Exercicis: Factor comú

Extreu el màxim factor comú possible del polinomi $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.

Treu factor comú en la següent expressió algebraica amb dues variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.

Extreu el factor comú $-3x$ del polinomi $Q(x) = -3x^3 + 12x^2 - 9x$.

El perímetre d'un recinte ve donat per l'expressió $P = 8x^2 + 12x$. Escriu aquesta expressió com el producte de dos factors extreient el factor comú.

Treu factor comú en la següent expressió amb tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.

Un alumne ha extret factor comú en l'expressió $4x^3 - 8x^2 + 4x$ donant com a resultat $4x(x^2 - 2x)$. Identifica l'error comès i escriu el resultat correcte de la factorització.

Extreu factor comú en l'expressió $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.

Expressa el polinomi $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ treient el màxim factor comú possible.

En un poliesportiu municipal de Sevilla, el cost de manteniment mensual de les pistes de pàdel i tennis depèn del nombre $x$ de tornejos celebrats i ve donat per l'expressió $C(x) = 15x^2 + 45x$ euros.

1. a) Abans d'operar algebraicament, fes una estimació mental: si al mes de maig s'organitzen $x = 10$ tornejos, el cost estarà més a prop dels $1.500$ euros o dels $2.000$ euros? Justifica breument la teva aproximació sense calcular encara el valor exacte.
2. b) Extreu el factor comú monomi més gran de $C(x)$ per transformar l'expressió en un producte de la forma $k \cdot x \cdot (x + a)$.
3. c) Calcula el cost exacte substituint $x = 10$ en l'expressió factoritzada que has obtingut i comprova si la teva estimació inicial era raonable.

En simplificar una fórmula a classe, la Irene intenta extreure factor comú en el polinomi $P(x) = 6x^4 - 3x^2$ i escriu a la pissarra:

Quan el seu professor l'avisa que la factorització no és correcta, la Irene protesta: «El terme $3x^2$ era exactament el segon sumand del polinomi, així que en treure'l a fora ja no queda res dins del parèntesi».

1. a) Explica amb detall quin és l'error de la Irene i quin terme ha de quedar al seu lloc dins del parèntesi, recolzant-te en la propietat distributiva per justificar la teva resposta.
2. b) Escriu la factorització completa i correcta de $P(x)$.

Realitza una doble extracció de factor comú (factorització per agrupació) en el polinomi $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.

L'àrea total d'un cilindre massís de radi $r$ i altura $h$ ve donada per l'expressió $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. Extreu factor comú per obtenir una fórmula més compacta i calcula l'àrea exacta si $r = 5$ cm i $h = 12$ cm fent servir l'expressió factoritzada.

Els costos de producció d'una empresa en funció del nombre d'unitats fabricades $x$ venen donats per $C(x) = \frac{3}{4}x^3 - \frac{9}{8}x^2 + \frac{15}{4}x$. Extreu el màxim factor comú possible, amb coeficients fraccionaris, de manera que el polinomi interior tingui coeficients enters.

Extreu el factor comú en l'expressió $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.

Treu factor comú en el polinomi $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ i comprova si el factor de segon grau resultant és una identitat notable. Escriu la factorització completa.

El volum d'un prisma rectangular recte ve donat pel polinomi $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extreu factor comú i aplica les identitats notables per expressar el volum com el producte de tres polinomis de primer grau que representen les dimensions del prisma.

Factoritza la següent expressió extreient factor comú per agrupació de termes: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.

En un circuit elèctric, la potència dissipada per tres resistències en sèrie s'expressa com $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extreu el factor comú i troba els valors d'intensitat $I$ per als quals la potència és nul·la.

Durant una sessió de repàs, el professor esborra la pissarra i deixa únicament les pistes d'un polinomi misteriós $P(x)$ de grau 3:

• El monomi de grau més gran de $P(x)$ té coeficient $4$.

• En extreure el seu factor comú monomi més gran, que és $4x$, queda entre parèntesis un trinomi de segon grau.

• Aquest trinomi entre parèntesis coincideix exactament amb el desenvolupament del quadrat d'una resta: $(x - 3)^2$.

1. a) Reconstrueix el polinomi original $P(x)$ escrivint-lo en la seva forma desenvolupada i reduïda ($a x^3 + b x^2 + c x$). Mostra els passos intermedis desenvolupant primer la identitat notable i aplicant després la propietat distributiva.
2. b) Sense necessitat de fer divisions ni càlculs addicionals, dedueix a partir de la seva expressió factoritzada quines són les arrels reals de $P(x)$ i explica com has obtingut cadascuna.

En una comunitat de regants del Campo de Cartagena (Múrcia), una estació de bombament subministra aigua a dos sectors agrícoles segons les hores $t$ de funcionament continu ($0 \le t \le 10$). Els volums diaris subministrats (en metres cúbics) venen modelitzats per:

• Sector de cítrics: $V_1(t) = 8t^2 + 24t$

• Sector d'hortalisses: $V_2(t) = 4t^3 + 12t^2$

1. a) Escriu l'expressió del volum total subministrat $V_T(t) = V_1(t) + V_2(t)$ en forma reduïda i factoritza-la extraient el màxim factor comú monomi possible.
2. b) Per avaluar l'eficiència energètica, els tècnics estudien el quocient entre els dos consums mitjançant la fracció algebraica $\frac{V_2(t)}{V_1(t)}$. Factoritza el numerador i el denominador, simplifica la fracció cancel·lant els factors complets comuns i calcula per a quantes hores de reg ($t$) el volum consumit per les hortalisses triplica el dels cítrics.

Factoritza completament el polinomi $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extreient primer el factor comú adequat, assumint que $n$ és un nombre natural.

La figura mostra un rectangle dividit en quatre regions d'àrees $A_1 = x^2$, $A_2 = 3x$, $A_3 = 2x$ i $A_4 = 6$. Expressa l'àrea total com un polinomi, extreu factor comú per agrupació de termes i dedueix les expressions de la base i l'altura del rectangle total.

Troba el valor dels paràmetres $a$ i $b$ sabent que en extreure factor comú $2x^2$ al polinomi $P(x) = 2x^4 + ax^3 + bx^2$, el polinomi resultant és el quadrat d'un binomi, el coeficient de $x^3$ és negatiu i es compleix que $P(1) = 18$.

Factoritza la següent expressió algebraica complexa realitzant extraccions successives de factor comú: $M(x, y) = x^2(x-y) - y^2(x-y) - x(x-y)^2 + y(x-y)^2$.

Un arquitecte dissenya una estructura el pes suportat de la qual en funció d'una variable estructural $x$ és $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extreu factor comú i factoritza completament el polinomi. Per a quins valors de $x > 0$ l'estructura no suporta cap pes?

Factoritza per agrupació de termes el polinomi de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parelles i cerca un factor comú binomial.

En l'estudi de la deflexió d'una biga, apareix el polinomi $D(x) = kx^5 - 3kx^4 + 3kx^3 - kx^2$, on $k$ és una constant no nul·la. Extreu el factor comú i factoritza el polinomi restant sabent que $x=1$ és una arrel múltiple.

Demostra algebraicament que l'expressió $E = (2n+1)^2 - (2n-1)^2$ sempre és múltiple de $8$ per a qualsevol nombre enter $n$, desenvolupant els quadrats i extreient factor comú al resultat.

Per factoritzar completament el polinomi $P(x) = 3x^3 - 15x^2 - 12x + 60$ i trobar-ne les arrels, dos alumnes proposen camins diferents:

• En Mateo afirma que el més segur és fer servir directament la regla de Ruffini provant sort amb els divisors enters del terme independent $60$.

• L'Alba defensa que és molt més ràpid i elegant extreure primer el factor comú numèric $3$, agrupar els quatre termes resultants en parelles (factorització per agrupació) i després aplicar una identitat notable.

1. a) Desenvolupa per complet el procediment de l'Alba: extreu el factor comú numèric, realitza la doble extracció agrupant termes i descompon la diferència de quadrats final per obtenir els tres factors de grau 1.
2. b) Compara tots dos mètodes i justifica de manera crítica per què la proposta de l'Alba és clarament més avantatjosa que la d'en Mateo en aquest cas: quants divisors de $60$ hauria de temptejar en Mateo com a màxim i quins riscos de càlcul comporta el seu mètode?

Segons dades tècniques de Red Eléctrica de España (REE), la corba estimada de potència generada (en quilowatts, kW) per una petita planta solar fotovoltaica a Extremadura durant una jornada assolellada es modelitza mitjançant el polinomi:

on $t$ representa el temps en hores transcorregut des de l'alba a les 6:00 h (és a dir, $t = 0$ són les 6:00 h i $t = 12$ són les 18:00 h de la posta de sol).

1. a) Extreu el factor comú monomi més gran possible de l'expressió $P(t)$.
2. b) Comprova que el trinomi que queda dins del parèntesi és un trinomi quadrat perfecte (identitat notable) i escriu la factorització completa del polinomi $P(t)$.
3. c) A partir de la factorització anterior i sense resoldre cap equació de segon grau, dedueix a quines hores del dia la potència generada és exactament $0\text{ kW}$.
4. d) En matemàtiques, si un factor està al quadrat, com $(t - a)^2$, es diu que $a$ és una «arrel doble». Raona per què té sentit físic que a les 18:00 h ($t = 12$) hi hagi una arrel doble (la corba toca suaument el zero sense creuar a valors negatius de potència) en lloc d'un tall brusc amb l'eix.