Exercicis: Distribucions condicionades

Donada la taula de doble entrada següent que relaciona les variables $X$ i $Y$:

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$10$	$2$	$5$	$1$
$20$	$0$	$4$	$3$
$30$	$4$	$1$	$0$

Escriu la taula de freqüències de la distribució de la variable $Y$ condicionada a $X = 10$ i calcula la mida d'aquesta subpoblació.

A partir de la distribució conjunta de les variables $X$ i $Y$ donada en la taula:

$X \setminus Y$	$0$	$5$
$2$	$10$	$2$
$4$	$8$	$6$
$6$	$1$	$12$

Calcula la mitjana aritmètica de la distribució de $X$ condicionada a $Y = 5$, és a dir, $\bar{x}_{|y=5}$.

En un estudi sobre dues variables $X$ i $Y$, s'ha aïllat la distribució de $Y$ condicionada a un valor específic $x_i$, i s'han obtingut les freqüències absolutes següents:

$Y | X = x_i$	Freqüència absoluta ($f_{j|i}$)
$100$	$4$
$200$	$12$
$300$	$4$

Calcula les freqüències relatives condicionades $h_{j|i}$ per a cada valor de $Y$ i comprova que sumen $1$.

Observa la taula de contingència següent:

$X \setminus Y$	$10$	$20$	$30$	$40$
$1$	$1$	$8$	$2$	$0$
$2$	$5$	$3$	$9$	$1$
$3$	$2$	$2$	$4$	$7$

Determina la moda de la distribució de $Y$ condicionada a $X = 2$ i la moda de la distribució de $X$ condicionada a $Y = 30$.

S'ha extret la distribució condicionada d'una variable $Y$ per a un grup concret $X = a$, i s'han obtingut les dades següents:

La mida del grup és $N_{|x=a} = 20$.

La suma dels valors és $\sum f_{j|a} \cdot y_j = 160$.

La suma dels quadrats és $\sum f_{j|a} \cdot y_j^2 = 1400$.

Calcula la variància condicionada $\sigma^2_{Y|X=a}$.

S'analitza el nombre de faltes d'ortografia ($Y$) en un dictat segons el curs ($X$). S'extreuen les dues distribucions condicionades per a $X=3$ i $X=4$:

Distribució $Y | X=3$:

Valors $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Freqüències: $2, 5, 2, 1$

Distribució $Y | X=4$:

Valors $y_j$: $0, 1, 2, 3$

Freqüències: $5, 3, 2, 0$

Calcula la mitjana de faltes a cada curs ($\bar{y}_{|x=3}$ i $\bar{y}_{|x=4}$) i indica en quin curs es cometen, de mitjana, menys faltes.

Donada la distribució de la variable $X$ condicionada a $Y = 10$:

$X | Y = 10$	$2$	$4$	$6$
$f_{i|10}$	$3$	$5$	$2$

Sabent que la mitjana condicionada és $\bar{x}_{|y=10} = 3,8$, calcula la desviació típica condicionada $\sigma_{X|Y=10}$.

En una taula de doble entrada es tenen les freqüències relatives condicionades següents per a la variable $Y$ respecte de dos valors de $X$:

Per a $X = 1$: $h_{1|1} = 0,2$ ; $h_{2|1} = 0,8$

Per a $X = 2$: $h_{1|2} = 0,5$ ; $h_{2|2} = 0,5$

Raona si les variables $X$ i $Y$ són estadísticament independents o dependents basant-te exclusivament en aquestes dades.

En una enquesta sobre hàbits digitals realitzada en un institut, s'analitza la relació entre el curs escolar ($X$) i les hores setmanals dedicades a jugar a videojocs ($Y$). Les dades de $100$ alumnes es recullen a la taula següent:

Curs ($X$) \ Hores ($Y$)	$5\text{ h}$	$10\text{ h}$	$15\text{ h}$
4t d'ESO ($X=0$)	$10$	$25$	$15$
1r de Batxillerat ($X=1$)	$5$	$20$	$25$

La Lucía vol calcular la mitjana d'hores setmanals condicionada a cursar 1r de Batxillerat (és a dir, $\bar{y}_{|X=1}$) i fa l'operació següent a la seva llibreta:

$$\bar{y}_{|X=1} = \frac{5 \cdot 5 + 10 \cdot 20 + 15 \cdot 25}{100} = \frac{25 + 200 + 375}{100} = \frac{600}{100} = 6\text{ hores}$$

La Lucía conclou que l'alumnat de 1r de Batxillerat juga de mitjana $6$ hores a la setmana.

1. a) Sense fer càlculs complexos, raona per què un resultat de $6$ hores resulta incoherent observant únicament els valors que pren $Y$ ($5, 10$ i $15$) i les freqüències de la fila de 1r de Batxillerat.
2. b) Identifica l'error conceptual que ha comès la Lucía al denominador de la seva fórmula en calcular una distribució condicionada.
3. c) Corregeix el procediment i troba el valor real de la mitjana condicionada $\bar{y}_{|X=1}$.

A partir d'una mostra de $200$ persones extreta de l'Enquesta sobre Equipament i Ús de Tecnologies d'Informació a les Llars (INE), s'analitza el nombre de compres per internet realitzades durant l'últim mes ($Y$: $0, 2$ o $5$ compres) segons el grup d'edat ($X$: grup jove d'$18\text{ a }35$ anys [$X=1$] i grup sènior de més de $65$ anys [$X=2$]):

• Grup jove ($X=1$, $100$ persones): $10$ fan $0$ compres, $40$ fan $2$ compres i $50$ fan $5$ compres.

• Grup sènior ($X=2$, $100$ persones): $70$ fan $0$ compres, $25$ fan $2$ compres i $5$ fan $5$ compres.

1. a) Estima: Abans de fer cap càlcul numèric, observa el repartiment de freqüències de cada subgrup. Estima de manera aproximada entre quins valors s'ha de trobar la mitjana de compres de cada grup (per exemple, estarà per sota o per sobre de $2$?) i argumenta en quin dels dos grups les dades estan visiblement més concentrades al voltant del zero.
2. b) Comprova: Calcula la mitjana de compres condicionada a ser jove ($\bar{y}_{|X=1}$) i la mitjana condicionada a ser sènior ($\bar{y}_{|X=2}$). Comprova si els valors obtinguts confirmen la teva estimació prèvia.
3. c) En vista d'ambdues distribucions condicionades, raona si el nombre de compres realitzades per internet és independent de l'edat en aquesta mostra.

En un estudi de nutrició es relaciona el contingut de carbohidrats en grams ($X$) i el contingut de proteïnes en grams ($Y$) de diverses barretes energètiques. Els resultats s'agrupen en la taula següent:

$X \setminus Y$	$5$	$10$	$15$
$20$	$8$	$12$	$0$
$30$	$2$	$15$	$5$
$40$	$0$	$4$	$14$

Calcula la mitjana i la desviació típica del contingut de proteïnes per a aquelles barretes que tenen exactament $30\text{ g}$ de carbohidrats (distribució $Y|X=30$).

La Direcció General de Trànsit ha recopilat dades sobre l'edat dels conductors ($X$, en anys) i el nombre de multes rebudes durant l'últim any ($Y$):

$X \setminus Y$	$0$	$1$	$2$
$[18, 30)$	$15$	$25$	$10$
$[30, 50)$	$40$	$15$	$5$
$[50, 70)$	$35$	$5$	$0$

Utilitzant la marca de classe per a la variable $X$, calcula l'edat mitjana dels conductors que han rebut exactament $1$ multa durant l'últim any ($\bar{x}_{|y=1}$).

En una explotació agrícola s'analitza la quantitat de fertilitzant aplicat per hectàrea ($X$, en desenes de kg) i la producció obtinguda ($Y$, en tones).

$X \setminus Y$	$2$	$4$	$6$
$1$	$5$	$1$	$0$
$2$	$2$	$8$	$2$
$3$	$0$	$3$	$9$

Calcula la variància de la producció condicionada al fet que s'han aplicat $20\text{ kg}$ de fertilitzant ($\sigma^2_{Y|X=2}$).

Es fa una enquesta en un centre escolar preguntant el gènere ($X$: $1=\text{Noi}$, $2=\text{Noia}$) i la xarxa social preferida ($Y$: $1=\text{TikTok}$, $2=\text{Instagram}$, $3=\text{BeReal}$).

$X \setminus Y$	$1$	$2$	$3$
$1$	$30$	$20$	$10$
$2$	$45$	$30$	$15$

Calcula les distribucions de freqüències relatives condicionades $Y|X=1$ i $Y|X=2$. A la vista dels resultats, són independents el gènere i la xarxa social preferida en aquesta mostra?

En un estudi sobre videojocs, es relaciona el nombre d'hores jugades a la setmana ($X$) amb el nivell assolit en el joc ($Y$). Per al grup de jugadors que dediquen $10$ hores ($X=10$), es té la distribució incompleta següent:

$Y | X = 10$	$5$	$15$	$25$
$f_{j|10}$	$4$	$k$	$2$

Sabent que el nivell mitjà assolit per aquest grup és $\bar{y}_{|x=10} = 13$, planteja una equació i determina el valor de la freqüència absoluta desconeguda $k$.

En una fàbrica, dues màquines diferents ($X=1$ i $X=2$) produeixen el mateix tipus de peça. S'analitza el nombre de defectes per lot ($Y$).

Per a la Màquina 1 ($X=1$): $\bar{y}_{|x=1} = 2,5$ defectes, $\sigma_{Y|X=1} = 0,5$ defectes.

Per a la Màquina 2 ($X=2$): $\bar{y}_{|x=2} = 8,0$ defectes, $\sigma_{Y|X=2} = 1,2$ defectes.

Calcula el coeficient de variació condicionat per a cada màquina ($CV = \frac{\sigma}{|\bar{y}|}$) i indica quina màquina té una producció més homogènia quant al nombre de defectes.

El diagrama de bombolles següent representa la distribució conjunta de dues variables discretes $X$ i $Y$. La mida de la bombolla i el text adjacent indiquen la freqüència absoluta conjunta $f_{ij}$ de cada parell de valors $(x_i, y_j)$.

Extreu la taula de freqüències de la distribució de $X$ condicionada a $Y = 20$ i calcula la seva mitjana aritmètica $\bar{x}_{|y=20}$.

En una estació meteorològica es registra la velocitat màxima del vent ($X$, en km/h) i la humitat relativa ($Y$, en %). Les dades s'agrupen en intervals bidimensionals:

$X \setminus Y$	$[40, 60)$	$[60, 80)$	$[80, 100)$
$[0, 20)$	$2$	$10$	$18$
$[20, 40)$	$5$	$15$	$6$
$[40, 60)$	$12$	$4$	$0$

Utilitzant les marques de classe, calcula la humitat relativa mitjana aquells dies en què la velocitat del vent va estar compresa entre $40$ i $60\text{ km/h}$ ($\bar{y}_{|x \in [40, 60)}$).

El Consorci de Transports analitza el nivell de satisfacció dels usuaris amb el servei d'autobusos interurbans ($Y$: $1 =\text{ Baix}$, $2 =\text{ Mitjà}$, $3 =\text{ Alt}$) en funció del tipus de títol de transport que utilitzen ($X$: $1 =\text{ Abonament Jove}$, $2 =\text{ Bitllet Senzill}$). La mostra de $300$ viatgers ofereix les dades següents:

Títol ($X$) \ Satisfacció ($Y$)	$1$ (Baix)	$2$ (Mitjà)	$3$ (Alt)	Total
$X=1$ (Abonament Jove)	$20$	$50$	$30$	$100$
$X=2$ (Bitllet Senzill)	$40$	$100$	$60$	$200$
Total	$60$	$150$	$90$	$300$

Per esbrinar si la satisfacció amb el servei depèn del títol de transport utilitzat, dos tècnics plantegen estratègies diferents:

• Mètode de la Sofía: Calcula la mitjana de satisfacció condicionada a cada fila ($\bar{y}_{|X=1}$ i $\bar{y}_{|X=2}$) i les compara.

• Mètode del Mateo: Calcula la distribució de freqüències relatives condicionades de cada fila (és a dir, el percentatge d'usuaris amb nivell $1, 2$ i $3$ dins de cada tipus de bitllet) i les compara entre si i amb la distribució marginal de $Y$.

1. a) Aplica el mètode de la Sofía calculant ambdues mitjanes condicionades.
2. b) Aplica el mètode del Mateo obtenint els percentatges de cada fila.
3. c) Tria el mètode: Tot i que en aquest cas ambdós mètodes porten a una conclusió compatible, justifica quin dels dos mètodes és teòricament l'únic rigorós per demostrar la independència estadística entre variables i quina limitació presenta l'altre mètode (pensa si dues distribucions amb freqüències molt diferents podrien arribar a tenir per casualitat la mateixa mitjana).

El cos tècnic d'un equip de bàsquet de la Lliga LEB Or registra en $50$ partits dues variables: el nombre de triples que llança el seu base titular en un partit ($X$, que pren els valors $2$ o $6$ intents) i el nombre de triples que encistella ($Y$, que pren els valors $1$ o $3$ encerts). La taula de contingència de freqüències absolutes és la següent:

$X \setminus Y$	$1$	$3$
$2$	$f_{11}$	$f_{12}$
$6$	$f_{21}$	$f_{22}$

Es disposa de la següent informació estadística sobre el rendiment del jugador:

1. Va disputar exactament $20$ partits en què va llançar $2$ triples i $30$ partits en què va llançar $6$ triples.

2. La mitjana de triples anotats condicionada a haver llançat $2$ triples va ser $\bar{y}_{|X=2} = 1,4$.

3. La mitjana de triples anotats condicionada a haver llançat $6$ triples va ser $\bar{y}_{|X=6} = 2,2$.

1. a) Planteja un sistema d'equacions per a la primera fila i un altre per a la segona fila, i calcula el valor de les quatre freqüències desconegudes ($f_{11}, f_{12}, f_{21}$ i $f_{22}$).
2. b) Utilitzant exclusivament les mitjanes condicionades donades i les mides de cada subgrup, calcula la mitjana total de triples encistellats ($\bar{y}$) en els $50$ partits sense necessitat de sumar casella per casella.

Donada la taula de contingència següent amb dues freqüències absolutes desconegudes, $a$ i $b$:

$X \setminus Y$	$2$	$6$
$10$	$4$	$a$
$20$	$b$	$2$

Es sap que la mitjana de $Y$ condicionada a $X=10$ és $\bar{y}_{|x=10} = 5$, i que la mitjana de $X$ condicionada a $Y=2$ és $\bar{x}_{|y=2} = 16$.

Planteja un sistema d'equacions i determina els valors de les freqüències $a$ i $b$.

En un hospital es prova un tractament nou. La variable $X$ indica el tractament ($0=\text{Estàndard}$, $1=\text{Nou}$) i la variable $Y$ indica el resultat ($0=\text{No curat}$, $1=\text{Curat}$). Els pacients es divideixen en dos grups de risc, i formen dues distribucions condicionades:

Grup de Risc Baix:

Tractament Estàndard: $10$ curats de $50$ pacients.

Tractament Nou: $2$ curats de $10$ pacients.

Grup de Risc Alt:

Tractament Estàndard: $6$ curats de $10$ pacients.

Tractament Nou: $25$ curats de $50$ pacients.

Calcula el percentatge de curació (que equival a la mitjana $\bar{y}$) per a cada tractament dins de cada grup de risc. Després, agrupa tots els pacients i calcula el percentatge de curació global per a cada tractament. Quin tractament sembla millor en els grups separats i quin sembla millor globalment? (Aquest fenomen es coneix com la Paradoxa de Simpson).

En un estudi estadístic sobre la variable $X$ (categoria professional) i $Y$ (salari en milers d'euros), es tenen tres categories ($X=1, 2, 3$). Es coneixen les dades següents de les distribucions condicionades $Y|X=x_i$:

Categoria 1: $N_1 = 10$, $\bar{y}_{|x=1} = 20$, $\sigma^2_{Y|X=1} = 4$

Categoria 2: $N_2 = 20$, $\bar{y}_{|x=2} = 30$, $\sigma^2_{Y|X=2} = 9$

Categoria 3: $N_3 = 10$, $\bar{y}_{|x=3} = 40$, $\sigma^2_{Y|X=3} = 4$

Calcula primer la mitjana global marginal $\bar{y}$. A continuació, calcula la variància marginal $\sigma_Y^2$ utilitzant la fórmula de descomposició de la variància (o calculant la suma total de quadrats a partir de les dades donades).

Una distribució bidimensional teòrica de freqüències relatives conjuntes (probabilitats) ve donada per l'expressió $h_{ij} = k \cdot (x_i + y_j)$, on $X$ pren els valors $\{1, 2\}$ i $Y$ pren els valors $\{1, 2, 3\}$.

Construeix la taula de doble entrada en funció de $k$. Sabent que la suma de totes les freqüències relatives ha de ser $1$, troba el valor de $k$. Posteriorment, calcula la mitjana de la distribució condicionada $X|Y=2$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un analista financer estudia la relació entre el nivell de risc d'un fons d'inversió ($X$, puntuat de $1$ a $3$) i la seva rendibilitat anual ($Y$, en %).

$X \setminus Y$	$2$	$6$	$10$
$1$	$10$	$10$	$0$
$2$	$5$	$20$	$5$
$3$	$0$	$5$	$15$

L'analista defineix la «ràtio de rendiment» d'un nivell de risc com el quocient entre la seva rendibilitat mitjana condicionada i la seva desviació típica condicionada: $R_i = \frac{\bar{y}_{|x=i}}{\sigma_{Y|X=i}}$.

Calcula aquesta ràtio per als nivells de risc $X=2$ i $X=3$. Quin nivell de risc ofereix una millor ràtio segons aquest criteri?

Es vol reconstruir una taula de contingència $2 \times 2$ de freqüències absolutes $f_{ij}$ per a les variables $X \in \{0, 1\}$ i $Y \in \{0, 1\}$. Es disposa de la informació següent sobre les distribucions marginals i condicionades:

• Marginal de $X$: $N_{x=0} = 30$, $N_{x=1} = 20$.

• Marginal de $Y$: $N_{y=0} = 25$, $N_{y=1} = 25$.

• Mitjana condicionada: $\bar{y}_{|x=0} = 0,3$ (recorda que en prendre $Y$ valors $0$ i $1$, la mitjana coincideix amb la proporció d'uns).

Calcula les quatre freqüències conjuntes $f_{11}, f_{12}, f_{21}, f_{22}$ i Construeix la taula de doble entrada completa.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En un estudi de biologia marina es relaciona la profunditat a la qual habita una espècie ($X$, en metres) amb la seva longitud ($Y$, en cm). Les dades s'agrupen en intervals de diferent amplitud:

$X \setminus Y$	$[0, 10)$	$[10, 30)$	$[30, 70)$
$[0, 50)$	$24$	$10$	$2$
$[50, 150)$	$6$	$18$	$16$

Utilitzant les marques de classe, calcula la variància de la longitud per als espècimens que habiten a la zona profunda ($X \in [50, 150)$), és a dir, $\sigma^2_{Y|X \in [50, 150)}$.

Demostra numèricament una propietat fonamental de la independència estadística. Donada la taula següent on $X$ i $Y$ són independents (les seves freqüències relatives conjuntes són el producte de les marginals):

$X \setminus Y$	$2$	$4$	Total
$1$	$10$	$30$	$40$
$2$	$15$	$45$	$60$
Total	$25$	$75$	$100$

Calcula la mitjana marginal $\bar{y}$ i les mitjanes condicionades $\bar{y}_{|x=1}$ i $\bar{y}_{|x=2}$. Comprova que, en ser independents, es compleix la igualtat $\bar{y} = \bar{y}_{|x=1} = \bar{y}_{|x=2}$.

El Servei de Salut d'una comunitat autònoma analitza l'eficàcia de dos tractaments ($A$ i $B$) enfront d'una afecció respiratòria estacional. La variable $Y$ indica el resultat clínic ($1 =\text{ Curat}$, $0 =\text{ No curat}$). L'estudi s'estratifica en dos grups de població segons l'edat (Joves i Grans), obtenint els resultats següents:

• Grup de pacients joves ($120$ persones):

• Amb el Tractament $A$: de $100$ tractats, se'n curen $80$.

• Amb el Tractament $B$: de $20$ tractats, se'n curen $18$.

• Grup de pacients grans ($300$ persones):

• Amb el Tractament $A$: de $100$ tractats, se'n curen $20$.

• Amb el Tractament $B$: de $200$ tractats, se'n curen $50$.

1. a) Per al grup de joves, calcula la mitjana de curació condicionada al tractament $A$ ($\bar{y}_{|\text{Jove}, A}$) i al tractament $B$ ($\bar{y}_{|\text{Jove}, B}$). Fes el mateix per al grup de grans. Quin tractament obté millor taxa d'èxit en cadascun dels dos grups per separat?
2. b) Agrupa les dades sumant les persones d'ambdós grups d'edat per construir la taula global de doble entrada entre Tractament ($A$ o $B$) i Resultat ($0$ o $1$). Calcula la mitjana global de curació per a cada tractament ($\bar{y}_{|A}$ i $\bar{y}_{|B}$).
3. c) Compara els resultats obtinguts a l'apartat (a) amb els de l'apartat (b). Quin fenomen paradoxal observes? Recolzant-te en el concepte de distribució condicionada i en les mides dels subgrups als quals es va administrar cada tractament, explica per què es produeix aquesta aparent contradicció (Paradoxa de Simpson) i raona quina recomanació clínica fonamentada s'hauria de donar.

A partir d'una mostra representativa de $200$ persones ocupades en el sector serveis a Espanya, un estudi sociològic analitza la relació entre la modalitat de jornada laboral ($X$: $1 =\text{ Presencial}$, $2 =\text{ Teletreball}$) i les hores setmanals dedicades a la llar a la cura de familiars i tasques domèstiques ($Y$: $5, 15$ o $25\text{ hores}$). Se sap que $120$ persones treballen de manera presencial i $80$ en teletreball.

En el grup de treball presencial ($X=1$), la distribució d'hores dedicades és la següent: $36$ persones hi dediquen $5\text{ h}$, $60$ hi dediquen $15\text{ h}$ i $24$ hi dediquen $25\text{ h}$.

1. a) Model sota hipòtesi d'independència: Si la modalitat laboral i les hores de dedicació a la llar fossin variables estadísticament independents, quantes persones del grup de teletreball ($N_{|X=2} = 80$) haurien de registrar exactament $5, 15$ i $25$ hores domèstiques? Justifica com obtens aquestes freqüències esperades a partir de les freqüències relatives del grup presencial.
2. b) Dades reals i càlcul: Les dades reals recollides a l'enquesta per al grup de teletreball ($X=2$) van resultar ser: $8$ persones hi dediquen $5\text{ h}$, $32$ persones hi dediquen $15\text{ h}$ i $40$ persones hi dediquen $25\text{ h}$. Calcula la mitjana i la variància de la distribució d'hores condicionada a cada modalitat: $(\bar{y}_{|X=1}, \sigma^2_{Y|X=1})$ i $(\bar{y}_{|X=2}, \sigma^2_{Y|X=2})$.
3. c) Interpretació sociològica i estadística: En vista dels resultats de l'apartat (a) i dels paràmetres calculats a l'apartat (b), conclou raonadament si les variables són dependents o independents. Interpreta què revela el canvi en la distribució condicionada sobre l'impacte del teletreball en l'assumpció de càrregues domèstiques.