Función de proporcionalidad inversa
Si un rectángulo tiene siempre la misma área, cuanto más larga es la base, más corta es la altura: al doblar una, la otra se reduce a la mitad. Esa relación "al revés" es la proporcionalidad inversa, y su gráfica tiene una forma muy distinta de las rectas y parábolas: dos ramas separadas que nunca tocan los ejes.
La función de proporcionalidad inversa
Trabajamos con $k\ne0$ y $x\ne0$. Si $k=0$, $0/x=0$ para $x\ne0$: ya no hay hipérbola y su recorrido es $\{0\}$. Los controles siguientes separan los valores positivos y negativos para estudiar la familia no degenerada.
Explora primero el control positivo y después el negativo.
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Si $k > 0$: las ramas están en el primer y tercer cuadrante.
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Si $k < 0$: las ramas están en el segundo y cuarto cuadrante.
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Cuanto mayor es $|k|$, más alejada está la curva de los ejes.
Dada la siguiente tabla que relaciona la base $x$ y la altura $y$ de distintos rectángulos con la misma área: $x$: $2$, $3$, $4$, $6$ $y$: $12$, $8$, $6$, $4$ Determina…
Dada la siguiente tabla que relaciona la base $x$ y la altura $y$ de distintos rectángulos con la misma área:
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$x$: $2$, $3$, $4$, $6$
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$y$: $12$, $8$, $6$, $4$
Determina si la relación entre $x$ e $y$ corresponde a una función de proporcionalidad inversa. En caso afirmativo, halla la constante de proporcionalidad $k$ y escribe la expresión algebraica de la función.
Encuentra la expresión algebraica de la función de proporcionalidad inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(-2, 5)$.
Encuentra la expresión algebraica de la función de proporcionalidad inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto $P(-2, 5)$.
Las asíntotas de la hipérbola
Al trasladar la hipérbola, el centro de simetría (donde se cruzarían las asíntotas) ya no está en el origen:
Dada la función $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica las ecuaciones de sus asíntotas horizontal y vertical, y las coordenadas del centro de simetría de la hipérbola.
Dada la función $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica las ecuaciones de sus asíntotas horizontal y vertical, y las coordenadas del centro de simetría de la hipérbola.
Sea la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$. Indica su dominio, su recorrido, las ecuaciones de sus asíntotas y determina si la función es…
Sea la función de proporcionalidad inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$.
Indica su dominio, su recorrido, las ecuaciones de sus asíntotas y determina si la función es creciente o decreciente en su dominio.
Su representación gráfica es la siguiente:
Dominio y recorrido
Como no se puede dividir entre $0$, la función $y=\dfrac{k}{x}$ no está definida en $x=0$: su dominio es $\mathbb{R}-\{0\}$. Tampoco alcanza nunca el valor $y=0$ (el cociente nunca da exactamente cero): recorrido $\mathbb{R}-\{0\}$.
Un tren recorre una distancia fija de $120\text{ km}$. Escribe la función que relaciona el tiempo $t$ (en horas) que tarda en hacer el recorrido en función de la…
Un tren recorre una distancia fija de $120\text{ km}$. Escribe la función que relaciona el tiempo $t$ (en horas) que tarda en hacer el recorrido en función de la velocidad media $v$ (en $\text{km/h}$). ¿Qué tipo de función es? Identifica cuál es la variable independiente y cuál la dependiente.
Expresa la función racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canónica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuando la división de polinomios correspondiente. A…
Expresa la función racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canónica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuando la división de polinomios correspondiente. A continuación, indica las ecuaciones de sus asíntotas y su dominio.
Proporcionalidad inversa en problemas reales
La proporcionalidad inversa aparece en repartos inversos (más trabajadores, menos tiempo), velocidad y tiempo a distancia fija, o presión y volumen de un gas. La clave es identificar qué producto se mantiene constante.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{4}{x}$ y la recta $y = -x + 5$.
Halla analíticamente los puntos de intersección entre la hipérbola $y = \frac{4}{x}$ y la recta $y = -x + 5$.
Determina analíticamente los puntos de corte entre la función racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ y la recta $g(x) = x+1$.
Determina analíticamente los puntos de corte entre la función racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ y la recta $g(x) = x+1$.
Se quiere construir un marco rectangular de madera cuya área interior sea de $24\text{ cm}^2$. Escribe la función que relaciona el perímetro $P$ del marco en función de…
Se quiere construir un marco rectangular de madera cuya área interior sea de $24\text{ cm}^2$.
Escribe la función que relaciona el perímetro $P$ del marco en función de la longitud de su base $x$. Determina, a partir de la expresión algebraica, si la función tiene alguna asíntota oblicua y explica su significado geométrico.