Máximo común divisor

Observa los divisores de los números $24$ y $36$:

• $Div(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

• $Div(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$

A partir de estas listas:

1. a) Escribe los divisores comunes de ambos números.
2. b) Identifica cuál es el mayor de esos divisores comunes. ¿Cómo llamamos a ese número?

En una clase de 2º de ESO hay $24$ alumnos y $16$ alumnas. El profesor de Educación Física quiere formar equipos del mismo tamaño, lo más grandes posible, de manera que en cada equipo haya solo chicos o solo chicas.

1. a) ¿Cuántos alumnos habrá en cada equipo?
2. b) ¿Cuántos equipos de chicos y cuántos de chicas se formarán?

Calcula el máximo común divisor de los siguientes números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $12$ y $18$
2. b) $20$ y $30$
3. c) $15$ y $25$

Calcula el Máximo Común Divisor de los siguientes grupos de números utilizando el método de descomposición en factores primos:

1. a) $m.c.d.(120, 150)$
2. b) $m.c.d.(72, 108, 144)$
3. c) $m.c.d.(45, 60, 105)$

Recuerda expresar primero cada número como producto de sus factores primos y luego seleccionar los factores comunes elevados al menor exponente.

Se sabe que el producto de dos números naturales es $2160$ y que su mínimo común múltiplo ($m.c.m.$) es $180$. Utilizando la relación que existe entre el producto de dos números, su $m.c.d.$ y su $m.c.m.$, averigua cuál es el Máximo Común Divisor de dichos números.

Utiliza el Algoritmo de Euclides para hallar el $m.c.d.(2\,310, 1\,485)$. Una vez hallado, indica si los números son primos entre sí y justifica tu respuesta basándote en los divisores obtenidos durante el proceso del algoritmo.

En un campamento de aventura en el Pirineo, los monitores tienen dos cuerdas de escalada: una mide $20$ metros y la otra $28$ metros. Quieren cortarlas en trozos iguales, de la mayor longitud posible y sin que sobre nada de cuerda. ¿Cuánto debe medir cada trozo?

Queremos decorar una pared del aula de música que mide $120$ cm de alto por $180$ cm de ancho con cartulinas cuadradas. Si queremos que las cartulinas sean lo más grandes posible y que cubran la pared exactamente sin tener que cortarlas:

1. a) ¿Cuánto debe medir el lado de cada cartulina?
2. b) ¿Cuántas cartulinas necesitaremos en total?

Un arquitecto está diseñando el suelo de una sala de trofeos de un club de e-sports. La sala tiene una forma rectangular de $12,6$ metros de largo por $7,2$ metros de ancho. Se desea cubrir el suelo con baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, de manera que no haya que cortar ninguna y que el diseño sea perfectamente simétrico.

Sin embargo, el arquitecto quiere dejar un pequeño canal de ventilación de $60$ cm de ancho a lo largo de todo el perímetro de la sala, por lo que el área real a embaldosar será un rectángulo interior más pequeño.

Calcula la medida del lado de la baldosa más grande que se puede utilizar para cubrir ese rectángulo interior y cuántas baldosas se necesitarán en total.