Exercicis: Distància entre dos punts

En un control, es demana la distància entre els punts $A(-2, 1)$ i $B(1, 5)$. La resposta d'un estudiant és $d(A, B) = \sqrt{(1 - (-2))^2 - (5 - 1)^2} = \sqrt{9 - 16} = \sqrt{-7}$, i conclou que la distància no existeix. Localitza l'error de signe en la fórmula utilitzada i calcula la distància correcta.

Calcula la distància exacta entre els punts $A(3, -2)$ i $B(-1, 1)$ en el pla cartesià.

Troba el mòdul del vector $\vec{v} = (5, -12)$ utilitzant la fórmula corresponent.

Una circumferència té el seu centre en el punt $C(-4, 2)$ i passa pel punt $P(0, 5)$. Calcula la mida exacta del seu radi.

Determina a quina distància de l'origen de coordenades $O(0,0)$ es troba el punt $M(-8, 15)$.

Calcula el perímetre del triangle els vèrtexs del qual es situen en les coordenades $A(0, 0)$, $B(6, 0)$ i $C(3, 4)$.

Comprova matemàticament si el punt $P(2, 3)$ equidista dels punts $M(5, -1)$ i $N(-1, -1)$.

Atès el segment d'extrems $R(-3, -4)$ i $S(2, 8)$, calcula la longitud exacta del segment $\overline{RS}$.

En un pla cartesià on cada unitat representa un metre, una formiga es desplaça en línia recta des de la posició $P(-2, 7)$ fins a $Q(4, -1)$. Quants metres exactes ha recorregut la formiga?

En Marcos vol calcular la distància en línia recta entre el seu institut, situat al punt $A(-3, 2)$, i el poliesportiu municipal, al punt $B(5, -4)$, on cada unitat de la quadrícula representa un hectòmetre ($1\text{ hm} = 100\text{ m}$). A la seva llibreta escriu el següent:

1. a) Localitza l'error que ha comès en Marcos en substituir les coordenades a la fórmula i explica detalladament per què el seu raonament és incorrecte.
2. b) Corregeix el seu plantejament per calcular la distància real i exacta en hectòmetres (deixant el resultat en forma d'arrel) i calcula el seu valor aproximat arrodonit a dos decimals.

Un dron de vigilància d'incendis forestals del Pla INFOCA a Andalusia s'enlaira des d'una base d'operacions situada al punt $A(2, 3)$ i es desplaça en línia recta fins a una columna de fum detectada a les coordenades $B(8, 11)$. A la quadrícula del lloc de comandament, cada unitat representa $1\text{ km}$.

1. a) Modela la trajectòria del vol com el segment rectilini que uneix tots dos punts i calcula la distància exacta en quilòmetres que recorrerà el dron fins a l'incendi.
2. b) Si el dron vola a una velocitat constant de creuer de $60\text{ km/h}$, quants minuts trigarà exactament a arribar al punt $B$? Raona per què en els protocols d'emergències aèries s'utilitza la distància euclidiana en lloc de la distància de les carreteres terrestres.

Troba el valor o els possibles valors de la coordenada $a$ perquè la distància entre els punts $A(a, 3)$ i $B(2, -1)$ sigui exactament de $5$ unitats.

Demostra, calculant la longitud dels seus tres costats i aplicant el recíproc del teorema de Pitàgores, si el triangle de vèrtexs $A(-1, 2)$, $B(2, -2)$ i $C(6, 1)$ és un triangle rectangle.

Un dron de vigilància forestal fa una ruta de patrullatge volant en línia recta entre tres torres d'observació situades a $T_1(-10, 5)$, $T_2(14, -2)$ i $T_3(2, 14)$, i tornant finalment a $T_1$. Si les coordenades estan donades en quilòmetres, calcula la distància total recorreguda pel dron.

Troba les coordenades del punt situat sobre l'eix d'abscisses que equidista dels punts $A(1, 4)$ i $B(5, -2)$.

Calcula l'àrea del triangle de vèrtexs $P(0, -3)$, $Q(14, -3)$ i $R(5, 9)$ aplicant la fórmula d'Heró després de trobar la longitud exacta dels seus tres costats.

Un braç robòtic ha de soldar dos components en una placa de circuit. El primer punt de soldadura és a $S_1(12, 5)$ i el segon a $S_2(3, -7)$ (mesures en mil·límetres). Si el capçal del braç es mou a una velocitat constant de $4 \text{ mm/s}$, quant de temps trigarà a desplaçar-se en línia recta des de $S_1$ fins a $S_2$?

El vector director de la trajectòria d'un projectil ve donat per l'expressió $\vec{u} = (k-1, k+1)$. Determina els possibles valors del paràmetre $k$ perquè el mòdul d'aquest vector sigui de $\sqrt{10}$ unitats.

Un agricultor vol tancar un hort circular. Sap que els extrems d'un dels diàmetres de l'hort es troben a les coordenades $M(-3, -5)$ i $N(7, 1)$ del seu mapa topogràfic (on $1 \text{ unitat} = 10 \text{ m}$). Calcula l'àrea total de l'hort en metres quadrats.

El radar meteorològic de l'AEMET detecta un nucli de tempesta al punt $T(9, 8)$ que avança cap a una estació comarcal situada al punt $E(2, 3)$, on cada quadrícula cartogràfica equival a $10\text{ km}$.

1. a) Abans de calcular l'arrel quadrada, fes una estimació raonada: calcula la separació horitzontal $|x_2 - x_1|$ i vertical $|y_2 - y_1|$ en quilòmetres. A partir d'aquests dos catets, argumenta entre quins dos valors enters de desenes de quilòmetres (múltiples de $10$) s'ha de trobar necessàriament la distància real en línia recta.
2. b) Aplica la fórmula analítica de la distància per trobar el valor exacte en quilòmetres i arrodoneix el resultat a les dècimes. Comprova si el valor obtingut encaixa dins de la teva estimació prèvia i raona per què la hipotenusa d'aquest triangle rectangle sempre resulta més gran que el catet més llarg però estrictament menor que la suma de tots dos.

Una arqueta de telecomunicacions es troba al punt $A(2, 5)$ d'un plànol tècnic. Es vol connectar mitjançant una escomesa subterrània recta amb una canalització horitzontal fixa que transcorre exactament al llarg de la recta $y = 1$. La longitud del cable disponible per al tram és de $5\text{ m}$ (cada unitat del plànol equival a $1\text{ m}$).

1. a) Escriu una equació de segon grau en la incògnita $x$ que representi la condició matemàtica perquè un punt genèric $P(x, 1)$ de la canalització disti exactament $5\text{ m}$ d'$A$.
2. b) Resol aquesta equació per trobar les coordenades dels dos punts possibles on es pot connectar el cable i explica geomètricament per què s'obtenen dues solucions simètriques respecte a la posició de l'arqueta.

Un cometa es troba en la posició $C(10, 15)$ i una sonda espacial descriu una trajectòria lineal donada per $2x - y - 1 = 0$. Un científic novell tria un punt aleatori de la trajectòria, per exemple $P(1, 1)$, i calcula la distància del cometa a la trajectòria com a $d(C, P) = \sqrt{(10-1)^2 + (15-1)^2} = \sqrt{81 + 196} = \sqrt{277}$. Explica per què aquest mètode no garanteix trobar la distància real a la recta. Aplica la fórmula analítica correcta i troba el valor exacte d'aquesta distància.

Dos dels vèrtexs d'un triangle equilàter es troben a les coordenades $A(-2, 0)$ i $B(2, 0)$. Determina les possibles coordenades del tercer vèrtex $C(x, y)$ sabent que la distància entre tots els seus vèrtexs és idèntica.

Es vol instal·lar una antena de telecomunicacions que doni cobertura amb la mateixa intensitat a tres pobles ubicats a les coordenades $P_1(-3, 2)$, $P_2(5, -4)$ i $P_3(4, 3)$. Determina les coordenades exactes del circumcentre on s'ha d'ubicar l'antena perquè equidisti dels tres pobles.

Atès el quadrilàter de vèrtexs $A(-4, 1)$, $B(2, -1)$, $C(4, 5)$ i $D(-2, 7)$, comprova mitjançant el càlcul de les longituds dels seus quatre costats i de les seves dues diagonals que es tracta d'un quadrat perfecte.

Troba les coordenades exactes del punt $P$ que pertany a la recta d'equació $y = 2x - 3$ i que equidista dels punts $A(-1, 4)$ i $B(5, 2)$.

En el disseny d'una coberta solar, un panell se suporta sobre dos posts verticals. En un pla transversal, la base del post curt és a $O(0,0)$ i la del llarg a $B(6,0)$. L'extrem superior del post curt és a $A(0, 2)$ i el del llarg a $C(6, 5)$. Un cable tensor ha d'anar des de $A$ fins a un punt d'ancoratge $P(x, 0)$ a terra, i d'allà pujar fins a $C$. Determina el valor exacte de $x$ que minimitza la longitud total del cable $d(A,P) + d(P,C)$.

Els punts $A(-1, 2)$ i $B(3, k)$ determinen un segment la longitud del qual és exactament el doble de la longitud del segment format pels punts $C(0, 0)$ i $D(1, -2)$. Planteja l'equació corresponent i calcula els possibles valors del paràmetre $k$.

Un cometa segueix una trajectòria rectilínia que, en un mapa estel·lar, passa per les coordenades $C_1(-2, -2)$ i $C_2(6, 6)$ expressades en unitats astronòmiques (UA). Una estació d'observació es troba en la posició estàtica $P(5, 1)$. Calcula la distància mínima a la qual passarà el cometa de l'estació d'observació.

Els extrems d'una de les diagonals d'un quadrat estan situats en els punts $M(-2, 5)$ i $N(6, -1)$. Sabent que les diagonals d'un quadrat es tallen en el seu punt mitjà, són perpendiculars i mesuren exactament el mateix, troba les coordenades dels altres dos vèrtexs $P$ i $Q$, i calcula el perímetre exacte del quadrat.

Es projecta instal·lar una planta solar amb el seu centre de control al punt $P(5, 7)$. Per evacuar l'energia generada, s'ha d'estendre una línia de connexió fins a una infraestructura elèctrica existent, el traçat de la qual segueix la recta d'equació general $3x - 4y + 1 = 0$ (amb unitats en centenars de metres). Dos tècnics debaten el mètode per calcular la longitud mínima del cable:

• Mètode de l'Eva: Fer servir la fórmula de distància d'un punt a una recta: $d(P, r) = \dfrac{|A \cdot p_1 + B \cdot p_2 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

• Mètode de l'Iván: Triar un punt qualsevol de la línia elèctrica, com ara $Q(1, 1)$, i calcular la distància entre dos punts mitjançant $d(P, Q) = \sqrt{(1 - 5)^2 + (1 - 7)^2}$.

1. a) Aplica el mètode de l'Eva i determina la longitud mínima exacta que ha de tenir el cable d'evacuació.
2. b) Explica per què el mètode proposat per l'Iván no resol el problema plantejat i generaria un sobrecost innecessari en la compra de cable.
3. c) Si no recordessis la fórmula directa de l'Eva, descriu pas a pas quin procediment geomètric hauries de seguir per trobar la distància correcta utilitzant únicament la fórmula de distància entre dos punts.

El Consorci Provincial de Bombers de Toledo vol ubicar un heliport d'emergències per donar servei ràpid i equitatiu a dos municipis serrans situats a $A(2, 1)$ i $B(8, 5)$, en un mapa comarcal on cada unitat cartogràfica representa $4\text{ km}$. Per motius logístics de proveïment de combustible mitjançant camió cisterna, l'heliport $H(x, y)$ s'ha de construir obligatòriament sobre una carretera comarcal recta definida per l'equació $y = 6$.

1. a) Modela la condició d'equidistància plantejant l'equació $d(H, A) = d(H, B)$ per a un punt genèric de la carretera $H(x, 6)$ i resol algebraicament per obtenir les coordenades cartogràfiques exactes de l'heliport.
2. b) Calcula la distància real en línia recta (en quilòmetres, arrodonida a les dècimes) des de l'heliport fins a qualsevol dels dos municipis atesos.
3. c) L'alcaldia d'un dels municipis proposa que l'heliport es construeixi al punt mitjà del segment $AB$. Troba les coordenades d'aquest punt mitjà i justifica, amb arguments matemàtics i territorials, per què aquesta proposta veïnal no és viable per a aquest projecte.