Factor común
Cuando una app de edición reduce una foto, no recalcula cada píxel por su cuenta: aplica el mismo factor de escala a todos a la vez. Sacar factor común es esa misma idea en álgebra: encontrar qué tienen en común todos los términos para escribirlos como un único producto.
Factor común de un monomio
Es la propiedad distributiva al revés: si todos los términos comparten un factor, se saca fuera multiplicando a un paréntesis.
$$12x^4 - 18x^3 + 6x^2 = 6x^2\,(2x^2 - 3x + 1)$$El factor común se construye en dos pasos independientes: el numérico (el m.c.d. de los coeficientes) y el literal (cada letra que aparece en todos los términos, elevada al menor exponente con el que aparece).
Extrae el mayor factor común posible del polinomio $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.
Extrae el mayor factor común posible del polinomio $P(x) = 12x^4 - 18x^3 + 6x^2$.
Saca factor común en la siguiente expresión algebraica con dos variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.
Saca factor común en la siguiente expresión algebraica con dos variables: $15x^3y^2 - 20x^2y^3 + 5x^2y^2$.
Un alumno ha extraído factor común en la expresión $4x^3 - 8x^2 + 4x$ dando como resultado $4x(x^2 - 2x)$. Identifica el error cometido y escribe el resultado correcto…
Un alumno ha extraído factor común en la expresión $4x^3 - 8x^2 + 4x$ dando como resultado $4x(x^2 - 2x)$. Identifica el error cometido y escribe el resultado correcto de la factorización.
Factor común con varias variables y tres términos
La idea no cambia con más letras: cada variable aporta al factor común el menor exponente con el que aparece en todos los términos, aunque haya tres o más.
Saca factor común en la siguiente expresión con tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.
Saca factor común en la siguiente expresión con tres variables: $7a^2bc - 14ab^2c + 21abc^2$.
Extrae factor común en la expresión $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.
Extrae factor común en la expresión $M(x, y) = 18x^2y^4 - 24x^3y^3 + 30x^4y^2$.
Expresa el polinomio $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ sacando el máximo factor común posible.
Expresa el polinomio $R(t) = 16t^5 - 24t^4 + 32t^3$ sacando el máximo factor común posible.
Factor común con un paréntesis repetido
A veces el factor común no es un monomio, sino un paréntesis entero que se repite en varios términos. Se trata exactamente igual: sale fuera multiplicando.
$$x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2 = (x-3)^2\,(x - 4 + x^2)$$Extrae el factor común en la expresión $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.
Extrae el factor común en la expresión $E(x) = x(x-3)^2 - 4(x-3)^2 + x^2(x-3)^2$.
Factor común por agrupación
Si un polinomio de cuatro términos no tiene un factor común a todos ellos, a veces se puede agrupar en parejas, sacar el factor común de cada pareja por separado, y descubrir que lo que queda entre paréntesis es igual en las dos: ese paréntesis se vuelve el nuevo factor común.
Realiza una doble extracción de factor común (factorización por agrupación) en el polinomio $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.
Realiza una doble extracción de factor común (factorización por agrupación) en el polinomio $P(x, y) = x^3 - 2x^2y + 3x - 6y$.
Factoriza la siguiente expresión extrayendo factor común por agrupación de términos: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.
Factoriza la siguiente expresión extrayendo factor común por agrupación de términos: $5a^2b + 15a^2 - 2b - 6$.
Factoriza por agrupación de términos el polinomio de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parejas y busca un factor común…
Factoriza por agrupación de términos el polinomio de tres variables $Q(a, b, c) = a^2b - a^2c + ab^2 - ac^2 - b^2c + bc^2$. Agrupa en parejas y busca un factor común binomial.
Factorizar del todo: factor común + identidades notables
Factorizar "completamente" significa seguir sacando factores hasta que ya no se pueda más: primero el factor común, y si lo que queda dentro del paréntesis es una identidad notable, se factoriza también.
Saca factor común en el polinomio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ y comprueba si el factor de segundo grado resultante es una identidad notable. Escribe la factorización…
Saca factor común en el polinomio $P(x) = 5x^3 - 30x^2 + 45x$ y comprueba si el factor de segundo grado resultante es una identidad notable. Escribe la factorización completa.
El volumen de un prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extrae factor común y aplica las identidades notables para expresar el…
El volumen de un prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = 3x^3 + 12x^2 + 12x$. Extrae factor común y aplica las identidades notables para expresar el volumen como el producto de tres polinomios de primer grado que representan las dimensiones del prisma.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extrayendo primero el factor común adecuado, asumiendo que $n$ es un número natural.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^{n+3} - 4x^{n+2} + 4x^{n+1}$ extrayendo primero el factor común adecuado, asumiendo que $n$ es un número natural.
Para qué sirve: raíces y fracciones algebraicas
Factorizar no es un ejercicio aislado: es la herramienta que vas a usar enseguida para dos cosas muy distintas. Para encontrar los valores de $x$ que hacen que un polinomio sea $0$: si $P(x) = 5x(x-3)^2$, basta ver qué factor se anula, sin necesidad de fórmulas complicadas. Y para simplificar fracciones algebraicas: solo se puede cancelar lo que aparece como factor completo en numerador y denominador, nunca un término suelto dentro de una suma.
Esto significa que los apartados de raíces de un polinomio y de fracciones algebraicas que vienen después dependen directamente de que sepas sacar factor común sin dudar: cuanto más automático lo tengas ahora, menos trabajo tendrás allí.
En un circuito eléctrico, la potencia disipada por tres resistencias en serie se expresa como $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extrae el factor común y encuentra los valores…
En un circuito eléctrico, la potencia disipada por tres resistencias en serie se expresa como $P(I) = 12I^3 - 18I^2 + 6I$. Extrae el factor común y encuentra los valores de intensidad $I$ para los cuales la potencia es nula.
Un arquitecto diseña una estructura cuyo peso soportado en función de una variable estructural $x$ es $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extrae factor común y…
Un arquitecto diseña una estructura cuyo peso soportado en función de una variable estructural $x$ es $W(x) = \frac{1}{2}x^4 - 2x^3 + 2x^2$. Extrae factor común y factoriza completamente el polinomio. ¿Para qué valores de $x > 0$ la estructura no soporta ningún peso?