Varianza y desviación típica
Dos estudiantes tienen la misma nota media en matemáticas: un $6{,8}$. Uno saca siempre notas parecidas (6, 7, 6, 7); el otro alterna sobresalientes y suspensos (2, 10, 3, 9,8). La media no distingue estas dos situaciones tan distintas: necesitas una medida de cuánto se alejan los datos de su media.
Qué mide la dispersión
Una primera idea sencilla es el rango (máximo menos mínimo), pero solo mira los dos extremos e ignora el resto de los datos. Para usarlos todos, se mide la distancia de cada dato a la media, $x_i - \bar{x}$, y se promedia.
Dos estudiantes tienen las siguientes notas en la asignatura de matemáticas: Estudiante A: $6, 7, 6, 8, 7$ Estudiante B: $4, 9, 5, 10, 6$ Sin necesidad de hacer cálculos…
Dos estudiantes tienen las siguientes notas en la asignatura de matemáticas:
-
Estudiante A: $6, 7, 6, 8, 7$
-
Estudiante B: $4, 9, 5, 10, 6$
Sin necesidad de hacer cálculos complejos, ¿cuál de los dos estudiantes crees que tiene mayor desviación típica? Confirma tu respuesta calculando la desviación típica de ambos.
Cálculo de la varianza
Con datos agrupados en intervalos se usan las marcas de clase $x_i$ y sus frecuencias: $\sigma^2\approx\sum f_i(x_i-\bar x)^2/N$. Es una estimación de la varianza original, porque no conocemos cada dato; no debe confundirse con la varianza exacta de una tabla de valores individuales con frecuencias.
Calcula la varianza y la desviación típica del siguiente conjunto de datos, correspondientes a las edades de un grupo de cinco amigos: $15, 16, 15, 17, 16$.
Calcula la varianza y la desviación típica del siguiente conjunto de datos, correspondientes a las edades de un grupo de cinco amigos: $15, 16, 15, 17, 16$.
En un estudio estadístico con $N = 40$ datos, se sabe que la media aritmética es $\bar{x} = 5,2$ y que la suma de los cuadrados de todos los datos es…
En un estudio estadístico con $N = 40$ datos, se sabe que la media aritmética es $\bar{x} = 5,2$ y que la suma de los cuadrados de todos los datos es $\sum x_i^2 = 1250$. Utilizando la fórmula abreviada, calcula la varianza y la desviación típica.
La siguiente tabla muestra el tiempo, en minutos, que tardan los empleados de una fábrica en llegar a su puesto de trabajo: $[0, 10)$: $12$ empleados $[10, 20)$: $18$…
La siguiente tabla muestra el tiempo, en minutos, que tardan los empleados de una fábrica en llegar a su puesto de trabajo:
-
$[0, 10)$: $12$ empleados
-
$[10, 20)$: $18$ empleados
-
$[20, 30)$: $14$ empleados
-
$[30, 40)$: $6$ empleados
Calcula la varianza y la desviación típica del tiempo de trayecto utilizando las marcas de clase.
Propiedades: traslaciones y cambios de escala
Combinar dos grupos en uno
Si conoces media y varianza de dos grupos por separado, puedes hallar la varianza del grupo total sin volver a todos los datos uno a uno, usando que $\sum x_i^2 = N(\sigma^2 + \bar{x}^2)$ en cada grupo y sumando.
La desviación típica de las alturas de un grupo de árboles de un vivero es de $12\text{ cm}$. Si se sabe que dentro de un año todos los árboles habrán crecido…
La desviación típica de las alturas de un grupo de árboles de un vivero es de $12\text{ cm}$. Si se sabe que dentro de un año todos los árboles habrán crecido exactamente $15\text{ cm}$, ¿cuál será la nueva desviación típica de sus alturas? Justifica tu respuesta utilizando las propiedades de las medidas de dispersión.
En una empresa tecnológica, la varianza de los salarios mensuales de sus empleados es de $40\,000\text{ €}^2$. Si la dirección decide aumentar todos los salarios un…
En una empresa tecnológica, la varianza de los salarios mensuales de sus empleados es de $40\,000\text{ €}^2$. Si la dirección decide aumentar todos los salarios un $5\%$ (es decir, multiplicarlos por $1,05$), ¿cuál será la nueva varianza de los salarios?
Una academia de idiomas tiene dos grupos de nivel B2. El grupo de mañana tiene $20$ alumnos con una nota media de $7$ y una varianza de $1,5$. El grupo de tarde tiene…
Una academia de idiomas tiene dos grupos de nivel B2. El grupo de mañana tiene $20$ alumnos con una nota media de $7$ y una varianza de $1,5$. El grupo de tarde tiene $30$ alumnos con la misma nota media de $7$, pero con una varianza de $2,5$. Calcula la varianza global de los $50$ alumnos de nivel B2 combinados.
Coeficiente de variación
¿Qué está más disperso: las alturas de un equipo de baloncesto ($\sigma = 8\,\text{cm}$) o las de un equipo de gimnasia ($\sigma = 7\,\text{cm}$)? No se puede comparar directamente si las medias son muy distintas ($1{,}95\,\text{m}$ frente a $1{,}65\,\text{m}$): hace falta relativizar.
En una clase de 4º ESO, la nota media en un examen de historia ha sido de $6,5$ puntos y el coeficiente de variación es del $20\%$. A partir de estos datos, calcula la…
En una clase de 4º ESO, la nota media en un examen de historia ha sido de $6,5$ puntos y el coeficiente de variación es del $20\%$. A partir de estos datos, calcula la varianza de las notas de la clase.
En un equipo de baloncesto, la altura media de los jugadores es de $1,95\text{ m}$ con una desviación típica de $0,08\text{ m}$. Por otro lado, en un equipo de gimnasia…
En un equipo de baloncesto, la altura media de los jugadores es de $1,95\text{ m}$ con una desviación típica de $0,08\text{ m}$. Por otro lado, en un equipo de gimnasia rítmica, la altura media es de $1,65\text{ m}$ con una desviación típica de $0,07\text{ m}$. ¿Qué equipo presenta una altura más dispersa en términos relativos? Justifica tu respuesta numéricamente.