Exercicis: Funció de proporcionalitat inversa

Un estudiant calcula les asímptotes de la funció $f(x) = \frac{4x+1}{x-2}$ i conclou que té una asímptota horitzontal a $y=0$ perquè «totes les funcions racionals sempre tendeixen a zero a l'infinit». Identifica l'error en la seva regla mnemotècnica i troba l'equació correcta de l'asímptota horitzontal.

Donada la taula següent que relaciona la base $x$ i l'altura $y$ de diferents rectangles amb la mateixa àrea:

• $x$: $2$, $3$, $4$, $6$

• $y$: $12$, $8$, $6$, $4$

Determina si la relació entre $x$ i $y$ correspon a una funció de proporcionalitat inversa. En cas afirmatiu, troba la constant de proporcionalitat $k$ i escriu l'expressió algebraica de la funció.

Sigui la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{-12}{x}$, la representació gràfica de la qual és la següent:

A partir de la seva expressió i de la seva gràfica, respon a les qüestions següents:

1. a) Indica el seu domini i el seu recorregut.
2. b) Escriu les equacions de les seves asímptotes.
3. c) Determina si la funció és creixent o decreixent en el seu domini.

Troba l'expressió algebraica de la funció de proporcionalitat inversa de la forma $y = \frac{k}{x}$ sabent que la seva gràfica passa pel punt $P(-2, 5)$.

Donada la funció $g(x) = \frac{3}{x+4} - 2$, indica les equacions de les seves asímptotes horitzontal i vertical, i les coordenades del centre de simetria de la hipèrbola.

Un tren recorre una distància fixa de $120\text{ km}$. Escriu la funció que relaciona el temps $t$ (en hores) que triga a fer el recorregut en funció de la velocitat mitjana $v$ (en $\text{km/h}$). Quin tipus de funció és? Identifica quina és la variable independent i quina la dependent.

Calcula les coordenades exactes dels punts de tall amb els eixos cartesians de la funció $h(x) = \frac{6}{x-2} + 3$.

A partir de la gràfica de la funció $f(x) = \frac{1}{x}$, explica quines transformacions geomètriques (traslacions horitzontals i verticals) s'han d'aplicar per obtenir la gràfica de la funció $g(x) = \frac{1}{x-5} + 4$.

Una piscina portàtil s'omple en $12\text{ hores}$ fent servir una mànega. Si fem servir $x$ mànegues idèntiques, el temps d'ompliment és $y$ hores. Escriu la fórmula de la funció que modelitza aquesta situació i calcula quant trigaria a omplir-se la piscina si fem servir $3$ mànegues simultàniament.

En Marcos està estudiant la funció $f(x) = \dfrac{10}{x-4} + 3$, que modelitza el temps mitjà d'espera en minuts en una oficina d'atenció ciutadana segons el nombre $x$ de llocs d'atenció oberts. Al seu quadern escriu la conclusió següent:

«Com que al denominador apareix $x-4$, la indeterminació sorgeix quan el denominador val zero amb el signe canviat, així que l'asimptota vertical és la recta $x = -4$. A més, com que se suma $3$ al final, l'asimptota horitzontal és $y = 3$. Per tant, el domini de la funció és $\mathbb{R} - \{-4\}$ i el seu centre de simetria és $(-4, 3)$».

1. a) Localitza i explica raonadament l'error conceptual que ha comès en Marcos respecte a l'asimptota vertical.
2. b) Escriu la correcció corresponent indicant l'asimptota vertical vertadera, el domini correcte de la funció i les coordenades reals del seu centre de simetria.

Un camió de repartiment de mercaderies realitza habitualment el trajecte de $360\text{ km}$ per autovia entre Madrid i València a una velocitat mitjana constant $v$ (mesurada en $\text{km/h}$).

1. a) Escriu l'expressió algebraica de la funció $t(v)$ que proporciona el temps invertit en el viatge (en hores) en funció de la velocitat mitjana $v$. Indica quina és la constant de proporcionalitat i justifica si la relació entre les dues magnituds és directa o inversa.
2. b) Si a causa d'obres a la calçada el camió ha de reduir la seva velocitat mitjana exactament a la meitat, què passa amb la durada del trajecte? Justifica la teva resposta a partir de l'expressió algebraica de la funció.
3. c) La Direcció General de Trànsit (DGT) estableix que els camions han de circular en autovia a una velocitat mínima de $60\text{ km/h}$ i màxima permesa de $90\text{ km/h}$. Determina el domini de definició d'aquesta funció adaptat a la realitat del problema i troba l'interval d'hores en què oscil·la la durada del viatge.

Expressa la funció racional $f(x) = \frac{3x-7}{x-2}$ en la forma canònica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ efectuant la divisió de polinomis corresponent. A continuació, indica les equacions de les seves asímptotes i el seu domini.

Donada la funció $f(x) = \frac{-4}{x-1} + 2$:

1. a) Indica el seu domini i el seu recorregut.
2. b) Determina les equacions de les seves asímptotes.
3. c) Representa gràficament la funció en els eixos de coordenades.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La llei de Boyle-Mariotte estableix que, a temperatura constant, el volum que ocupa un gas és inversament proporcional a la pressió a la qual està sotmès. Un gas ocupa un volum de $4\text{ litres}$ a una pressió de $1,5\text{ atmòsferes}$.

Troba la fórmula de la funció que relaciona el volum $V$ amb la pressió $P$. Quin volum ocuparà el gas si la pressió s'incrementa fins a les $3\text{ atmòsferes}$?

Una classe de 4t d'ESO organitza una excursió de fi de curs. El lloguer de l'autobús costa $540\text{ \euro}$.

Escriu la funció que determina el preu $p$ que ha de pagar cada alumne en funció del nombre $x$ d'alumnes que hi assisteixin. Si finalment hi van $27$ alumnes, quant pagarà cadascun? I si a última hora s'hi apunten $3$ alumnes més?

La gràfica mostra com varia el preu per alumne amb el nombre d'assistents:

Troba analíticament els punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{4}{x}$ i la recta $y = -x + 5$.

La gràfica següent correspon a una funció de la forma $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$.

Observant la gràfica i les seves asímptotes, determina el valor dels paràmetres $k$, $a$ i $b$.

Donada la funció definida a trossos següent:

$f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x} & \text{si } x < -1 \\ 2x & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ \frac{8}{x} & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Estudia analíticament la seva continuïtat en els punts de canvi de definició $x = -1$ i $x = 2$.

Per imprimir uns fullets publicitaris, una impremta cobra un fix de $30\text{ \euro}$ en concepte de disseny i preparació de màquines, més $0,05\text{ \euro}$ per cada fullet imprès.

Escriu la funció que dona el cost mitjà per fullet en funció del nombre $x$ de fullets encarregats. A quin valor tendeix el cost mitjà si s'imprimeix una quantitat immensa de fullets?

L'alumnat de 4t d'ESO d'un institut de Saragossa lloga un autobús per un preu total fix de $720\text{ \euro}$ per fer una excursió al Pirineu aragonès. El cost individual $y$ (en euros) que ha de pagar cada estudiant es reparteix a parts iguals entre els $x$ alumnes que hi assisteixen.

1. a) Estima sense fer càlculs numèrics exactes: si inicialment tenien previst assistir-hi $30$ estudiants i a última hora es donen de baixa $6$ persones, el preu per persona augmentarà al voltant d'$1\text{ \euro}$, uns $5\text{ \euro}$ o més de $15\text{ \euro}$? Raona breument la teva estimació intuïtiva.
2. b) Modela la situació escrivint la funció $y = f(x)$. Calcula analíticament el preu per persona si viatgen $30$ alumnes i si finalment viatgen $24$, i comprova si la teva estimació inicial era encertada.
3. c) Un estudiant afirma: «Si dobleguem el nombre d'assistents, el preu per persona es redueix a la meitat; per tant, si vingués una quantitat enorme d'alumnes, el viatge acabaria sent totalment de franc». Recolzats en el concepte d'asimptota horitzontal de la funció, raona per què aquesta afirmació no és matemàticament vàlida a la pràctica.

Per determinar la fórmula d'una hipèrbola traslladada que té com a asimptota vertical la recta $x = 3$, com a asimptota horitzontal la recta $y = 2$ i la gràfica de la qual passa pel punt $(5, 6)$, dos estudiants del grup plantegen dos mètodes de treball diferents:

• Mètode de la Laura: Utilitzar directament la forma canònica $f(x) = \dfrac{k}{x-h} + v$, identificant els valors d'$h$ i $v$ a partir de les asimptotes i substituint les coordenades del punt $(5, 6)$ per aïllar el valor de $k$.

• Mètode d'en Daniel: Partir de la forma general $f(x) = \dfrac{ax+b}{x+c}$, substituir el punt $(5, 6)$, buscar dos punts aproximats més en una gràfica dibuixada a mà alçada i resoldre el sistema de tres equacions amb tres incògnites resultant per calcular $a$, $b$ i $c$.

1. a) Compara els dos procediments valorant la seva senzillesa, exactitud i rapidesa. Justifica quin dels dos mètodes és el més adequat i eficient per resoldre l'exercici.
2. b) Aplica el mètode triat per calcular l'expressió algebraica definitiva de la funció i escriu les coordenades del seu centre de simetria.
3. c) Comprova analíticament si el punt $(4, 10)$ pertany a la gràfica d'aquesta funció substituint les seves coordenades en la fórmula trobada.

Un estudiant ha d'analitzar i representar la funció racional $f(x) = \frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$. En el seu informe, conclou que la funció té una asímptota vertical a $x=3$ perquè aquest valor anul·la el denominador, i presenta l'esbós següent:

Demostra analíticament per què l'afirmació de l'estudiant és falsa, indica quin tipus de discontinuïtat presenta realment la funció a $x=3$ i calcula el límit verdader en aquest punt per corregir la gràfica.

Determina analíticament els punts de tall entre la funció racional $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ i la recta $g(x) = x+1$.

Troba els valors dels paràmetres $a$, $b$ i $c$ perquè la funció $f(x) = \frac{ax+b}{cx-2}$ tingui una asímptota horitzontal a $y = 3$, una asímptota vertical a $x = -1$ i la seva gràfica passi per l'origen de coordenades.

Un dipòsit d'aigua té dues aixetes d'ompliment. La primera aixeta triga $x$ hores a omplir-lo per si sola, i la segona aixeta triga $x+3$ hores a omplir-lo per si sola.

Expressa el temps $t$ que trigarien a omplir el dipòsit si s'obren les dues aixetes alhora, en funció de $x$. Si junts triguen exactament $2\text{ hores}$, quant triga cada aixeta per separat?

Es vol construir un marc rectangular de fusta amb una àrea interior de $24\text{ cm}^2$.

Escriu la funció que relaciona el perímetre $P$ del marc en funció de la longitud de la seva base $x$. Determina, a partir de l'expressió algebraica, si la funció té cap asímptota obliqua i explica el seu significat geomètric.

Discuteix, en funció del paràmetre $m$, el nombre de punts d'intersecció entre la hipèrbola $y = \frac{-2}{x}$ i la recta $y = mx + 2$.

Donada la funció de proporcionalitat inversa $f(x) = \frac{x+2}{x-1}$:

Calcula l'expressió de la funció composta $(f \circ f)(x)$ simplificant el resultat al màxim. A partir del resultat obtingut, quina conclusió pots treure sobre la funció inversa de $f(x)$?

El cost total de producció de $x$ unitats d'un component electrònic en una fàbrica ve donat per la funció $C(x) = 2000 + 15x$.

Escriu la funció del cost mitjà per unitat $C_m(x) = \frac{C(x)}{x}$. Analitza si aquesta funció té asímptotes horitzontals i explica detalladament el seu significat econòmic en el context de la producció de la fàbrica.

Resol la inequació $\frac{3x-1}{x+2} \le 2$ recolzant-te en l'estudi de la funció $f(x) = \frac{3x-1}{x+2}$. Per fer-ho, obtén la seva forma canònica $f(x) = \frac{k}{x-a} + b$ mitjançant divisió polinòmica i determina l'interval solució observant les interseccions.

Dissenya l'expressió algebraica d'una funció de proporcionalitat inversa traslladada de la forma $g(x) = \dfrac{k}{x-h} + v$ que compleixi simultàniament les tres condicions següents:

1. El seu domini és $\mathbb{R} - \{2\}$.

2. El seu recorregut és $\mathbb{R} - \{-1\}$.

3. La seva gràfica passa per l'origen de coordenades, $(0, 0)$.

1. a) Dedueix pas a pas els valors numèrics dels paràmetres $h$, $v$ i $k$, i escriu la fórmula final de la funció.
2. b) Observa el signe del paràmetre $k$ obtingut. Raona, a partir de la posició relativa del punt $(0, 0)$ respecte al centre de simetria $(h, v)$, per què era inevitable que les branques de la hipèrbola quedessin situades en el segon i quart quadrant respecte a les seves asimptotes.
3. c) Esbrina analíticament si la corba talla els eixos de coordenades en algun altre punt diferent de l'origen $(0, 0)$ i justifica la teva conclusió.

En una comunitat de propietaris de $60$ habitatges a Sevilla s'aprova dur a terme una instal·lació fotovoltaica compartida per reduir la factura elèctrica. El cost total d'instal·lació és de $18\,000\text{ \euro}$, que es reparteix a parts iguals entre els habitatges que decideixin participar-hi. A més, l'empresa de manteniment cobra una tarifa fixa anual de $50\text{ \euro}$ a cada habitatge participant per la gestió del servei.

1. a) Modela la funció $C(x)$ que expressa la despesa total del primer any (instal·lació més manteniment) que assumeix cada habitatge en funció del nombre $x$ d'habitatges adherits. Escriu la funció en la forma $C(x) = \dfrac{k}{x-h} + v$ i indica el valor de cada paràmetre.
2. b) Determina les asimptotes vertical i horitzontal de $C(x)$ i interpreta detalladament el seu significat pràctic en el context de la comunitat: què passaria amb el cost individual si hi participessin poquíssims veïns ($x \to 0$)? A quin valor tendiria el cost si la comunitat fos infinitament gran ($x \to \infty$)?
3. c) La junta de veïns estableix com a condició que el cost del primer any no superi els $500\text{ \euro}$ per habitatge. Planteja i resol una inequació a partir del teu model per trobar el nombre mínim de veïns necessaris perquè el projecte tiri endavant.
4. d) Sense necessitat de calcular els imports numèrics finals, raona: l'estalvi obtingut per veí en passar de $10$ a $15$ participants és més gran, igual o més petit que l'estalvi obtingut en passar de $40$ a $45$ participants? Justifica la teva resposta basant-te en la forma geomètrica i la curvatura de la hipèrbola.