Exercicis: Nombres combinatoris

Calcula el valor numèric dels següents nombres combinatoris aplicant la seva fórmula de definició:

1. a) $\binom{9}{3}$
2. b) $\binom{15}{0}$
3. c) $\binom{8}{8}$
4. d) $\binom{12}{10}$

Utilitzant la propietat de simetria dels nombres combinatoris, determina el valor numèric de $x$ (sabent que és diferent de 5) que compleix la següent igualtat:

$\binom{17}{5} = \binom{17}{x}$

Troba el valor exacte de la següent suma sense necessitat de calcular cada nombre combinatori de forma individual, aplicant les propietats conegudes:

$\binom{6}{0} + \binom{6}{1} + \binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6}$

Resol la següent equació, determinant el valor del nombre natural $x$:

$\binom{x}{2} = 28$

Desenvolupa l'expressió matemàtica $(2a + b)^4$ aplicant la fórmula del binomi de Newton.

Escriu els elements que componen la sisena fila del triangle de Pascal (o de Tartaglia), recordant que la primera fila correspon a $n=0$, i utilitza-la per desenvolupar el binomi $(x - 2)^5$.

Determina únicament el coeficient numèric que acompanya el terme en $x^3$ en el desenvolupament del binomi $(x + 4)^5$.

Expressa la suma $\binom{11}{4} + \binom{11}{5}$ com un únic nombre combinatori utilitzant la relació de recurrència (fórmula de Pascal) i, a continuació, calcula el seu valor numèric.

Durant una campanya de voluntariat ambiental al Parc Nacional de Doñana (Huelva), s'han de seleccionar 8 persones d'un grup de 10 aspirants per formar una quadrilla de control de senders. En Sergio, un dels participants, intenta esbrinar quantes quadrilles diferents es poden formar i escriu a la pissarra:

1. a) Localitza i explica l'error conceptual que ha comès en Sergio en aplicar la fórmula. Quin tipus d'agrupació combinatòria ha calculat en realitat en no incloure el terme $(10-8)!$ al denominador?
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la propietat de simetria $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ per justificar per què és molt més directe calcular $\binom{10}{2}$ i obtén el nombre real de quadrilles possibles.

En una classe de 4t d'ESO amb 25 estudiants es triaran 2 persones per representar-los al consell escolar del centre. La professora recorda que el nombre de parelles possibles es pot escriure com a $\binom{25}{2}$ o com a $\binom{25}{23}$. Per obtenir el resultat numèric, tres membres del grup proposen camins diferents:

• La Lucía proposa desenvolupar la fórmula factorial completa: $\frac{25!}{23! \cdot 2!}$ calculant tots els factorials fins a l'1 abans de simplificar.

• En Marcos proposa aplicar la propietat de simetria $\binom{25}{23} = \binom{25}{2}$ i simplificar la fracció $\frac{25 \cdot 24}{2 \cdot 1}$ abans de fer qualsevol producte.

• L'Alba proposa construir el triangle de Pascal fila per fila des de la fila 0 fins a la fila 25 per llegir directament la casella corresponent.

1. a) Compara les tres propostes analitzant-ne els avantatges i els inconvenients. Quin dels mètodes és el més eficient a la pràctica i quin resulta completament inadequat per a una prova escrita? Justifica la teva resposta.
2. b) Aplica el mètode més convenient per calcular el valor final i enuncia una regla senzilla sobre quan convé utilitzar la propietat de simetria dels nombres combinatoris.

En un laboratori de biotecnologia es disposa de 12 cepes bacterianes diferents. Per realitzar un assaig de resistència, s'ha de seleccionar una mostra composta exactament per 5 cepes. Expressa el nombre total de mostres possibles utilitzant la notació de nombres combinatoris i calcula el seu valor. Quantes d'aquestes mostres possibles inclouen una cepa específica que ja es sap que és resistent als antibiòtics?

Determina tots els valors naturals de $x$ que satisfan la següent equació combinatòria:

$\binom{20}{2x} = \binom{20}{x+2}$

Calcula i simplifica al màxim el quart terme del desenvolupament del binomi $(3x - \frac{y}{2})^7$, ordenant els termes segons les potències decreixents de $x$.

Simplifica la següent expressió algebraica expressant el resultat final com un polinomi dependent de $n$:

$\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}}$

En un dispositiu de Galton utilitzat per a demostracions de probabilitat, una bola cau a través de 6 nivells de claus. En cada nivell, la bola xoca contra un clau i pot rebotar cap a l'esquerra o cap a la dreta. Expressa mitjançant un nombre combinatori la quantitat de camins diferents que porten al tercer compartiment des de l'esquerra (considerant el compartiment situat més a l'esquerra com el nombre zero) i calcula aquest valor.

Una pizzeria ofereix una base estàndard de formatge i tomàquet a la qual es poden afegir fins a 8 ingredients extra diferents. Un client pot triar des de no afegir cap ingredient extra fins a afegir-los tots. Expressa el nombre total de combinacions de pizzes diferents que es poden demanar com una suma de nombres combinatoris i demostra numèricament que aquest valor coincideix amb $2^8$.

Desenvolupa completament i simplifica al màxim la següent expressió algebraica utilitzant el binomi de Newton:

$(x^2 - \frac{2}{x})^4$

Demostra, utilitzant la propietat de recurrència dels nombres combinatoris $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$, que la següent igualtat és certa sense necessitat de calcular el valor numèric de cada combinació:

$\binom{10}{4} + 2\binom{10}{5} + \binom{10}{6} = \binom{12}{6}$

Un restaurant tradicional de tapes a Logroño ofereix a la seva carta 8 racions de La Rioja diferents. Per als sopars de grup, han creat la promoció «Degustació al teu gust», que permet a la taula demanar qualsevol selecció d'aquestes 8 racions: des de demanar 0 racions (si només consumeixen beguda) fins a demanar les 8 racions, passant per combinacions d'1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7 racions diferents sense repetir-ne cap.

1. a) Abans de fer càlculs detallats, estima raonadament: el nombre total de comandes diferents possibles estarà més a prop de 50, de 250 o de 1000? Explica en què bases la teva estimació prèvia sense sumar terme a terme.
2. b) Aplica la propietat de la suma dels nombres combinatoris d'una fila del triangle de Pascal ($\binom{8}{0} + \binom{8}{1} + \dots + \binom{8}{8} = 2^8$) per obtenir el nombre exacte de comandes possibles.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial ha estat encertada. Si el restaurant exigeix que cada grup triï obligatòriament almenys una ració i decideix afegir 2 tapes noves a la carta (tenint-ne 10 en total), el nombre d'opcions disponibles es duplica o es quadruplica respecte al valor obtingut a l'apartat b? Justifica la teva deducció a partir de les propietats de les potències.

Un repartidor en bicicleta distribueix paquets al districte de l'Eixample de Barcelona, els carrers del qual formen una quadrícula regular. El ciclista ha de sortir de la central de missatgeria (punt $A$) i arribar al domicili de lliurament (punt $B$), situat a 4 carrers cap a l'est i 3 carrers cap al nord d'$A$. Per optimitzar la bateria, només es desplaça cap a l'est ($E$) o cap al nord ($N$) en trajectes de longitud mínima (7 trams de carrer en total).

1. a) Planteja mitjançant un nombre combinatori de la forma $\binom{m+p}{m}$ el total de rutes mínimes diferents que pot seguir el repartidor i calcula'n el valor numèric.
2. b) A causa de les obres de remodelació d'un carril bici, la cruïlla $C$, situada a 2 carrers a l'est i 1 carrer al nord d'$A$, està totalment tallada. Calcula quantes rutes mínimes van d'$A$ fins a $C$ i quantes van des de $C$ fins a la destinació final $B$.
3. c) Utilitzant els resultats anteriors, dedueix quantes rutes mínimes li queden disponibles al ciclista per anar d'$A$ a $B$ sense passar pel punt $C$ en obres. Explica el raonament que et permet resoldre-ho mitjançant una resta.

Troba el terme independent (és a dir, el terme que no depèn de la variable $x$) en el desenvolupament del binomi $(2x^2 - \frac{1}{x})^9$.

Demostra algebraicament, partint de la definició factorial $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, la validesa de la llei de recurrència del triangle de Pascal:

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$

Resol la següent equació combinatòria, determinant el valor del nombre natural $x$:

$\binom{x+1}{2} + \binom{x}{2} = 36$

Calcula el valor exacte de l'expressió $(\sqrt{5} + 2)^6 + (\sqrt{5} - 2)^6$. Aplica el desenvolupament del binomi de Newton i observa com els termes que contenen arrels d'índex senar s'anul·len entre si.

Un robot d'un magatzem logístic es desplaça per una xarxa de passadissos en forma de quadrícula des del punt d'origen $A(0,0)$ fins al punt de destí $B(6,4)$, movent-se únicament una passa cap a la dreta o una passa cap amunt en cada iteració. A causa de tasques de manteniment, el robot no pot passar pel node $C(3,2)$. Expressa el nombre de trajectòries vàlides utilitzant nombres combinatoris i calcula el resultat final.

En el desenvolupament del binomi $(a + b)^n$, es sap que els coeficients numèrics del quart i cinquè terme són exactament iguals. Determina el valor de l'exponent natural $n$.

Utilitza el desenvolupament del binomi de Newton avaluat en l'expressió $(1 - 1)^n$ per demostrar que la suma alternada dels elements de qualsevol fila del triangle de Pascal (per a $n > 0$) és sempre igual a zero:

$\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \dots + (-1)^n \binom{n}{n} = 0$

Una empresa de tecnologia necessita formar un equip de ciberseguretat de 5 membres, seleccionats completament a l'atzar entre una plantilla de 8 programadors i 6 analistes de sistemes. Calcula la probabilitat que l'equip resultant estigui format exactament per 3 programadors i 2 analistes. Expressa tant els casos favorables com els casos possibles mitjançant nombres combinatoris abans de donar la fracció irreductible resultant.

En una comarca rural de Castella i Lleó s'organitza un torneig escolar de voleibol durant el primer trimestre. El comitè d'esports estableix que a la fase prèvia tots els centres inscrits han de disputar exactament un partit contra cadascun dels altres equips (sistema de lliga a una sola volta). En finalitzar la fase regular, la federació certifica que s'han jugat exactament 45 partits en total.

1. a) Modela la situació plantejant una equació en la qual intervingui un nombre combinatori de la forma $\binom{n}{2}$ igualat al nombre total de partits, definint amb claredat què representa la incògnita $n$.
2. b) Aplica la fórmula del nombre combinatori per transformar la teva expressió en una equació de segon grau en forma general ($a \cdot n^2 + b \cdot n + c = 0$). Resol-la i interpreta el resultat en el context del problema, justificant per què has de descartar una de les dues solucions matemàtiques.
3. c) Si l'any que ve la campanya esportiva té èxit i s'inscriu el doble de centres educatius ($2n$), es jugarà exactament el doble de partits? Demostra la teva resposta calculant quants partits s'organitzarien amb el nou nombre de participants i reflexiona sobre el ritme de creixement de les combinacions enfront del creixement lineal.

En un hospital públic de la Comunitat de Madrid s'ha de constituir un comitè de guàrdia mèdica format per 5 professionals. Per seleccionar-los, es disposa d'un equip de guàrdia compost per 7 metgesses i 5 infermers (12 sanitaris en total).

1. a) La direcció del centre estableix que el comitè no pot ser exclusiu d'una sola categoria professional: ha de comptar com a mínim amb una metgessa i com a mínim amb un infermer. Explica detalladament per què resulta molt més àgil calcular el total de comitès possibles i restar-li els casos no permesos (mètode del complementari) que sumar cas per cas les opcions vàlides. Calcula el nombre de comitès permesos utilitzant aquest mètode.
2. b) Una de les 7 metgesses és la coordinadora general del servei. Ella observa que, en formar el comitè de 5 persones, només existeixen dues situacions excloents respecte a ella: o bé forma part obligatòria del comitè, o bé en queda exclosa per supervisar les urgències externes.

Relaciona aquest fet amb la regla de Pascal:

Explica què representa cadascun dels tres nombres combinatoris d'aquesta igualtat en el context de l'hospital i justifica, amb les teves pròpies paraules, per què la suma dels dos termes de la dreta coincideix exactament amb el valor de l'esquerra sense que falti ni es dupliqui cap possibilitat.

Repte del tema. És més fàcil encertar la loteria o que endevinin la teva clau escolar?

1. Investigació: Consulta al web de Loterías y Apuestas del Estado (SELAE) les regles de La Primitiva (triar 6 nombres entre 49) i al web de l'INCIBE les pautes bàsiques per crear contrasenyes segures.

2. Càlcul combinatori: En un full de càlcul, determina:

3. El total d'apostes possibles mitjançant el nombre combinatori $\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!}$, aplicant factorials.

4. Les permutacions resultants si l'ordre d'extracció de les boles importés.

5. Les permutacions de 4 dígits diferents per a un codi de taquilla enfront de combinacions de lletres.

6. Informe i proposta: Redacta un informe d'una cara on comparis la dificultat matemàtica de guanyar el sorteig (amb una probabilitat de tot just el $0,0000071\,\%$) enfront de la vulnerabilitat d'un PIN senzill. Planteja una proposta justificada de contrasenya segura usant els teus càlculs.

Es valorarà:

• Precisió en el càlcul de factorials, permutacions i nombres combinatoris al full de càlcul.

• Recollida i aplicació correcta de dades de fonts oficials (SELAE i INCIBE).

• Coherència i rigor matemàtic en les conclusions i recomanacions de l'informe final.