Exercicis: Polinomis

Calcula el valor numèric del polinomi $P(x, y) = 3x^2y - 5xy^2 + 2x - 3y + 1$ per a $x = -2$ i $y = 3$.

Donats els polinomis $A(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ i $B(x) = -x^3 + 3x^2 - 2x + 4$, calcula l'expressió reduïda de $2 \cdot A(x) - 3 \cdot B(x)$.

Efectua el producte de polinomis següent i redueix els termes semblants per obtenir el polinomi final: $(2x^2 - 3x + 4) \cdot (x^2 + 5x - 2)$.

Realitza la divisió del polinomi $P(x) = x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 5x + 7$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, indicant clarament quin és el polinomi quocient $C(x)$ i el polinomi residu $R(x)$.

Utilitza la regla de Ruffini per trobar el quocient i el residu de la divisió $(2x^4 - 5x^3 + 4x - 6) : (x - 2)$.

Sense realitzar la divisió, determina el residu que s'obté en dividir el polinomi $P(x) = 3x^5 - 2x^3 + x^2 - 4$ entre $x + 1$.

Comprova, utilitzant el teorema del factor, si $x = -3$ és una arrel del polinomi $P(x) = x^3 + 4x^2 + x - 6$.

Extrau el factor comú i utilitza les identitats notables per factoritzar al màxim el polinomi $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$.

Carlos ha de calcular el valor numèric del polinomi $P(x) = -2x^3 + 3x^2 - 5x + 4$ per a $x = -2$. A la seva llibreta ha escrit el procediment següent:

Localitza l'error concret que ha comès Carlos en aplicar la jerarquia d'operacions o els signes de les potències, explica amb les teves paraules per què la seva deducció és incorrecta i calcula el valor numèric correcte.

Una empresa de lloguer de furgonetes de repartiment a València estableix la seva tarifa en euros mitjançant el polinomi $C(t) = 0,05t^2 + 0,4t + 15$, on $t$ representa el temps d'ús en hores.

1. a) Identifica el grau del polinomi, el seu coeficient principal i el seu terme independent.
2. b) Explica quin significat econòmic real té el terme independent en el context del lloguer de la furgoneta.
3. c) Justifica si el polinomi és complet o incomplet.
4. d) Calcula quant pagarà un client que utilitza la furgoneta durant $3$ hores.

La base d'un panell solar rectangular mesura $2x + 5$ metres i la seva altura mesura $3x - 2$ metres. Escriu les expressions algebraiques (polinomis reduïts) que representen el perímetre i l'àrea del panell solar.

Determina el valor del paràmetre $k$ perquè el polinomi $P(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 8$ sigui divisible entre $x - 4$.

Es vol construir una caixa sense tapa a partir d'una làmina de cartró rectangular de $40$ cm de llarg per $30$ cm d'ample, retallant un quadrat de costat $x$ a cada cantonada i doblegant les solapes. Expressa el volum de la caixa com un polinomi en funció de $x$ i determina el seu grau.

Donats els polinomis $P(x) = x^2 - 4$, $Q(x) = x + 2$ i $R(x) = 3x^2 - x + 1$, calcula i simplifica l'expressió algebraica resultant de $\frac{P(x)}{Q(x)} \cdot R(x)$.

Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^3 - 4x^2 - 11x + 30$ sabent que una de les seves arrels meandres es troba entre els divisors positius de $30$.

L'altura $h$ (en metres) d'un dron en funció del temps $t$ (en segons) ve donada pel polinomi $h(t) = -2t^2 + 12t + c$. Si als $3$ segons el dron es troba a $25$ metres d'altura, calcula el valor de $c$ i determina l'altura inicial des de la qual va enlairar-se.

Simplifica la fracció algebraica següent factoritzant prèviament el numerador i el denominador: $\frac{2x^2 - 8}{x^2 - 4x + 4}$.

Una empresa de tecnologia estima que els seus ingressos mensuals (en milers d'euros) venen donats pel polinomi $I(x) = -2x^2 + 50x$, i els seus costs de producció per $C(x) = 10x + 150$, on $x$ és la quantitat de dispositius fabricats (en centenars). Obtén el polinomi que representa el benefici mensual $B(x)$ i calcula el benefici exacte si es fabriquen $1000$ dispositius.

Segons els registres d'una estació meteorològica d'AEMET a la Sierra de Guadarrama durant un dia d'hivern, la temperatura $T$ (en graus Celsius) entre la mitjanit i el migdia s'aproxima mitjançant el polinomi $T(t) = -0,1t^2 + 1,2t - 5$, on $t$ és el temps transcorregut en hores ($0 \le t \le 12$).

1. a) Sense fer el càlcul exacte, estima raonadament si a les $2:00$ de la matinada ($t = 2$) la temperatura serà positiva o sota zero, comparant el pes del terme independent enfront dels altres termes.
2. b) Comprova la teva estimació calculant el valor numèric exacte de $T(2)$ i valora si el resultat és coherent amb la teva predicció.
3. c) Un comunicat informatiu afirma que a les $5:00$ de la matinada ($t = 5$) el termòmetre va marcar exactament $0\text{ \textdegree C}$. Raona si el valor $t = 5$ és una arrel del polinomi $T(t)$ i determina si l'afirmació del comunicat és vertadera o falsa.

Dissenya l'expressió algebraica d'un polinomi $P(x)$ que compleixi simultàniament aquestes quatre condicions:

1. És de grau $3$ i el seu coeficient principal és $-2$.

2. És un polinomi incomplet al qual li falta el terme de grau $1$.

3. El seu terme independent és $8$.

4. El nombre $2$ és una de les seves arrels.

1. a) Dedueix pas a pas el valor de cadascun dels coeficients i escriu el polinomi ordenat de major a menor grau.
2. b) Comprova formalment mitjançant el càlcul del valor numèric que $x = 2$ és, efectivament, arrel del polinomi que has obtingut.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè el polinomi $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 5x + 6$ sigui divisible simultàniament per $(x - 1)$ i per $(x + 2)$.

En el disseny d'una peça mecànica, s'inscriu un cilindre recte dins d'un cone de radi de la base $R = 10$ cm i altura $H = 15$ cm. Si el radi de la base del cilindre és $x$, expressa el volum del cilindre com un polinomi en funció de $x$. Quin és el domini geomètric vàlid per a la variable $x$?

Realitza les operacions següents amb fraccions algebraiques i simplifica el resultat al màxim: $\left( \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} \right) : \frac{4x}{x^2 - 4}$.

Un polinomi $P(x)$ de tercer grau té com a arrels $x = 1$, $x = -2$ i $x = 3$. Sabent que en dividir $P(x)$ entre $x + 1$ el residu de la divisió és $24$, determina l'expressió general desenvolupada del polinomi $P(x)$.

Demostra algebraicament que la diferència entre el quadrat de la suma de dos nombres qualssevol $a$ i $b$, i el quadrat de la seva diferència, és sempre igual a quatre vegades el producte d'aquests nombres.

Factoritza el polinomi de quart grau $P(x) = x^4 - 2x^3 - 7x^2 + 8x + 12$ utilitzant la regla de Ruffini i la resolució d'equacions de segon grau. Indica clarament totes les seves arrels.

El cost de fabricació d'un cable de fibra òptica de longitud $x$ metres ve donat per un polinomi de segon grau $C(x) = ax^2 + bx + c$. Sabent que fabricar $10$ metres costa $150$ €, $20$ metres meandren $380$ € i els costs fixos (fabricar $0$ metres) són de $40$ €, determina l'expressió del polinomi $C(x)$ i calcula el cost exacte de fabricar $50$ metres.

En un projecte d'arquitectura es modela la forma d'un arc parabòlic mitjançant el polinomi $A(x) = -kx^2 + 6x$. Sabent que l'arc té una altura màxima al seu vèrtex i que el polinomi és divisible per $x - 12$, troba el valor de $k$, factoritza el polinomi i determina l'amplada total de l'arc a la base (la distància entre els punts on $A(x) = 0$).

El balanç econòmic anual d'una cooperativa d'oli a Jaén (en milers d'euros) entre els anys 2018 i 2024 s'ha modelitzat amb el polinomi $S(t) = t^3 - 8t^2 + 11t + 20$, on $t$ representa el nombre d'anys transcorreguts des de 2018 (és a dir, $t = 0$ correspon a 2018, $t = 1$ a 2019, etc.).

1. a) En el context socioeconòmic de la cooperativa, explica quin significat pràctic té que un valor de $t$ sigui una arrel del polinomi $S(t)$.
2. b) La gerència afirma en el seu informe que tant el 2022 ($t = 4$) com el 2023 ($t = 5$) la cooperativa va assolir el punt d'equilibri pressupostari (saldo exactament igual a zero). Comprova algebraicament si $t = 4$ i $t = 5$ són arrels de $S(t)$ i dictamina si l'afirmació de l'informe és rigorosament certa en tots dos casos.
3. c) Si calcules el valor numèric per a $t = -1$, obtindràs que $S(-1) = 0$. Raona si des del punt de vista del model real aplicat té sentit interpretar $t = -1$ com una arrel vàlida per a la gestió de l'empresa.

El departament de sostenibilitat d'un ajuntament analitza el rendiment energètic mensual d'una instal·lació solar comunitària mitjançant el polinomi $R(m) = 2m^3 - 11m^2 + 17m - 6$, on $m \in \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ representa el mes de l'any (gener $= 1$, febrer $= 2$, etc.). Es vol esbrinar en quins mesos el rendiment cau a zero (és a dir, quins valors de $m$ són arrels de $R(m)$).

Dos tècnics plantegen estratègies diferents:

• Tècnica A (Lucía): Proposa calcular sistemàticament el valor numèric $R(m)$ substituint els $12$ mesos de l'any, un a un, fins a trobar quins donen com a resultat $0$.

• Tècnica B (Mateo): Recorda que les arrels enteres d'un polinomi amb coeficients enters han de ser divisors del seu terme independent. Com que el terme independent és $-6$, proposa comprovar únicament els valors de $m$ que siguin divisors positius de $6$ continguts en el conjunt de l'any.

1. a) Compara la validesa matemàtica i l'eficiència pràctica d'ambdós mètodes. Justifica quin dels dos camins és el més aconsellable per resoldre el problema sense fer càlculs innecessaris.
2. b) Aplica el mètode triat per comprovar quins d'aquests mesos candidats són efectivament arrels de $R(m)$ i interpreta el resultat obtingut indicant els mesos concrets en què el rendiment s'anul·la.