Distancia entre dos puntos
Una hormiga que camina en línea recta de un punto a otro recorre exactamente el módulo del vector que los une. Por eso la distancia entre dos puntos no es una fórmula nueva: es la misma fórmula del módulo que ya conoces, aplicada al vector $\vec{AB}$.
La fórmula de la distancia
En un control, se pide la distancia entre los puntos $A(-2, 1)$ y $B(1, 5)$. La respuesta de un estudiante es…
En un control, se pide la distancia entre los puntos $A(-2, 1)$ y $B(1, 5)$. La respuesta de un estudiante es $d(A, B) = \sqrt{(1 - (-2))^2 - (5 - 1)^2} = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7}$, y concluye que la distancia no existe. Localiza el error de signo en la fórmula utilizada y calcula la distancia correcta.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$ en el plano cartesiano.
Calcula la distancia exacta entre los puntos $A(3, -2)$ y $B(-1, 1)$ en el plano cartesiano.
Perímetros y triángulos
Sumando las distancias entre vértices consecutivos calculas el perímetro de cualquier polígono. Y comparando las tres longitudes de un triángulo (con el recíproco de Pitágoras) puedes saber si es rectángulo, o si es isósceles o equilátero.
Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices se sitúan en las coordenadas $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(3, 4)$.
Calcula el perímetro del triángulo cuyos vértices se sitúan en las coordenadas $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ y $C(3, 4)$.
Demuestra, calculando la longitud de sus tres lados y aplicando el recíproco del teorema de Pitágoras, si el triángulo de vértices $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ y $C(6, 1)$ es…
Demuestra, calculando la longitud de sus tres lados y aplicando el recíproco del teorema de Pitágoras, si el triángulo de vértices $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ y $C(6, 1)$ es un triángulo rectángulo.
Puntos que equidistan
Un punto equidista de otros dos cuando está a la misma distancia de ambos. Muchos problemas (antenas que cubren varios pueblos por igual, sensores que deben colocarse igual de lejos de dos máquinas) se resuelven igualando dos distancias y despejando la incógnita.
Comprueba matemáticamente si el punto $P(2, 3)$ equidista de los puntos $M(5, -1)$ y $N(-1, -1)$.
Comprueba matemáticamente si el punto $P(2, 3)$ equidista de los puntos $M(5, -1)$ y $N(-1, -1)$.
Encuentra las coordenadas del punto situado sobre el eje de abscisas que equidista de los puntos $A(1, 4)$ y $B(5, -2)$.
Encuentra las coordenadas del punto situado sobre el eje de abscisas que equidista de los puntos $A(1, 4)$ y $B(5, -2)$.
Distancia de un punto a una recta (un avance)
Algunos problemas piden la distancia más corta de un punto a una recta entera, no a otro punto concreto. Esa distancia mínima es siempre la de la perpendicular a la recta que pasa por el punto. Cuando conozcas la ecuación general $Ax + By + C = 0$ de una recta (próximo apartado), podrás calcularla directamente:
$$d(P, r) = \frac{|A p_1 + B p_2 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$Un cometa se encuentra en la posición $C(10, 15)$ y una sonda espacial describe una trayectoria lineal dada por $2x - y - 1 = 0$. Un científico novato elige un punto…
Un cometa se encuentra en la posición $C(10, 15)$ y una sonda espacial describe una trayectoria lineal dada por $2x - y - 1 = 0$. Un científico novato elige un punto aleatorio de la trayectoria, por ejemplo $P(1, 1)$, y calcula la distancia del cometa a la trayectoria como $d(C, P) = \sqrt{(10-1)^2 + (15-1)^2} = \sqrt{81 + 196} = \sqrt{277}$. Explica por qué este método no garantiza hallar la distancia real a la recta. Aplica la fórmula analítica correcta y encuentra el valor exacto de dicha distancia.