$. Troba totes les arrels d'aquest perfil per saber en quins punts exactes interseca amb l'eix horitzontal de referència.

Per esbrinar quins dels nombres $x = -1$, $x = 2$ i $x = 5$ són arrels del polinomi $P(x) = x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$, dos estudiants proposen camins diferents:

• El Sergio suggereix aplicar directament la regla de Ruffini de manera successiva amb cadascun dels tres nombres.

• La Marta proposa fixar-se primer en els divisors del terme independent i, per als valors que no es descartin, calcular el valor numèric $P(a)$.

1. a) Compara críticament ambdós mètodes: quins avantatges i inconvenients presenta cadascun segons si es busca només comprovar les arrels o també factoritzar el polinomi?
2. b) Aplicant la propietat de les arrels enteres sobre el terme independent, justifica per què un dels tres valors proposats es pot descartar immediatament sense fer cap operació aritmètica llarga.
3. c) Selecciona i aplica l'estratègia més convenient per verificar quins dels valors restants són efectivament arrels de $P(x)$ i obtén el polinomi quocient resultant després d'extreure aquests factors per trobar les arrels que falten.

La Direcció General de Trànsit (DGT) i l'IDAE estudien el consum de combustible de furgonetes de repartiment en trams interurbans. Per a un vehicle tipus, la desviació en el consum de carburant respecte al nivell òptim de referència (en litres cada $100\text{ km}$) es descriu mitjançant el polinomi $C(v) = v^3 - 27v^2 + 236v - 660$, on $v$ representa la velocitat de marxa en desenes de quilòmetres per hora (és a dir, $v = 6$ correspon a $60\text{ km/h}$, $v = 10$ a $100\text{ km/h}$, etc.).

1. a) Sabent que a $100\text{ km/h}$ ($v = 10$) el vehicle assoleix amb exactitud un dels seus règims de consum de referència ($C(10) = 0$), comprova mitjançant la regla de Ruffini que $v = 10$ és arrel i descompon $C(v)$ en producte de tres factors de primer grau.
2. b) Troba totes les arrels reals del polinomi i interpreta quines són aplicables a la conducció real segons els límits legals de velocitat en autovies i autopistes espanyoles ($60\text{ km/h}$ de velocitat mínima i $120\text{ km/h}$ de velocitat màxima).
3. c) Sense calcular el valor numèric desenvolupat de $C(8)$, utilitza el signe individual de cadascun dels tres factors obtinguts a l'apartat a) per raonar si en circular a $80\text{ km/h}$ ($v = 8$) el consum del vehicle se situa per sobre o per sota del nivell òptim de referència.