Funciones continuas. Discontinuidades
El precio de un aparcamiento por horas "da un salto" cada vez que empieza una hora nueva: ahí la gráfica deja de dibujarse sin levantar el lápiz. A eso lo llamamos discontinuidad, y este año aprendes a clasificarla con precisión en lugar de solo detectarla a ojo.
Continuidad en un punto
Una función continua se dibuja sin levantar el lápiz. En la práctica trabajarás con tres causas de discontinuidad: una fracción que se anula, una función a trozos mal "empalmada" o un salto real de una situación cotidiana (precio, tarifa).
Una función definida a trozos viene dada por la siguiente expresión: $f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$ Calcula el…
Una función definida a trozos viene dada por la siguiente expresión:
$f(x) = \begin{cases} 2x + 3 & \text{si } x < 1 \\ 4 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$
Calcula el valor de la función en $x=1$ y los límites laterales cuando $x$ tiende a 1. ¿Es continua la función en dicho punto? Si no lo es, clasifica la discontinuidad.
Los tres tipos de discontinuidad
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina en qué puntos de su dominio presenta alguna discontinuidad. Clasifica cada una de ellas indicando si se…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y determina en qué puntos de su dominio presenta alguna discontinuidad. Clasifica cada una de ellas indicando si se trata de una discontinuidad evitable, de salto finito o de salto infinito.
Observa la gráfica de la función $g(x)$ y responde a las siguientes cuestiones: 1. Determina el dominio de la función. 2. Identifica los puntos de discontinuidad y…
Observa la gráfica de la función $g(x)$ y responde a las siguientes cuestiones:
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Determina el dominio de la función.
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Identifica los puntos de discontinuidad y clasifícalos.
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Escribe el valor de los límites laterales en $x = -1$ y en $x = 3$.
Discontinuidades de funciones racionales
Dada la función racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indica su dominio de definición y el punto en el que presenta una discontinuidad. ¿De qué tipo de discontinuidad se…
Dada la función racional $f(x) = \frac{3x-1}{x+5}$, indica su dominio de definición y el punto en el que presenta una discontinuidad. ¿De qué tipo de discontinuidad se trata? Justifica tu respuesta estudiando el comportamiento de la función alrededor de ese punto.
Considera la función $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$. Calcula el valor de la función en $x=4$ si es posible. A continuación, simplifica la expresión algebraica y calcula el…
Considera la función $f(x) = \frac{x^2-16}{x-4}$.
Calcula el valor de la función en $x=4$ si es posible. A continuación, simplifica la expresión algebraica y calcula el límite cuando $x$ tiende a 4. ¿Qué tipo de discontinuidad presenta la función en $x=4$?
Halla los puntos de discontinuidad de la función $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ e indica de qué tipo es cada una, analizando si el numerador se anula o no en dichos…
Halla los puntos de discontinuidad de la función $f(x) = \frac{x+2}{x^2-3x-10}$ e indica de qué tipo es cada una, analizando si el numerador se anula o no en dichos puntos.
Dada la función $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determina su dominio de definición. Estudia analíticamente el tipo de discontinuidad que presenta en $x=1$ y en $x=-1$…
Dada la función $f(x) = \frac{x^2-x-2}{x^2-1}$, determina su dominio de definición. Estudia analíticamente el tipo de discontinuidad que presenta en $x=1$ y en $x=-1$ calculando los límites laterales correspondientes.
Discontinuidades en funciones a trozos
Para estudiar la continuidad en el punto donde cambian los trozos, se calculan los dos límites laterales (sustituyendo en cada fórmula) y se comparan con el valor que da la fórmula "oficial" en ese punto.
Cuando el enunciado pide hallar un parámetro para que la función sea continua, se igualan los dos trozos en el punto de cambio y se resuelve la ecuación.
En un aparcamiento de bicicletas de una ciudad, la tarifa es de 2 € por la primera hora o fracción, y 1,50 € por cada hora o fracción adicional. Si representamos la…
En un aparcamiento de bicicletas de una ciudad, la tarifa es de 2 € por la primera hora o fracción, y 1,50 € por cada hora o fracción adicional. Si representamos la función que relaciona el tiempo de estacionamiento continuo (en horas) con el precio a pagar (en euros), ¿qué tipo de discontinuidad presentará la gráfica en los valores enteros del tiempo ($t=1, 2, 3\dots$)?
Estudia la continuidad en $x=0$ de la siguiente función: $f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$ Clasifica la…
Estudia la continuidad en $x=0$ de la siguiente función:
$f(x) = \begin{cases} -x^2 & \text{si } x \le 0 \\ \frac{1}{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$
Clasifica la discontinuidad existente en dicho punto.
Calcula el valor que debe tener el parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:…
Calcula el valor que debe tener el parámetro $k$ para que la siguiente función sea continua en todo su dominio:
$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + k & \text{si } x \le 2 \\ 5x - 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}$
Una compañía eléctrica ofrece una tarifa para pymes: se pagan 15 € fijos más 0,12 € por cada kWh consumido, hasta un máximo de 100 kWh. Si el consumo supera los 100 kWh,…
Una compañía eléctrica ofrece una tarifa para pymes: se pagan 15 € fijos más 0,12 € por cada kWh consumido, hasta un máximo de 100 kWh. Si el consumo supera los 100 kWh, la tarifa cambia y se cobra a 0,10 € TODOS los kWh consumidos (eliminando el coste fijo de 15 €).
Escribe la función a trozos que determina el coste total en función de los kWh consumidos. ¿Es continua la función en un consumo exacto de 100 kWh? Si no lo es, indica el tipo de discontinuidad y el "salto" en el precio.