Expresiones algebraicas
Una suscripción de música cuesta 9 € al mes. ¿Cuánto pagas en $x$ meses? $9x$ euros. Con una letra has escrito, de una vez, la respuesta para cualquier número de meses. Eso es el álgebra: usar letras para representar números que pueden cambiar o que aún no conocemos.
El lenguaje algebraico
Una expresión algebraica combina números y letras (variables) con operaciones. Traducir del lenguaje normal al algebraico es la primera habilidad que necesitas:
| Lenguaje normal | Lenguaje algebraico |
|---|---|
| El doble de un número | $2x$ |
| Un número más 5 | $x + 5$ |
| El cuadrado de un número | $x^2$ |
| La mitad de un número menos 3 | $\frac{x}{2} - 3$ |
| La mitad de (un número menos 3) | $\frac{x - 3}{2}$ |
| Dos números consecutivos | $x,\ x + 1$ |
| Un número par / impar | $2n$ / $2n + 1$ |
En una tienda de aplicaciones para móviles, el coste de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ euros. Además, hay una comisión fija de $1,50$ € por…
En una tienda de aplicaciones para móviles, el coste de una suscripción mensual a un servicio de música es de $x$ euros. Además, hay una comisión fija de $1,50$ € por gastos de gestión en cada recibo. Expresa en lenguaje algebraico:
- a) El coste total de un mes de suscripción.
- b) El coste de tres meses de suscripción para un mismo usuario.
- c) El coste de la suscripción de un mes para un grupo de 4 amigos si a cada uno se le aplica un descuento de $2$ € sobre el precio base $x$.
Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación: a)…
Un arquitecto está diseñando una habitación rectangular. El largo de la habitación mide $5$ metros más que el ancho. Si llamamos $x$ al ancho de la habitación:
- a) Escribe una expresión algebraica que represente el perímetro de la habitación.
- b) Escribe una expresión algebraica que represente el área de la habitación.
Monomios
Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal: $3x^2$ y $-7x^2$ lo son; $3x^2$ y $3x$ no. Solo los semejantes se pueden sumar o restar, sumando los coeficientes:
$$3x^2 - 7x^2 + x^2 = (3 - 7 + 1)x^2 = -3x^2$$Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado: | Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado | | :--- | :---: | :---: | :---: |…
Copia y completa la siguiente tabla identificando los elementos de cada monomio dado:
| Monomio | Coeficiente | Parte Literal | Grado |
|---|---|---|---|
| $-5x^2y$ | |||
| $\frac{3}{4}ab^3$ | |||
| $x^2yz^2$ | |||
| $-12$ |
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes: a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$ b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$ c)…
Reduce las siguientes expresiones algebraicas sumando o restando los monomios semejantes:
- a) $3x^2 - 5x + 2x^2 + x - 4x^2$
- b) $2ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + a^2b$
- c) $x + \frac{1}{2}x + 3x$
Polinomios
Un polinomio es una suma de monomios no semejantes (sus términos). Se escribe normalmente ordenado de mayor a menor grado:
$$P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$$-
Grado del polinomio: el mayor grado de sus términos (aquí, 3).
-
Coeficiente principal: el del término de mayor grado ($-2$).
-
Término independiente: el que no lleva $x$ ($7$).
-
Si falta algún grado, el polinomio es incompleto: $x^3 - 4$ no tiene $x^2$ ni $x$.
Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuál es el grado del polinomio? b) ¿Cuál es el coeficiente del término de…
Dado el polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - x + 7$, responde a las siguientes cuestiones:
- a) ¿Cuál es el grado del polinomio?
- b) ¿Cuál es el coeficiente del término de grado 2?
- c) ¿Cuál es el término independiente?
- d) Ordena el polinomio de forma creciente (de menor a mayor grado).
Valor numérico y raíces
El valor numérico de un polinomio para $x = a$ es lo que sale al sustituir $x$ por $a$ y operar. Se escribe $P(a)$.
Si $P(a) = 0$, se dice que $a$ es una raíz del polinomio. Gráficamente, las raíces son los puntos donde la gráfica corta al eje $X$. Pasa el dedo por la gráfica para ver el valor numérico en cada punto:
Aquí $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ tiene tres raíces: $-1$, $1$ y $2$. Compruébalo: $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$.
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican: a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$ b) $2(a + b)^2$…
Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas para los valores de las variables que se indican:
- a) $3x^2 - 5x + 2$ para $x = 2$
- b) $2(a + b)^2$ para $a = -1$ y $b = 3$
- c) $\frac{x + 2y}{2}$ para $x = 4$ e $y = -3$
Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el coste en céntimos del alquiler en función de los minutos de…
Una empresa de alquiler de patinetes eléctricos utiliza la siguiente expresión algebraica para calcular el coste en céntimos del alquiler en función de los minutos de uso ($x$):
$$ C(x) = 2x^2 - 5x + 150 $$Nota: Esta fórmula es un modelo promocional para usuarios VIP y es válida para trayectos cortos.
-
Calcula el valor numérico del coste si utilizas el patinete durante 10 minutos.
-
Si un usuario ha pagado exactamente 150 céntimos, ¿cuántos minutos teóricamente ha estado usando el patinete según la fórmula? (Pista: observa el término independiente).
-
Desarrolla la expresión del coste para un tiempo de $(x + 3)$ minutos, es decir, calcula y simplifica $C(x+3)$.
Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero. Dado el polinomio…
Queremos comprobar si ciertos valores son "raíces" de un polinomio. Recuerda que una raíz es un valor que hace que el polinomio valga cero.
Dado el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$:
-
Utiliza la Regla de Ruffini para dividir $P(x)$ entre $(x - 1)$. ¿Cuál es el resto? ¿Es $x=1$ una raíz del polinomio?
-
Sin usar Ruffini, calcula el valor numérico $P(-2)$. ¿Es $x=-2$ una raíz?
-
Escribe el polinomio $P(x)$ como producto de sus factores irreducibles sabiendo sus raíces.