Características de una función

Para que una relación sea considerada una función, a cada valor de la variable independiente ($x$) le debe corresponder, como máximo, un único valor de la variable dependiente ($y$).

Observa la siguiente gráfica y razona si representa una función o no utilizando la "regla de la recta vertical".

El dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable $x$, mientras que el recorrido (o imagen) es el conjunto de valores que toma la variable $y$.

Observa la gráfica de la siguiente función (representada por el segmento naranja) y escribe su dominio y su recorrido utilizando intervalos.

Decimos que una función es continua si podemos dibujar su gráfica sin levantar el lápiz del papel. Si presenta saltos o interrupciones, se llama discontinua.

La siguiente gráfica muestra el precio del aparcamiento en un centro comercial según las horas transcurridas. Indica si la función es continua o discontinua y, en caso de ser discontinua, señala en qué valores de $x$ se producen los saltos.

En una empresa de mensajería, el coste de enviar un paquete depende de su peso. Sin embargo, la tarifa cambia bruscamente al superar ciertos tramos de peso. Observa la gráfica de la función coste:

Responde a las siguientes cuestiones sobre la continuidad:

1. ¿Es esta función continua? Justifica tu respuesta describiendo qué ocurre en los puntos $x = 2kg$ y $x = 5kg$ (representados por los saltos en la gráfica).

2. Indica el dominio y el recorrido de esta función según el dibujo.

3. Si un paquete pesa exactamente $2kg$, ¿cuál es su coste? Fíjate en los puntos rellenos y vacíos para decidir.

Una función es creciente si al aumentar la $x$, aumenta la $y$. Es decreciente si al aumentar la $x$, disminuye la $y$.

Marcos está haciendo una ruta de senderismo. La siguiente gráfica representa la altitud a la que se encuentra en cada momento. Identifica los intervalos de tiempo (eje $x$) en los que Marcos está subiendo (función creciente) y aquellos en los que está bajando (función decreciente).

Los máximos son los puntos más altos de una zona de la gráfica, y los mínimos son los puntos más bajos.

En un videojuego, la energía de un personaje varía según la gráfica mostrada. Indica las coordenadas $(x, y)$ de los puntos que representan un máximo relativo y un mínimo relativo en esta aventura.

Marta utiliza un patinete eléctrico para ir al instituto. La siguiente gráfica muestra el porcentaje de batería restante en función de la distancia recorrida en kilómetros.

Analiza la gráfica y responde:

1. a) ¿Cuál es el dominio y el recorrido de la función?
2. b) ¿Es una función creciente o decreciente? ¿Qué significa esto en el contexto del problema?
3. c) ¿En qué punto corta la gráfica al eje $y$ (ordenada en el origen) y qué representa?

La siguiente gráfica muestra la evolución del porcentaje de batería de un teléfono inteligente a lo largo de un día, desde que el usuario se despierta a las $08:00$ hasta que lo pone a cargar por la noche.

A partir de la gráfica, analiza las siguientes características:

1. Indica los intervalos de tiempo en los que la función es decreciente y qué significa en este contexto.

2. ¿Existe algún intervalo donde la función sea constante? Si es así, indícalo y propón una situación real que explique por qué la batería no disminuye en ese tiempo.

3. Determina el valor máximo y el valor mínimo de la batería en el intervalo observado.

Dada la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$, realiza un estudio de sus características principales:

1. Calcula los puntos de corte con el eje $X$ (resolviendo la ecuación $f(x) = 0$) y con el eje $Y$ (calculando $f(0)$).

2. Halla las coordenadas del vértice sabiendo que la abscisa se calcula con la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$. ¿Es un máximo o un mínimo absoluto?

3. Indica el intervalo donde la función es decreciente.

Una función es periódica si su gráfica se repite exactamente igual cada cierto intervalo, llamado periodo.

La señal de un monitor cardíaco se comporta de forma repetitiva. Observa la gráfica y determina cuánto vale el periodo (la distancia en el eje $x$ necesaria para completar un ciclo completo).

Las funciones pueden presentar simetría. Una función es par si es simétrica respecto al eje $y$ (como un espejo). Es impar si es simétrica respecto al origen de coordenadas $(0,0)$.

Determina qué tipo de simetría (par, impar o ninguna) tienen las siguientes dos gráficas:

Un sensor de presión en una máquina industrial registra un ciclo repetitivo cada pocos segundos. La presión $P$ (en bares) depende del tiempo $t$ (en segundos) según la siguiente gráfica:

Basándote en la información visual:

1. Explica razonadamente por qué esta función es periódica.

2. Si los picos de presión máxima ocurren en $t = 2s$, $t = 10s$ y $t = 18s$, ¿cuál es el valor del periodo $T$?

3. ¿Qué presión registrará el sensor en el instante $t = 82s$?