Exercicis: Factorial

Calcula el valor exacte de l'expressió $6! - 4!$.

Simplifica la següent fracció de factorials sense utilitzar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.

Expressa el producte numèric $12 \cdot 11 \cdot 10$ utilitzant una divisió de factorials.

Calcula el resultat del quocient següent: $\frac{7!}{5! \cdot 2!}$.

Expressa mitjançant un quocient de factorials el producte algebraic $n \cdot (n-1) \cdot (n-2)$.

Simplifica l'expressió algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicant el resultat en funció de $n$.

Calcula mentalment el valor de $\frac{100!}{99!}$.

Determina el valor del nombre natural $x$ sabent que $x! = 120$.

En una classe de 4t d'ESO, el professor demana simplificar la fracció $\dfrac{8!}{4!}$. En Sergio fa la següent operació a la pissarra:

1. a) Explica amb les teves pròpies paraules per què el raonament d'en Sergio és incorrecte, basant-te en el significat del factorial com a producte de nombres enters consecutius.
2. b) Desenvolupa de manera correcta l'expressió $\dfrac{8!}{4!}$ simplificant els factors comuns abans de multiplicar i troba el seu valor real.

A la gala final del festival Benidorm Fest emesa per RTVE, 6 artistes classificats han d'actuar sobre l'escenari per competir pel passi a Eurovisió.

1. a) Modela aquesta situació: expressa mitjançant un factorial de quantes maneres diferents pot l'equip de producció ordenar les actuacions dels 6 participants al llarg de la nit i calcula aquest nombre total.
2. b) Si l'organització decideix per sorteig previ fixar quin artista actuarà en primer lloc i quin artista tancarà la gala en sisè lloc, de quantes maneres es poden ordenar ara els altres 4 artistes? Justifica el resultat escrivint l'operació adequada amb factorials.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica $\frac{n!}{(n-2)!}$, desenvolupant el numerador fins a poder cancel·lar termes amb el denominador.

Resol l'equació $\frac{(x+2)!}{(x+1)!} = 15$ indicant el valor de $x$.

En una cursa de $100$ metres llisos participen $8$ atletes. Expressa utilitzant un factorial de quantes formes diferents poden arribar a la meta, suposant que no hi ha empats, i calcula el seu valor final.

Expressa com a quocient de factorials l'expressió polinòmica $(x+3)(x+2)(x+1)$, assumint que $x$ és un nombre natural.

Simplifica l'expressió $\frac{(n+1)! - n!}{n!}$ treient factor comú al numerador.

Un sistema de seguretat requereix un codi que consta de $5$ lletres diferents triades entre $A, B, C, D$ i $E$. Utilitza factorials per determinar i calcular quants codis diferents es poden crear.

Comprova si la igualtat $4! + 3! = 7!$ és certa o falsa, justificant la resposta mitjançant el càlcul dels factorials corresponents.

Resol l'equació $\frac{x!}{(x-1)!} = x^2 - 12$, trobant el valor o els valors possibles per al nombre natural $x$.

Un equip d'inspectors de Renfe Cercanías a Madrid ha de revisar 5 estacions consecutives triades d'una línia que compta amb un total de 8 estacions ($A, B, C, D, E, F, G, H$), important l'ordre exacte en què es visiten. El nombre de possibles rutes ordenades ve donat per l'expressió $\dfrac{8!}{(8-5)!}$.

1. a) Sense fer operacions completes en paper ni fer servir la calculadora, fes una estimació: creus que hi haurà més o menys de 5000 rutes possibles? Justifica la teva conjectura aproximant mentalment el producte dels nombres que quedaran sense simplificar.
2. b) Desenvolupa l'expressió simplificant el factorial del denominador i obtén el nombre exacte d'itineraris possibles.
3. c) Comprova si la teva estimació inicial era encertada calculant la diferència entre el valor real i els 5000 estimats, i explica per què aquest tipus de càlculs creix amb tanta rapidesa en augmentar el nombre d'elements.

Per organitzar els torns nocturns de guàrdia en un lloc local de Cruz Roja, s'ha de calcular de quantes maneres es poden assignar dos llocs de diferent responsabilitat (conductor d'ambulància i tècnic d'emergències) entre els 9 voluntaris disponibles. La fórmula aplicada condueix al càlcul de $\dfrac{9!}{7! \cdot 1!}$.

Dos membres de l'equip proposen estratègies diferents:

• Estratègia d'en Pablo: Calcular primer $9! = 362\,880$ i $7! = 5\,040$, i després fer la divisió $\dfrac{362\,880}{5\,040 \cdot 1}$.

• Estratègia de la Lucía: Expressar $9!$ com a $9 \cdot 8 \cdot 7!$, cancel·lar directament el terme $7!$ present al numerador i al denominador, i resoldre $9 \cdot 8$.

1. a) Aplica l'estratègia de la Lucía per obtenir el nombre de maneres d'assignar la guàrdia.
2. b) Compara tots dos procediments i redacta un argument justificant quin dels dos és més convenient quan es fan càlculs a mà o amb nombres més grans (per exemple, amb $\dfrac{100!}{98!}$).

Resol l'equació quadràtica resultant de l'expressió $\frac{n!}{(n-2)!} = 42$, indicant l'únic valor vàlid per al nombre natural $n$.

Demostra algebraicament que $n! + (n-1)! = (n+1) \cdot (n-1)!$ per a qualsevol nombre natural $n \geq 1$.

En un prestatge es col·locaran $4$ llibres de matemàtiques i $3$ llibres de física. Si els llibres de la mateixa matèria han d'estar sempre junts, expressa el nombre total d'ordenacions possibles utilitzant el producte de diversos factorials i calcula el seu valor final.

Resol l'equació $\frac{(x+1)!}{(x-1)!} - 5x = 12$, trobant els valors possibles per a $x$ i descartant aquells que no pertanyin als nombres naturals.

Pista: Recorda que $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$.

Simplifica al màxim l'expressió algebraica $\frac{n!}{(n-2)!} + \frac{(n+1)!}{(n-1)!}$, expressant el resultat final com un polinomi en funció de $n$.

Sis amics van a sopar a un restaurant i se seuen al voltant d'una taula circular. Tenint en compte que en una taula circular les posicions relatives són les que importen (permutació circular), expressa amb factorials el nombre de formes diferents en què poden seure i calcula el resultat.

Resol l'equació $\frac{(n+2)!}{n!} = 72$ per trobar el valor del nombre natural $n$.

Demostra la identitat $\frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot \frac{(n-1)!}{(n-k)!}$ detallant els passos algebraics per a tot nombre natural $n \geq k \geq 1$.

Es busca una expressió amb factorials de la forma $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ el resultat numèric de la qual sigui exactament igual a $210$, sabent a més que en desenvolupar-la i cancel·lar-la s'obtenen únicament 3 factors enters consecutius decreixents.

1. a) A partir de la descomposició en factors primers del nombre $210$, dedueix de forma raonada quins són aquests 3 factors consecutius i determina els valors numèrics exactes dels nombres naturals $n$ i $k$.
2. b) Comprova que la teva expressió $\dfrac{n!}{(n-k)!}$ equival efectivament a $210$.
3. c) Crea i inventa l'enunciat d'un problema de la vida quotidiana (per exemple, en un context escolar, esportiu o comercial) la resolució matemàtica del qual es correspongui exactament amb l'expressió que has trobat, explicant què representen a la teva història tant el nombre $n$ com el nombre $k$.

Una furgoneta de repartiment de Correos al centre històric de Sevilla ha de lliurar paquets a $n$ botigues diferents, passant exactament una vegada per cadascuna d'elles abans de tornar a la central logística.

1. a) Si en la primera ruta del dia ha de visitar 6 botigues, expressa mitjançant un factorial el nombre d'itineraris possibles i calcula'l.
2. b) Per a la segona ruta s'afegeix una botiga més, de manera que ha de visitar 7 botigues. Utilitzant la propietat $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$, explica com calcular el nou nombre de rutes a partir del resultat de l'apartat anterior, sense necessitat de multiplicar els 7 factors un a un.
3. c) El servidor del centre logístic utilitza un algorisme elemental que revisa cadascuna de les rutes possibles per trobar la més ràpida, trigant $0,002$ segons a avaluar cada ruta individual. Si en una jornada especial de rebaixes la furgoneta hagués de visitar 14 botigues, sabent que $14! \approx 8,72 \cdot 10^{10}$, calcula quants dies sencers trigaria l'ordinador a avaluar totes les rutes i justifica per què aquest mètode de cerca no resulta viable en la gestió logística real.