Exercicis: Variància i desviació típica

Calcula la variància i la desviació típica del conjunt de dades següent, corresponents a les edats d'un grup de cinc amics: $15, 16, 15, 17, 16$.

En una enquesta sobre el nombre de mascotes per llar, s'han obtingut els resultats següents: $0$ mascotes (4 llars), $1$ mascota (5 llars), $2$ mascotes (1 llar). Calcula la variància d'aquesta distribució.

Dos estudiants tenen les notes següents en l'assignatura de matemàtiques:

• Estudiant A: $6, 7, 6, 8, 7$

• Estudiant B: $4, 9, 5, 10, 6$

Sense necessitat de fer càlculs complexos, quin dels dos estudiants creus que té una desviació típica més gran? Confirma la teva resposta calculant la desviació típica de tots dos.

En un estudi estadístic amb $N = 40$ dades, es sap que la mitjana aritmètica és $\bar{x} = 5,2$ i que la suma dels quadrats de totes les dades és $\sum x_i^2 = 1250$. Utilitzant la fórmula abreujada, calcula la variància i la desviació típica.

La desviació típica de les alçades d'un grup d'arbres d'un viver és de $12\text{ cm}$. Si es sap que d'aquí a un any tots els arbres hauran crescut exactament $15\text{ cm}$, quina serà la nova desviació típica de les seves alçades? Justifica la teva resposta utilitzant les propietats de les mesures de dispersió.

En una empresa tecnològica, la variància dels salaris mensuals dels seus empleats és de $40\,000\text{ €}^2$. Si la direcció decideix augmentar tots els salaris un $5\%$ (és a dir, multiplicar-los per $1,05$), quina serà la nova variància dels salaris?

En una classe de 4t d'ESO, la nota mitjana en un examen d'història ha estat de $6,5$ punts i el coeficient de variació és del $20\%$. A partir d'aquestes dades, calcula la variància de les notes de la classe.

Un conjunt de dades d'un experiment informàtic està format exclusivament per $20$ zeros i $30$ uns. Calcula la mitjana i la variància d'aquest conjunt de dades.

En Lucas vol calcular la variància de les temperatures màximes registrades durant quatre dies a la seva localitat: $18\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $20\text{ }^\circ\mathrm{C}$, $22\text{ }^\circ\mathrm{C}$ i $24\text{ }^\circ\mathrm{C}$. Primer troba la mitjana, que és $\bar{x} = 21\text{ }^\circ\mathrm{C}$. A continuació, per mesurar la dispersió, calcula les distàncies de cada dada a la mitjana i en fa la mitjana directament:

En Lucas conclou: «Com que el resultat és $0$, la variància és $0\text{ }^\circ\mathrm{C}^2$ i vol dir que no hi ha cap dispersió; tots els dies va fer la mateixa temperatura».

1. a) Explica quin error conceptual ha comès en Lucas i per què la suma de les desviacions respecte a la mitjana sempre donarà zero en qualsevol conjunt de dades.
2. b) Corregeix el seu procediment calculant la variància ($\sigma^2$) i la desviació típica ($\sigma$) correctes per a aquests quatre dies, indicant clarament les seves unitats.

Una empresa municipal de transport públic (EMT) analitza els temps d'espera (en minuts) dels passatgers en dues línies d'autobús urbà durant cinc serveis:

• Línia A: $8, 9, 10, 11, 12$ minuts.

• Línia B: $2, 6, 10, 14, 18$ minuts.

Totes dues línies tenen un temps mitjà d'espera de $\bar{x} = 10$ minuts.

1. a) Abans de fer cap càlcul numèric de dispersió, observa els dos conjunts de dades i estima raonadament quina de les dues línies tindrà una desviació típica més gran. És possible que la desviació típica de la Línia A sigui més gran que $2$ minuts? Justifica la teva resposta considerant què mesura la desviació típica.
2. b) Comprova la teva estimació calculant la variància i la desviació típica exactes de cada línia.
3. c) A partir dels resultats, explica als usuaris quina línia ofereix un servei més regular i predictible.

La taula següent mostra el temps, en minuts, que triguen els empleats d'una fàbrica a arribar al seu lloc de treball:

• $[0, 10)$: $12$ empleats

• $[10, 20)$: $18$ empleats

• $[20, 30)$: $14$ empleats

• $[30, 40)$: $6$ empleats

Calcula la variància i la desviació típica del temps de trajecte utilitzant les marques de classe.

Una màquina envasadora de cafè ha d'omplir paquets amb un pes objectiu de $250\text{ g}$. En un control de qualitat s'ha pesat una mostra de $50$ paquets, i s'ha obtingut una mitjana de $252\text{ g}$ i una suma dels quadrats dels pesos de $\sum x_i^2 = 3\,175\,450$. Calcula el coeficient de variació i determina si el procés és acceptable, sabent que l'estàndard de qualitat exigeix que el $CV < 1,5\%$.

Les puntuacions de quatre participants en un concurs de talents són $12, 15, x$ i $y$. Es sap que la mitjana aritmètica de les quatre puntuacions és $14$ i que $x = y$. Troba el valor de les puntuacions desconegudes i calcula la desviació típica del conjunt.

En un equip de bàsquet, l'alçada mitjana dels jugadors és de $1,95\text{ m}$ amb una desviació típica de $0,08\text{ m}$. D'altra banda, en un equip de gimnàstica rítmica, l'alçada mitjana és de $1,65\text{ m}$ amb una desviació típica de $0,07\text{ m}$. Quin equip presenta una alçada més dispersa en termes relatius? Justifica la teva resposta numèricament.

Una acadèmia d'idiomes té dos grups de nivell B2. El grup de matí té $20$ alumnes amb una nota mitjana de $7$ i una variància de $1,5$. El grup de tarda té $30$ alumnes amb la mateixa nota mitjana de $7$, però amb una variància de $2,5$. Calcula la variància global dels $50$ alumnes de nivell B2 combinats.

El gràfic de barres següent representa el nombre de llibres llegits durant l'estiu per un grup d'estudiants.

A partir del gràfic, extreu les freqüències corresponents a cada valor i calcula la desviació típica del nombre de llibres llegits.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

S'ha realitzat un experiment biològic mesurant la longitud d'unes fulles, i s'ha obtingut una variable $X$ amb mitjana $\bar{x} = 12\text{ cm}$ i desviació típica $\sigma = 4\text{ cm}$. Per facilitar els càlculs en un programari, es defineix una nova variable "tipificada" $Z = \frac{X - 12}{4}$. Demostra numèricament o aplicant les propietats de la mitjana i la variància quins són els valors de la mitjana i la variància de la nova variable $Z$.

Les rendibilitats mensuals d'una cartera d'inversió durant l'últim semestre han estat: $-2\%, 3\%, 1\%, -1\%, 4\%, 1\%$. Calcula la variància i la desviació típica d'aquestes rendibilitats expressades com a percentatge.

Per calcular la variància d'un conjunt de dades, es poden utilitzar dues fórmules algebraicament equivalents:

• Mètode 1 (fórmula directa): $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}$

• Mètode 2 (fórmula abreujada): $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{N} - \bar{x}^2$

Es presenten dues situacions de càlcul a l'aula:

• Situació A: Tens $5$ notes enteres ($5, 6, 7, 8, 9$) la mitjana de les quals és exactament $\bar{x} = 7$.

• Situació B: Un programa estadístic ha processat les edats dels $40$ participants d'una cursa popular, la mitjana dels quals és $\bar{x} = 34,6\text{ anys}$, i et proporciona directament els sumatoris ja calculats: $\sum x_i = 1384$ i $\sum x_i^2 = 49\,820$.

1. a) Analitza els avantatges i els inconvenients de cada mètode i justifica quin és més ràpid i convenient d'aplicar a la Situació A i quin a la Situació B (valora aspectes com l'arrossegament de decimals i el nombre d'operacions).
2. b) Aplica el mètode triat a la Situació B per calcular la variància i la desviació típica de les edats de la cursa (arrodoneix a dues xifres decimals).

A partir dels registres històrics de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET), es comparen les precipitacions anuals acumulades (en litres per metre quadrat, $\text{mm}$) durant una dècada en dues capitals de província espanyoles:

• Bilbao: precipitació mitjana anual $\bar{x}_1 = 1130\text{ mm}$ amb una desviació típica $\sigma_1 = 180\text{ mm}$.

• Almeria: precipitació mitjana anual $\bar{x}_2 = 200\text{ mm}$ amb una desviació típica $\sigma_2 = 70\text{ mm}$.

1. a) Si una persona es fixa únicament en el valor absolut de la desviació típica, a quina ciutat afirmaria que el volum de pluja anual varia més d'un any a un altre?
2. b) Explica per què comparar directament les desviacions típiques en aquest cas no és adequat si volem valorar la regularitat relativa del clima.
3. c) Calcula el Coeficient de Variació ($CV$) de totes dues ciutats i interpreta el resultat: a quina de les dues ciutats les precipitacions són proporcionalment més erràtiques i impredictibles respecte al seu clima habitual?

En una classe de $25$ alumnes, la nota mitjana en un examen de física és de $6,2$ i la desviació típica és de $1,4$. En revisar els exàmens, el professor es dona compte que la nota d'un alumne, que era un $2$, s'havia anotat per error ja que aquell alumne no es va presentar. Si s'elimina aquesta nota errònia del conjunt de dades, quina serà la nova mitjana i la nova desviació típica dels $24$ alumnes restants?

Es combinen dos grups d'estudiants per formar una sola classe per a una excursió. El Grup 1 té $15$ estudiants amb una alçada mitjana de $160\text{ cm}$ i una variància de $25\text{ cm}^2$. El Grup 2 té $25$ estudiants amb una alçada mitjana de $168\text{ cm}$ i una variància de $16\text{ cm}^2$. Calcula la variància de l'alçada de la classe completa formada pels $40$ estudiants.

En la taula de freqüències agrupades en intervals següent falten dues dades ($f_1$ i $f_2$):

• $[0, 20)$: $f_1$

• $[20, 40)$: $10$

• $[40, 60)$: $f_2$

• $[60, 80)$: $5$

Es sap que el nombre total de dades és $N = 40$ i que la mitjana aritmètica és $\bar{x} = 37,5$. Calcula els valors de les freqüències $f_1$ i $f_2$, i posteriorment troba la variància de la distribució completa.

Demostra que la variància dels $n$ primers nombres naturals $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ ve donada per la fórmula $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$. Aplica aquesta fórmula per calcular ràpidament la desviació típica dels nombres enters del $1$ al $25$.

(Nota: pots utilitzar les sumes conegudes $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ i $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$).

Es tenen dos conjunts de dades $A$ i $B$. El conjunt $A$ té $N_A$ elements, mitjana $10$ i variància $4$. El conjunt $B$ té $N_B$ elements, mitjana $10$ i variància $9$. Si en ajuntar tots dos conjunts en un sol grup la variància global resulta ser $7$, determina la proporció exacta entre el nombre d'elements de $A$ i de $B$ (és a dir, calcula el valor de la fracció $\frac{N_A}{N_B}$).

Troba un conjunt format per exactament $4$ nombres enters positius (que es poden repetir) que compleixin simultàniament les tres condicions següents:

• La seva mitjana aritmètica és $5$.

• La seva mediana és $4,5$.

• La seva variància és $4,5$.

Un investigador mesura el radi $r$ d'una mostra de $10$ esferes metàl·liques, i obté una mitjana de $\bar{r} = 5\text{ cm}$ i una variància de $\sigma_r^2 = 2\text{ cm}^2$. Necessita conèixer l'àrea superficial mitjana d'aquestes esferes per calcular la quantitat de pintura necessària. Sabent que l'àrea d'una esfera és $A = 4\pi r^2$, i utilitzant la definició de variància $\sigma_r^2 = \frac{\sum r_i^2}{N} - \bar{r}^2$, calcula la mitjana aritmètica de les àrees superficials de les $10$ esferes.

Dada una distribució de dades $x_1, x_2, \dots, x_N$, es defineix la funció $E(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - k)^2$, que representa l'error quadràtic mitjà respecte a un valor constant $k$. Desenvolupa l'expressió algebraica i demostra que el valor de $k$ que fa mínima aquesta funció és la mitjana aritmètica ($k = \bar{x}$), i que el valor mínim assolit per la funció coincideix exactament amb la variància $\sigma^2$.

Un orientador educatiu registra el temps setmanal (en hores enteres) dedicat a l'estudi a casa per un grup de $4$ alumnes de 4t d'ESO. Ha extraviat les fitxes individuals, però en el seu informe final va anotar amb certesa tres dades:

1. La mitjana del grup va ser exactament $\bar{x} = 6\text{ hores}$.

2. El rang o recorregut va ser de $4\text{ hores}$ (la diferència entre l'alumne que més hores va estudiar i el que menys va ser de $4$).

3. La desviació típica va ser exactament $\sigma = \sqrt{2}\text{ hores}$ (per tant, la variància és $\sigma^2 = 2\text{ hores}^2$).

1. a) Dedueix pas a pas quines van ser les hores dedicades per cadascun dels quatre estudiants, sabent que totes són nombres enters. (Pista: raona sobre els valors possibles de les desviacions $x_i - \bar{x}$ i la suma dels seus quadrats).
2. b) Comprova formalment que els quatre valors trobats compleixen la mitjana, el rang i la desviació típica requerits.

En una empresa de repartiment a Espanya que compta amb $30$ repartidors, el sou mitjà net mensual és de $\bar{x} = 1400\text{ \euro}$ i la desviació típica és de $\sigma = 160\text{ \euro}$. De cara al nou conveni laboral, s'estan debatent dues propostes d'increment retributiu:

• Proposta A (pujada fixa lineal): Augmentar $100\text{ \euro}$ al mes a tots i cadascun dels treballadors.

• Proposta B (pujada percentual): Aplicar un augment del $5\,\%$ al salari de cada treballador (cosa que equival a multiplicar cada sou per $1,05$).

Sense necessitat de conèixer els $30$ sous individuals:

1. a) Calcula la nova mitjana, la nova variància i la nova desviació típica de la plantilla sota la Proposta A i sota la Proposta B, justificant els teus resultats mitjançant les propietats de la translació i el canvi d'escala de la dispersió.
2. b) Calcula el Coeficient de Variació ($CV$) en la situació inicial i en cadascuna de les dues propostes.
3. c) Un representant sindical afirma: «La pujada fixa és més justa perquè no amplia la bretxa salarial absoluta, mentre que el percentatge fa que els sous se separin més». Justifica matemàticament aquesta afirmació analitzant com varien la desviació típica absoluta i la dispersió relativa en totes dues opcions.