Exercicis: Operacions amb nombres irracionals

Extreu tots els factors possibles dels radicals següents per expressar-los en la seva forma més simple:

1. a) $\sqrt{252}$
2. b) $\sqrt[3]{1080}$

Realitza la següent operació agrupant els radicals semblants i expressa el resultat final:

$7\sqrt{5} - 2\sqrt{5} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5}$

Multiplica els radicals següents i simplifica el resultat extreient els factors que siguin possibles:

$\sqrt{15} \cdot \sqrt{10}$

Divideix els radicals següents del mateix índex i simplifica el resultat:

$\frac{\sqrt[3]{320}}{\sqrt[3]{5}}$

Calcula la potència del radical següent i expressa el resultat en la seva forma més simple extreient factors si és necessari:

$(\sqrt[4]{27})^2$

Expressa com un únic radical utilitzant les propietats de les arrels i simplifica el resultat:

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}$

Racionalitza el denominador de la següent fracció i simplifica l'expressió resultant:

$\frac{18}{\sqrt{3}}$

Racionalitza la següent expressió per eliminar l'arrel del denominador:

$\frac{10}{\sqrt[4]{8}}$

En Marcos està calculant la longitud de cable elèctric necessària per connectar dues caixes de registre en un habitatge de Cuenca. Els dos trams lineals continus fan $\sqrt{75}$ m i $\sqrt{12}$ m. A la seva llibreta escriu el següent:

«$\sqrt{75} + \sqrt{12} = \sqrt{75 + 12} = \sqrt{87}\text{ m} \approx 9,33\text{ m}$».

1. a) Explica amb les teves paraules quin és l'error conceptual que ha comès en Marcos. Demostra que l'arrel d'una suma no és la suma de les arrels posant un contraexemple numèric senzill amb quadrats perfectes (com ara $9$ i $16$).
2. b) Resol l'operació de manera correcta: descompon els radicands en factors primers, extreu tots els factors possibles fora dels radicals i redueix els termes semblants per donar la longitud exacta en la forma $k\sqrt{3}$.
3. c) Sabent que $\sqrt{3} \approx 1,732$, calcula el valor decimal real de la longitud total i determina quants metres de cable li haurien faltat a en Marcos si hagués comprat el material refiant-se del seu càlcul erroni.

L'àrea de sostenibilitat d'un ajuntament a Castella i Lleó ha delimitat dues parcel·les quadrades contigües per destinar-les a horts urbans escolars. La primera parcel·la té una superfície de $45\text{ m}^2$ i la segona, adossada a l'anterior, té una superfície de $20\text{ m}^2$. Cal encarregar una tanca rectilínia que cobreixi tot el front d'ambdues parcel·les (és a dir, una longitud total de $L = \sqrt{45} + \sqrt{20}$ metres).

1. a) Estima: sense utilitzar la tecla d'arrel quadrada de la calculadora, determina entre quins dos nombres enters consecutius es troba $\sqrt{45}$ i entre quins està $\sqrt{20}$. A partir d'aquestes dues cotes, indica entre quins dos nombres enters s'ha de situar amb seguretat la longitud total $L$.
2. b) Calcula: descompon els radicands, extreu factors i escriu la longitud exacta de la tanca com un únic radical simplificat de la forma $a\sqrt{5}$.
3. c) Comprova: prenent l'aproximació $\sqrt{5} \approx 2,24$, troba el valor decimal del resultat exacte obtingut a l'apartat b i verifica raonadament si la teva estimació inicial de l'apartat a era correcta.

Un jardiner necessita tancar un parterre triangular en un parc botànic. Les longituds dels tres costats del parterre mesuren $\sqrt{50}$ m, $\sqrt{18}$ m i $\sqrt{98}$ m. Expressa el perímetre total del parterre com un únic radical simplificat.

En un experiment de cristal·lografia, el volum d'un cristall ve donat per l'expressió $V = \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8}$ mm$^3$. Redueix a índex comú, opera i extreu factors per expressar el volum exacte en la seva forma radical més simple.

La intensitat d'un senyal electromagnètic en un cert punt de l'espai s'ha modelitzat mitjançant l'expressió $I = \frac{12}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$ W/m$^2$. Racionalitza l'expressió per calcular el valor exacte de la intensitat sense arrels al denominador.

Efectua la següent operació combinada amb radicals aplicant la propietat distributiva i simplifica al màxim el resultat:

$\sqrt{3} \cdot (\sqrt{27} - \sqrt{12}) + 5\sqrt{9}$

Simplifica la següent expressió algebraica introduint factors i reduint a un únic radical, assumint que $x$ i $y$ són nombres reals positius:

$\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{y^6 \cdot x^2}}$

El nombre d'or $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ apareix freqüentment en les proporcions de l'art i el disseny. Si la llargada d'una targeta de crèdit és $8\Phi$ cm i la seva amplada és $8$ cm, calcula l'àrea exacta i el perímetre exacte de la targeta, expressant els resultats simplificats i amb radicals.

En el disseny estructural d'un pont penjant, la tensió d'un dels cables principals es calcula amb la fórmula $T = \frac{15\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}$ kN. Racionalitza el denominador i simplifica l'expressió de la tensió per als enginyers.

El període $T$ d'oscil·lació d'un pèndol (en segons) ve donat per la fórmula $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$. Si la longitud del pèndol és $L = \frac{9}{10}$ metres i considerem la gravetat $g = 10$ m/s$^2$, calcula el valor exacte de $T$ operant amb els nombres irracionals i racionalitzant el resultat.

Per al muntatge d'uns suports de plaques solars en una nau industrial de Còrdova, la longitud d'un perfil d'alumini de reforç ve determinada per l'expressió:

Dos instal·ladors de l'equip tècnic debaten sobre el procediment més adequat per calcular el valor exacte de $L$ sense fer servir calculadora:

• Mètode de la Rocío: extreu primer factors dels radicals del numerador ($\sqrt{72}$ i $\sqrt{8}$), resta els radicals semblants resultants i finalment simplifica la fracció dividint entre $\sqrt{2}$.

• Mètode d'en Carlos: racionalitza directament l'expressió multiplicant numerador i denominador per $\sqrt{2}$, aplica la propietat distributiva al numerador i simplifica la fracció obtinguda.

1. a) Fes els càlculs pas a pas seguint el mètode proposat per la Rocío.
2. b) Fes els càlculs pas a pas seguint el mètode proposat per en Carlos.
3. c) Compara els dos camins: coincideixen els resultats numèrics? Justifica quin dels dos mètodes consideres més eficient i amb menys risc d'error en la manipulació de nombres grans.

En una fàbrica de fusteria d'alumini de Saragossa, un operari programa una màquina de tall segons una fórmula que involucra una constant sencera positiva $K$:

En sol·licitar a la màquina que racionalitzi i simplifiqui completament l'expressió multiplicant pel conjugat del denominador, la pantalla de control mostra com a resultat exacte:

1. a) Reconstrueix pas a pas el procés algebraic invers per esbrinar quin valor enter tenia originalment la constant $K$.
2. b) Si en una nova comanda es requereix que la cota final sigui exactament el triple, és a dir, $15 \cdot (\sqrt{7} + \sqrt{3})\text{ mm}$, dedueix raonadament quin valor s'haurà d'assignar a $K$ sense necessitat de repetir tota la racionalització des de zero. Hi ha una relació de proporcionalitat directa entre la constant $K$ i el valor final de la cota? Justifica la teva resposta.

Demostra que la següent expressió representa un nombre enter, fent les operacions de suma de fraccions i les racionalitzacions necessàries pas a pas:

$\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$

Calcula l'àrea exacta de la regió ombrejada compresa entre una circumferència de radi $R = 2\sqrt{6}$ cm i un hexàgon regular inscrit en ella. Expressa el resultat factoritzant al màxim els nombres irracionals i extreient factor comú si és possible.

Racionalitza i simplifica al màxim la següent expressió combinada, parant atenció als signes i a l'extracció de factors:

$\frac{2\sqrt{5} + 3\sqrt{2}}{2\sqrt{5} - 3\sqrt{2}} - 6\sqrt{10}$

Resol la següent equació de primer grau aïllant la incògnita $x$ i racionalitzant el resultat final:

$x\sqrt{2} - 3 = x\sqrt{3} + \sqrt{6}$

Simplifica el radical niat $\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}$ sabent que equival a una expressió de la forma $a - b\sqrt{5}$, on $a$ i $b$ són nombres enters positius. Troba els valors de $a$ i $b$ elevant al quadrat totes dues expressions.

En un tetraedre regular, l'aresta mesura $a = 3\sqrt{2}$ cm. Sabent que l'altura d'un tetraedre regular en funció de la seva aresta és $H = a\frac{\sqrt{6}}{3}$ i el seu volum és $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$, calcula el valor exacte de l'altura $H$ i el volum $V$, expressant els resultats en la seva forma radical més simple.

En la teoria de la relativitat especial, el factor de Lorentz ve donat per l'expressió $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$. Calcula el valor exacte i racionalitzat de $\gamma$ per a una nau espacial que viatja a una velocitat $v = \frac{\sqrt{5}}{3}c$.

La diagonal d'un rectangle de costats $1$ i $\sqrt{2}$ s'anomena $d_1$. Si construïm un nou rectangle els costats del qual són $d_1$ i $\sqrt{3}$, la seva diagonal és $d_2$. Si repetim aquest procés de manera que els catets del $n$-èsim triangle rectangle siguin $d_{n-1}$ i $\sqrt{n+1}$, determina el valor exacte de la diagonal $d_4$ operant pas a pas amb els nombres irracionals.

Una cooperativa agrícola d'Albacete instal·la un sistema de reg fotovoltaic en el qual els dos circuits principals presenten resistències elèctriques donades per:

1. a) Per simplificar $R_1$, un tècnic dubta entre multiplicar directament pel conjugat $(\sqrt{48} + \sqrt{12})$ o simplificar prèviament el denominador. Demostra que extraient factors de $\sqrt{48}$ i $\sqrt{12}$ abans d'operar s'obté una resta directa de radicals semblants, i acaba de racionalitzar $R_1$ pel camí més breu possible.
2. b) Extreu factors de $R_2$ per expressar-lo en la forma $k\sqrt{3}$.
3. c) Calcula la resistència equivalent total del conjunt connectat en sèrie, $R_T = R_1 + R_2$, agrupant els termes semblants en un únic radical simplificat.
4. d) El plec tècnic de seguretat de la instal·lació exigeix que la resistència total sigui estrictament inferior a $14\ \Omega$. Sabent que $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, acota el valor de $R_T$ i justifica raonadament (sense calculadora) si la instal·lació compleix la normativa de seguretat o si ha de ser rebutjada.

Durant les tasques de vigilància ambiental i prevenció d'incendis al Parc Nacional de Doñana (Andalusia), una patrulla de drons calibra la seva càmera tèrmica. L'índex de distorsió òptica $D$ ve modelitzat per la resta de dos factors conjugats:

1. a) Demostra que el valor exacte de $D$ es redueix a una expressió irracional simple de la forma $a\sqrt{b}$. Desenvolupa el càlcul mitjançant dues estratègies diferents: primer racionalitzant cada fracció per separat amb el seu conjugat respectiu, i després calculant el comú denominador de la resta directament mitjançant la identitat $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
2. b) Explica per què el producte dels dos denominadors originals coincideix exactament amb el procediment de racionalització pel binomi conjugat.
3. c) El protocol de seguretat aèria només autoritza l'enlairament del dron si l'índex $D$ queda dins de l'interval $[3,40 \,;\, 3,50]$. Sabent que $1,732 < \sqrt{3} < 1,733$, acota el valor exacte de $D$ amb tres xifres decimals i dictamina de manera justificada si es concedeix el permís de vol.