Exercicis: Funcions contínues. Discontinuïtats

Observa la gràfica següent de la funció $f(x)$ i determina en quins punts del seu domini presenta alguna discontinuïtat. Classifica cadascuna d'elles indicant si es tracta d'una discontinuïtat evitable, de salt finit o de salt infinit.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indica el seu domini de definició i el punt en què presenta una discontinuïtat. De quin tipus de discontinuïtat es tracta? Justifica la teva resposta estudiant el comportament de la funció al voltant d'aquest punt.

Una funció definida a trossos ve donada per l'expressió següent:

$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Calcula el valor de la funció en $x=1$ i els límits laterals quan $x$ tendeix a 1. És contínua la funció en aquest punt? Si no ho és, classifica la discontinuïtat.

En un aparcament de bicicletes d'una ciutat, la tarifa és de 2 € per la primera hora o fracció, i 1,50 € per cada hora o fracció addicional. Si representem la funció que relaciona el temps d'estacionament continu (en hores) amb el preu a pagar (en euros), quin tipus de discontinuïtat presentarà la gràfica en els valors enters del temps ($t=1, 2, 3\dots$)?

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.

Calcula el valor de la funció en $x=4$ si és possible. A continuació, simplifica l'expressió algebraica i calcula el límit quan $x$ tendeix a 4. Quin tipus de discontinuïtat presenta la funció en $x=4$?

Troba els punts de discontinuïtat de la funció $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ i indica de quin tipus és cadascuna, analitzant si el numerador s'anul·la o no en aquests punts.

Estudia la continuïtat en $x=0$ de la funció següent:

$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Classifica la discontinuïtat existent en aquest punt.

Un dipòsit d'aigua d'una granja s'omple a un ritme constant durant 10 minuts fins a assolir els 500 litres. En aquest mateix instant, s'obre una vàlvula de descàrrega ràpida d'emergència que buida el dipòsit per complet de manera quasi instantània. Si dibuixem la gràfica del volum d'aigua en funció del temps, quin tipus de discontinuïtat matemàtica s'observa al minut 10?

Correos d'Espanya aplica diferents tarifes per a l'enviament nacional de cartes i targetes postals ordinàries en funció del pes $x$ (en grams) del sobre: per a pesos de fins a $20\text{ g}$, el franqueig costa $0,85\text{ €}$; per a pesos de més de $20\text{ g}$ i fins a $50\text{ g}$, costa $0,95\text{ €}$; i per a pesos de més de $50\text{ g}$ i fins a $100\text{ g}$, costa $1,40\text{ €}$.

1. a) Escriu la funció a trossos $P(x)$ que determina el preu de l'enviament per a qualsevol pes en l'interval $(0, 100]$.
2. b) Estudia analíticament la continuïtat de la funció en $x = 20\text{ g}$. Per a fer-ho, calcula $P(20)$, el límit per l'esquerra $\lim_{x \to 20^-} P(x)$ i el límit per la dreta $\lim_{x \to 20^+} P(x)$.
3. c) Classifica el tipus de discontinuïtat que presenta la funció en $x = 20\text{ g}$ i explica quina repercussió pràctica té per a dues persones que dipositen cartes els continguts de les quals pesen exactament $20\text{ g}$ i $20,1\text{ g}$.

En Lucas ha d'analitzar la continuïtat de la funció $f(x) = \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ en el punt $x = 3$. En el seu examen escriu: «Com que el denominador s'anul·la en $x = 3$, no es pot dividir entre zero; per tant, la funció té obligatòriament una asímptota vertical en aquest punt i presenta una discontinuïtat de salt infinit».\n\nIdentifica l'error conceptual que comet en Lucas, explica quina comprovació prèvia va ometre en el numerador, calcula el límit de la funció quan $x$ tendeix a $3$ factoritzant l'expressió i classifica de manera correcta el tipus de discontinuïtat que presenta $f(x)$ en $x = 3$.

Calcula el valor que ha de tenir el paràmetre $k$ perquè la funció següent sigui contínua en tot el seu domini:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Una companyia elèctrica ofereix una tarifa per a pimes: es paguen 15 € fixos més 0,12 € per cada kWh consumit, fins a un màxim de 100 kWh. Si el consum supera els 100 kWh, la tarifa canvia i es cobra a 0,10 € TOTS els kWh consumits (eliminant el cost fix de 15 €).

Escriu la funció a trossos que determina el cost total en funció dels kWh consumits. És contínua la funció en un consum exacte de 100 kWh? Si no ho és, indica el tipus de discontinuïtat i el "salt" en el preu.

Observa la gràfica de la funció $g(x)$ i respon a les qüestions següents:

1. Determina el domini de la funció.

2. Identifica els punts de discontinuïtat i classifica'ls.

3. Escriu el valor dels límits laterals en $x = -1$ i en $x = 3$.

Donada la funció $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determina el seu domini de definició. Estudia analíticament el tipus de discontinuïtat que presenta en $x=1$ i en $x=-1$ calculant els límits laterals corresponents.

Un atleta de 100 metres llisos accelera uniformement des del repòs fins a assolir una velocitat de 8 m/s en 4 segons. Manté aquesta velocitat constant durant 10 segons. Just en aquest moment, pateix un estirament muscular i la seva velocitat cau instantàniament a 0 m/s.

Expressa la funció velocitat $v(t)$ a trossos respecte al temps $t$ i classifica la discontinuïtat que es produeix en l'instant de la lesió.

Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{3}{x-2} + \frac{x}{x+1}$. Identifica els punts on no és contínua i justifica analíticament de quin tipus de discontinuïtat es tracta en cada cas.

Determina el valor de $a$ perquè la funció $f(x) = \frac{x^2+ax-10}{x-2}$ tingui una discontinuïtat evitable en $x=2$. Quin seria el valor del límit de la funció quan $x$ tendeix a 2 en aquest cas concret?

Considera la funció definida per $f(x) = \frac{|x+3|}{x+3}$.

Reescriu la funció com una funció a trossos (sense fer servir el valor absolut). A continuació, estudia la seva continuïtat en $x=-3$ i classifica la discontinuïtat.

Un equip tècnic necessita dissenyar una funció analítica $f(x)$ que modeli el calibratge d'un sensor tèrmic que presenta comportaments singulars en dues temperatures clau:

1. En $x = -2$, el sensor emet una lectura puntual fixada en $f(-2) = 1$, però la tendència de les lectures tant per l'esquerra com per la dreta convergeix cap al valor $-5$ (discontinuïtat版权 evitable / discontinuïtat evitable).

2. En $x = 3$, el valor de les lectures es dispara sense control cap a l'infinit en aproximar-se a aquest punt (discontinuïtat de salt infinit).

3. Per a qualsevol altre valor real de $x$, el sensor respon de manera contínua.

Construeix l'expressió algebraica d'una funció (pots utilitzar una funció a trossos o una expressió racional) que compleixi simultàniament aquestes tres condicions. Justifica la teva proposta comprovant el valor de la funció i els límits laterals en $x = -2$ i en $x = 3$.

Un municipi debat dos models alternatius per a facturar el subministrament domèstic d'aigua en funció del volum mensual consumit $x$ (en $\text{m}^3$):

• Model A (tram continu): si consumeixes fins a $10\text{ m}^3$, pagues una quota fixa de $12\text{ €}$. Si superes els $10\text{ m}^3$, pagues aquests $12\text{ €}$ més $1,50\text{ €}$ per cada metre cúbic que excedeixi dels $10\text{ m}^3$.

• Model B (bloc brusc): si consumeixes fins a $10\text{ m}^3$, pagues una tarifa plana de $12\text{ €}$. Tanmateix, si consumeixes més de $10\text{ m}^3$, se't cobra la totalitat del volum consumit a raó de $1,80\text{ €}/\text{m}^3$ des del primer metre cúbic.

1. a) Escriu la fórmula de la funció a trossos que defineix el cost mensual en cada model: $C_A(x)$ i $C_B(x)$.
2. b) Abans d'operar formalment, estima quin dels dos models generarà reclamacions veïnals per provocar una pujada desproporcionada entre dos consums gairebé idèntics de $9,9\text{ m}^3$ i $10,1\text{ m}^3$.
3. c) Comprova analíticament la teva estimació estudiant la continuïtat de $C_A(x)$ i de $C_B(x)$ en el punt crític $x = 10\text{ m}^3$ mitjançant el càlcul dels seus límits laterals i els seus valors en el punt. Classifica la discontinuïtat que aparegui i conclou quin dels dos models és més equitatiu.

Troba els valors dels paràmetres $a$ i $b$ perquè la funció $f(x)$ sigui contínua en tot el conjunt dels nombres reals:

$f(x) = \begin{cases} \frac{a}{x} & \text{si } x < -1 \\ x^2 + b & \text{si } -1 \le x \le 2 \\ 3x - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

En un país fictici, l'impost sobre la renda anual es calcula de la manera progressiva següent:

• Les rendes de fins a 20 000 € paguen un 10 % sobre el total.

• El tram de renda que excedeix els 20 000 € i arriba fins a 50 000 € paga un 20 % (sumat al que ja es va pagar pels primers 20 000 €).

• El tram de renda que excedeix els 50 000 € paga un 30 % (sumat a l'anterior).

Escriu la funció a trossos $T(x)$ que calcula l'impost total a pagar per a una renda $x$. Demostra analíticament que la funció $T(x)$ és matemàticament contínua en $x=20\,000$ i en $x=50\,000$.

Donada la funció racional $f(x) = \frac{x^3 - 3x^2 - x + 3}{x^2 - 4x + 3}$, factoritza els polinomis del numerador i del denominador mitjançant la regla de Ruffini i la resolució d'equacions per a trobar el domini de la funció. Estudia i classifica detalladament les discontinuïtats que presenta en els punts exclosos del domini.

La velocitat d'una reacció química $R(T)$ en funció de la temperatura $T$ (en °C) ve donada per un model matemàtic a trossos. Per a temperatures fins al punt d'ebullició ($T \le 100$), $R(T) = 3T + k$. Per a temperatures superiors ($T > 100$), el model canvia a $R(T) = a \cdot 2^{T-100}$.

Es sap que en el punt d'ebullició ($T=100$) es produeix una discontinuïtat de salt finit, de manera que la velocitat augmenta de sobte en 50 unitats respecte al límit per l'esquerra. Si la velocitat just en l'instant d'ebullició ($T=100$) és de 320 unitats, calcula els valors exactes dels paràmetres $k$ i $a$.

Estudia la continuïtat de la funció $f(x) = \frac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ en el punt $x=0$. Per a fer-ho, multiplica numerador i denominador per l'expressió conjugada del numerador, calcula el límit quan $x$ tendeix a 0, i classifica la discontinuïtat resultant.

Troba els valors de $m$ i $n$ perquè la funció racional $f(x) = \frac{mx^2 + nx - 6}{x^2 - 4}$ tingui una discontinuïtat evitable en $x=2$ i una discontinuïtat de salt infinit en $x=-2$.

Considera la funció $f(x) = \frac{x^2-4}{|x-2|}$.

Escriu-la com una funció definida a trossos eliminant el valor absolut de forma rigorosa. Estudia la seva continuïtat en $x=2$ calculant els límits laterals i classifica la discontinuïtat.

Un dron d'exploració submarina de massa $m$ es mou en un medi viscós. La seva velocitat vertical $v(t)$ experimenta una discontinuïtat de salt infinit en l'instant $t=5$ a causa d'un corrent extrem, i una discontinuïtat evitable en $t=2$ per una fallada transitòria en el sensor de mesura.

Proposa una expressió algebraica racional per a $v(t)$ que compleixi simultàniament aquestes dues condicions i que, a més, parteixi del repòs en l'origen de temps ($v(0)=0$). Justifica la teva resposta analitzant els límits de la funció que has proposat.

Donada la funció definida a trossos:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x = 1 \\ 3x + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Per a esbrinar si $f(x)$ és contínua en $x = 1$, dos alumnes proposen camins diferents:

• Mètode 1 (Aproximació numèrica d'Alba): calcular el valor de $f(x)$ en diversos nombres molt propers a $1$, com ara $x = 0,99$, $x = 0,999$, $x = 1,001$ i $x = 1,01$, i observar visualment si les imatges s'aproximen al valor $f(1) = 4$.

• Mètode 2 (Resolució analítica de Bruno): simplificar la indeterminació de la branca esquerra factoritzant el polinomi, calcular algebraicament $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ i $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, i comprovar si ambdós coincideixen amb $f(1)$.

1. a) Aplica el Mètode 2 pas a pas: calcula els límits laterals, compara'ls amb $f(1)$ i classifica formalment la continuïtat o discontinuïtat de la funció en $x = 1$.
2. b) Compara críticament ambdós mètodes: explica per què el Mètode 1 no garanteix una certesa matemàtica rigorosa encara que sigui útil intuïtivament, i justifica en quina situació real (per exemple, en la presa de dades experimentals on no existeix fórmula algebraica) el Mètode 1 seria l'única alternativa viable.

A Espanya, l'Impost Especial sobre Determinats Mitjans de Transport (impost de matriculació) grava les emissions oficials de $\text{CO}_2$ de cada vehicle nou segons els trams fixats per la normativa tributària:

• Tram 0: emissions $x \le 120\text{ g/km} \rightarrow 0\,\%$ sobre la base imposable.

• Tram 1: emissions $120 < x < 160\text{ g/km} \rightarrow 4,75\,\%$ sobre la base imposable.

• Tram 2: emissions $160 \le x < 200\text{ g/km} \rightarrow 9,75\,\%$ sobre la base imposable.

• Tram 3: emissions $x \ge 200\text{ g/km} \rightarrow 14,75\,\%$ sobre la base imposable.

Un automòbil té una base imposable (preu del vehicle abans d'impostos) de $24.000\text{ €}$.

1. a) Expressa la funció $I(x)$ que determina la quantia de l'impost en euros en funció de les emissions $x$ per a l'interval $[100, 180]\text{ g/km}$.
2. b) Estudia de manera raonada la continuïtat d' $I(x)$ a les fronteres de tram $x = 120$ i $x = 160$. Calcula els límits laterals i el valor de la funció a cada frontera, i classifica les discontinuïtats trobades indicant la magnitud exacta de cada salt en euros.
3. c) Una marca de cotxes aconsegueix reduir mitjançant millores aerodinàmiques les emissions homologades d'un vehicle de $120,4\text{ g/km}$ a $119,7\text{ g/km}$. Recolzant-te en els teus resultats matemàtics, quantifica l'estalvi fiscal que suposa aquesta reducció de només $0,7\text{ g/km}$ i explica per què en economia i fiscalitat aquest fenomen es coneix com a «efecte graó». Relaciona aquest concepte amb les discontinuïtats de salt finit.