Proporcionalidad inversa
Para el viaje de fin de curso alquiláis un autobús. Si vais 40, cada uno paga 15 €. Si vais 20, cada uno paga 30 €. La mitad de alumnos, el doble de precio por cabeza. Cuando una magnitud sube y la otra baja en la misma proporción, son inversamente proporcionales.
Magnitudes inversamente proporcionales
| Alumnos ($x$) | 10 | 20 | 30 | 40 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|
| € por alumno ($y$) | 60 | 30 | 20 | 15 | 10 |
| $x \cdot y$ | 600 | 600 | 600 | 600 | 600 |
La constante $k = 600$ € es el precio total del autobús, que no cambia.
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa: a) El número de amigos que se juntan para comprar un…
Indica razonadamente si los siguientes pares de magnitudes mantienen una relación de proporcionalidad inversa:
- a) El número de amigos que se juntan para comprar un regalo de $60 \text{ €}$ y la cantidad de dinero que debe poner cada uno.
- b) El tiempo que dejas cargando un móvil y el porcentaje de batería que recupera.
- c) La velocidad a la que camina un excursionista y el tiempo que tarda en recorrer una ruta de $10 \text{ km}$.
- d) El número de páginas de un libro y el peso total del mismo.
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa…
Completa la siguiente tabla en tu cuaderno sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales. Calcula primero la constante de proporcionalidad inversa $k$.
| Magnitud A | $2$ | $4$ | $6$ | ... | $12$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Magnitud B | $12$ | ... | ... | $3$ | ... |
La gráfica: una hipérbola
Los puntos de una proporcionalidad inversa no forman una recta: forman una curva llamada hipérbola, que se acerca a los ejes pero nunca los toca (nunca $x$ ni $y$ valen 0).
Fíjate al mover el cursor: en cualquier punto, $x \cdot y$ da siempre $k$.
Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los…
Un ciclista que avanza a una velocidad constante de $20 \text{ km/h}$ tarda $45$ minutos en recorrer la distancia entre dos pueblos. Si aumentara su velocidad hasta los $30 \text{ km/h}$, ¿cuántos minutos tardaría en realizar el mismo recorrido?
Regla de tres inversa
Un grupo de $4$ estudiantes de 3º de ESO ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo…
Un grupo de $4$ estudiantes de 3º de ESO ha decidido limpiar un tramo de playa después de un festival de música. Calculan que tardarán $6$ horas en dejarlo todo impecable. Si finalmente se unen otros $4$ amigos más (siendo $8$ en total), ¿cuánto tiempo tardarán en terminar la limpieza si todos trabajan al mismo ritmo?
Para el viaje de fin de curso, los alumnos han alquilado un autobús. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnos se ponen…
Para el viaje de fin de curso, los alumnos han alquilado un autobús. Si van $40$ alumnos, cada uno debe pagar $15 \text{ €}$. A última hora, $10$ alumnos se ponen enfermos y no pueden ir. ¿Cuánto deberá pagar cada uno de los alumnos restantes para cubrir el coste total del autobús?
Un ganadero tiene forraje almacenado para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si decide vender $5$ de sus vacas para reducir gastos, ¿durante cuántos días…
Un ganadero tiene forraje almacenado para alimentar a sus $20$ vacas durante $30$ días. Si decide vender $5$ de sus vacas para reducir gastos, ¿durante cuántos días podrá alimentar a las vacas que le quedan con la misma cantidad de forraje?
Proporcionalidad compuesta
Cuando intervienen tres o más magnitudes, se compara cada una con la incógnita por separado (suponiendo que las demás no cambian) para ver si es directa o inversa.
Tres grifos iguales tardan $10$ horas en llenar un depósito de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté…
Tres grifos iguales tardan $10$ horas en llenar un depósito de agua destinado al riego de un huerto escolar. Se quiere reducir el tiempo de llenado para que el agua esté lista antes de que empiecen las clases.
¿Cuántos grifos del mismo tipo habría que añadir para que el depósito se llene en solo $6$ horas? Expresa el resultado en número de grifos adicionales.
Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares. Calcula cuántas impresoras de las mismas…
Cinco impresoras 3D de última generación tardan $4$ horas en imprimir las piezas de $20$ maquetas de robots escolares.
Calcula cuántas impresoras de las mismas características se necesitarían para fabricar esas mismas $20$ maquetas en tan solo $100$ minutos. (Ten cuidado con las unidades de tiempo antes de realizar los cálculos).