Función de proporcionalidad inversa
Para recorrer 240 km, cuanto más rápido vas, menos tardas: a 60 km/h, 4 horas; a 80 km/h, 3 horas; a 120 km/h, 2 horas. El producto velocidad × tiempo es siempre 240. Esa relación, que ya conoces de la proporcionalidad inversa, tiene una gráfica muy característica: la hipérbola.
La función $y = \frac{k}{x}$
Mueve $k$, incluso a valores negativos:
-
Si $k > 0$: las dos ramas están en los cuadrantes I y III, y la función decrece en cada rama.
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Si $k < 0$: las ramas están en los cuadrantes II y IV, y crece en cada rama.
-
Cuanto mayor es $|k|$, más lejos del origen quedan las ramas.
Considera la función $y = \frac{12}{x}$. a) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad inversa $k$? b) Copia y completa en tu cuaderno la tabla para $x = 1$, $2$,…
Considera la función $y = \frac{12}{x}$.
- a) ¿Cuánto vale la constante de proporcionalidad inversa $k$?
- b) Copia y completa en tu cuaderno la tabla para $x = 1$, $2$, $3$, $4$, $6$ y $12$.
- c) ¿Qué ocurre con los valores de $y$ a medida que $x$ se hace más grande?
Sin representarlas, indica en qué cuadrantes se encuentran las ramas de cada una de estas hipérbolas y razona por qué: a) $y = \frac{7}{x}$ b) $y = \frac{-4}{x}$ c)…
Sin representarlas, indica en qué cuadrantes se encuentran las ramas de cada una de estas hipérbolas y razona por qué:
- a) $y = \frac{7}{x}$
- b) $y = \frac{-4}{x}$
- c) $y = \frac{1}{5x}$
¿De qué depende los cuadrantes que ocupa una hipérbola $y = \frac{k}{x}$?
En la figura aparecen las hipérbolas $y = \frac{3}{x}$ e $y = \frac{12}{x}$ para valores positivos de $x$, como se muestra a continuación. a) Asocia cada curva con su…
En la figura aparecen las hipérbolas $y = \frac{3}{x}$ e $y = \frac{12}{x}$ para valores positivos de $x$, como se muestra a continuación.
- a) Asocia cada curva con su ecuación.
- b) ¿Qué efecto tiene el valor de $k$ en la posición de la hipérbola respecto al origen?
- c) ¿Dónde dibujarías $y = \frac{6}{x}$? Justifícalo.
Asíntotas
La hipérbola se acerca cada vez más a los ejes, pero nunca los toca:
-
Cuando $x$ se acerca a 0, $y$ se hace enorme (positiva o negativa).
-
Cuando $x$ se hace muy grande, $y$ se acerca a 0.
Esas rectas a las que se pega la gráfica sin llegar a tocarlas se llaman asíntotas. En $y = \frac{k}{x}$ son los dos ejes.
Considera la función $y = \frac{8}{x}$. a) ¿Corta su gráfica al eje $X$? ¿Y al eje $Y$? Justifica tus respuestas usando la ecuación. b) ¿Qué valores toma $y$ cuando $x$…
Considera la función $y = \frac{8}{x}$.
- a) ¿Corta su gráfica al eje $X$? ¿Y al eje $Y$? Justifica tus respuestas usando la ecuación.
- b) ¿Qué valores toma $y$ cuando $x$ se acerca a $0$ por la derecha ($x = 1$, $0,1$, $0,01$…)? ¿Y cuando $x$ se hace muy grande?
- c) Explica con tus palabras qué significa que los ejes de coordenadas sean asíntotas de la hipérbola.
Problemas con la hipérbola
Si sabes que es de proporcionalidad inversa y conoces un punto, ya conoces $k$: $k = x \cdot y$.
Un grupo de ciclistas debe recorrer $240\ \text{km}$ entre dos etapas. La velocidad media $v$ a la que rueden determinará el tiempo $t$ que tarden. a) Escribe la función…
Un grupo de ciclistas debe recorrer $240\ \text{km}$ entre dos etapas. La velocidad media $v$ a la que rueden determinará el tiempo $t$ que tarden.
- a) Escribe la función que da el tiempo $t$ en función de la velocidad $v$.
- b) Completa en tu cuaderno la tabla para $v = 10$, $15$, $20$, $30$ y $40\ \text{km/h}$.
- c) ¿Es una función de proporcionalidad inversa? ¿Cuánto vale $k$?
Unos pintores tienen que pintar una valla. Un solo pintor tardaría $12$ días trabajando al mismo ritmo. a) Escribe la función que relaciona el número de pintores $x$ con…
Unos pintores tienen que pintar una valla. Un solo pintor tardaría $12$ días trabajando al mismo ritmo.
- a) Escribe la función que relaciona el número de pintores $x$ con los días $y$ que tardan.
- b) ¿Cuánto tardan $4$ pintores? ¿Y $6$?
- c) ¿Tiene sentido dar valores decimales a $x$ en este contexto? ¿Y valores negativos? Explica qué valores puede tomar $x$.
Una función de proporcionalidad inversa pasa por el punto $P(4, 6)$. a) Calcula su constante $k$ y escribe su ecuación. b) Completa una tabla de valores con $x = 1$,…
Una función de proporcionalidad inversa pasa por el punto $P(4, 6)$.
- a) Calcula su constante $k$ y escribe su ecuación.
- b) Completa una tabla de valores con $x = 1$, $2$, $3$, $6$, $8$ y $12$.
- c) Representa la hipérbola en tu cuaderno para valores positivos de $x$.
- d) ¿Pasa también por el punto $(-3, -8)$? Compruébalo con la ecuación.