Distribuciones condicionadas
La media marginal de las notas de Física te dice cómo va "la clase en general". Pero igual te interesa algo más concreto: ¿cómo va en Física el grupo que sacó un $6$ en Matemáticas? Esa pregunta, restringida a un subgrupo, es una distribución condicionada.
Qué es una distribución condicionada
Dada la siguiente tabla de doble entrada que relaciona las variables $X$ e $Y$: | $X \setminus Y$ | $1$ | $2$ | $3$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | | $10$ | $2$ |…
Dada la siguiente tabla de doble entrada que relaciona las variables $X$ e $Y$:
| $X \setminus Y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $10$ | $2$ | $5$ | $1$ |
| $20$ | $0$ | $4$ | $3$ |
| $30$ | $4$ | $1$ | $0$ |
Escribe la tabla de frecuencias de la distribución de la variable $Y$ condicionada a $X = 10$ y calcula el tamaño de esta subpoblación.
En un estudio sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha aislado la distribución de $Y$ condicionada a un valor específico $x_i$, obteniendo las siguientes frecuencias…
En un estudio sobre dos variables $X$ e $Y$, se ha aislado la distribución de $Y$ condicionada a un valor específico $x_i$, obteniendo las siguientes frecuencias absolutas:
| $Y | X = x_i$ | Frecuencia absoluta ($f_{j|i}$) |
|---|---|
| $100$ | $4$ |
| $200$ | $12$ |
| $300$ | $4$ |
Calcula las frecuencias relativas condicionadas $h_{j|i}$ para cada valor de $Y$ y comprueba que suman $1$.
Media y varianza condicionada
Dentro de ese subgrupo, se calcula la media y la varianza exactamente como siempre, pero usando solo las frecuencias de esa fila (o columna).
Se analiza el número de faltas de ortografía ($Y$) en un dictado según el curso ($X$). Se extraen las dos distribuciones condicionadas para $X=3$ y $X=4$: Distribución…
Se analiza el número de faltas de ortografía ($Y$) en un dictado según el curso ($X$). Se extraen las dos distribuciones condicionadas para $X=3$ y $X=4$:
Distribución $Y | X=3$:
Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$
Frecuencias: $2, 5, 2, 1$
Distribución $Y | X=4$:
Valores $y_j$: $0, 1, 2, 3$
Frecuencias: $5, 3, 2, 0$
Calcula la media de faltas en cada curso ($\bar{y}_{|x=3}$ y $\bar{y}_{|x=4}$) e indica en qué curso se cometen, en promedio, menos faltas.
En un estudio de nutrición se relaciona el contenido de carbohidratos en gramos ($X$) y el contenido de proteínas en gramos ($Y$) de varias barritas energéticas. Los…
En un estudio de nutrición se relaciona el contenido de carbohidratos en gramos ($X$) y el contenido de proteínas en gramos ($Y$) de varias barritas energéticas. Los resultados se agrupan en la siguiente tabla:
| $X \setminus Y$ | $5$ | $10$ | $15$ |
|---|---|---|---|
| $20$ | $8$ | $12$ | $0$ |
| $30$ | $2$ | $15$ | $5$ |
| $40$ | $0$ | $4$ | $14$ |
Calcula la media y la desviación típica del contenido de proteínas para aquellas barritas que tienen exactamente $30\text{ g}$ de carbohidratos (distribución $Y|X=30$).
Independencia estadística
Se realiza una encuesta en un centro escolar preguntando el género ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) y la red social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$,…
Se realiza una encuesta en un centro escolar preguntando el género ($X$: $1=\text{Chico}$, $2=\text{Chica}$) y la red social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).
| $X \setminus Y$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|
| $1$ | $30$ | $20$ | $10$ |
| $2$ | $45$ | $30$ | $15$ |
Calcula las distribuciones de frecuencias relativas condicionadas $Y|X=1$ e $Y|X=2$. A la vista de los resultados, ¿son independientes el género y la red social preferida en esta muestra?
Demuestra numéricamente una propiedad fundamental de la independencia estadística. Dada la siguiente tabla donde $X$ e $Y$ son independientes (sus frecuencias relativas…
Demuestra numéricamente una propiedad fundamental de la independencia estadística. Dada la siguiente tabla donde $X$ e $Y$ son independientes (sus frecuencias relativas conjuntas son el producto de las marginales):
| $X \setminus Y$ | $2$ | $4$ | Total |
|---|---|---|---|
| $1$ | $10$ | $30$ | $40$ |
| $2$ | $15$ | $45$ | $60$ |
| Total | $25$ | $75$ | $100$ |
Calcula la media marginal $\bar{y}$ y las medias condicionadas $\bar{y}_{|x=1}$ e $\bar{y}_{|x=2}$. Comprueba que, al ser independientes, se cumple la igualdad $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.
Cuidado: lo que es verdad por grupos puede no serlo en conjunto
Esta es la primera pista seria de algo que verás en el siguiente apartado con más detalle: una relación estadística entre dos variables no garantiza que una sea la causa de la otra, ni que comparar grupos enteros cuente la historia completa.
En un hospital se prueba un nuevo tratamiento. La variable $X$ indica el tratamiento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) y la variable $Y$ indica el resultado…
En un hospital se prueba un nuevo tratamiento. La variable $X$ indica el tratamiento ($0=\text{Estándar}$, $1=\text{Nuevo}$) y la variable $Y$ indica el resultado ($0=\text{No curado}$, $1=\text{Curado}$). Los pacientes se dividen en dos grupos de riesgo, formando dos distribuciones condicionadas:
Grupo de Riesgo Bajo:
Tratamiento Estándar: $10$ curados de $50$ pacientes.
Tratamiento Nuevo: $2$ curados de $10$ pacientes.
Grupo de Riesgo Alto:
Tratamiento Estándar: $6$ curados de $10$ pacientes.
Tratamiento Nuevo: $25$ curados de $50$ pacientes.
Calcula el porcentaje de curación (que equivale a la media $\bar{y}$) para cada tratamiento dentro de cada grupo de riesgo. Luego, agrupa todos los pacientes y calcula el porcentaje de curación global para cada tratamiento. ¿Qué tratamiento parece mejor en los grupos separados y cuál parece mejor globalmente? (Este fenómeno se conoce como la Paradoja de Simpson).