En el apartado anterior calculaste combinaciones con la fórmula $C_{n,k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$. Esa misma cantidad tiene una notación propia, más compacta, que vas a usar sin parar a partir de ahora: el número combinatorio.
El número combinatorio
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Calcula el valor numérico de los siguientes números combinatorios aplicando su fórmula de definición: a) $\binom{9}{3}$ b) $\binom{15}{0}$ c) $\binom{8}{8}$ d)…
Calcula el valor numérico de los siguientes números combinatorios aplicando su fórmula de definición:
Hay valores de $\binom{n}{k}$ que conviene saber de memoria porque aparecen constantemente.
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Utilizando la propiedad de simetría de los números combinatorios, determina el valor numérico de $x$ (sabiendo que es distinto de 5) que cumple la siguiente igualdad:…
Utilizando la propiedad de simetría de los números combinatorios, determina el valor numérico de $x$ (sabiendo que es distinto de 5) que cumple la siguiente igualdad:
Ya viste que cada número del triángulo de Pascal es la suma de los dos de encima. Escrito con números combinatorios, esa observación es una propiedad con nombre propio.
Esta regla te permite sumar números combinatorios sin desarrollar ningún factorial, siempre que sean "vecinos" (mismo $n$, y los $k$ consecutivos).
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Halla el valor exacto de la siguiente suma sin necesidad de calcular cada número combinatorio de forma individual, aplicando las propiedades conocidas:…
Halla el valor exacto de la siguiente suma sin necesidad de calcular cada número combinatorio de forma individual, aplicando las propiedades conocidas:
Expresa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ como un único número combinatorio utilizando la relación de recurrencia (fórmula de Pascal) y, a continuación, calcula su…
Expresa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ como un único número combinatorio utilizando la relación de recurrencia (fórmula de Pascal) y, a continuación, calcula su valor numérico.
Profundización: El término general del binomio de Newton
Para desarrollar $(a+b)^n$ no siempre hace falta escribir todos los términos: si solo te interesa uno (por ejemplo, el que tiene $x^3$, o el que no tiene $x$), puedes calcularlo directamente.
Para encontrar el término independiente (el que no lleva $x$), se plantea que el exponente total de $x$ en ese término sea $0$ y se despeja $k$.
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Determina únicamente el coeficiente numérico que acompaña al término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x + 4)^5$.
Determina únicamente el coeficiente numérico que acompaña al término en $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x + 4)^5$.
Calcula y simplifica al máximo el cuarto término del desarrollo del binomio $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenando los términos según las potencias decrecientes de $x$.
Calcula y simplifica al máximo el cuarto término del desarrollo del binomio $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenando los términos según las potencias decrecientes de $x$.
Los números combinatorios también cuentan caminos. Si solo puedes moverte hacia la derecha o hacia arriba en una cuadrícula, cada camino mínimo de $A$ a $B$ es una secuencia de movimientos "derecha" (D) y "arriba" (A), y contar caminos es lo mismo que contar de cuántas formas se pueden colocar las letras D y A en esa secuencia: una permutación con repetición, que coincide con un número combinatorio.
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En un dispositivo de Galton utilizado para demostraciones de probabilidad, una bola cae a través de 6 niveles de clavos. En cada nivel, la bola choca contra un clavo y…
En un dispositivo de Galton utilizado para demostraciones de probabilidad, una bola cae a través de 6 niveles de clavos. En cada nivel, la bola choca contra un clavo y puede rebotar hacia la izquierda o hacia la derecha. Expresa mediante un número combinatorio la cantidad de caminos distintos que llevan al tercer compartimento desde la izquierda (considerando el compartimento situado más a la izquierda como el número cero) y calcula dicho valor.