En el apartado anterior apareció una y otra vez el mismo producto: $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 1$. Aparece tantas veces en combinatoria que tiene su propio nombre y su propio símbolo: el factorial. Vale la pena dominarlo bien, porque te va a acompañar en todo lo que viene después.
¿Qué es el factorial?
Fíjate en lo rápido que crece: de $6!=720$ a $7!=5\,040$ solo multiplicas por $7$, pero el salto es enorme. Por eso en combinatoria los números se disparan tan deprisa.
El factorial no es un capricho: es justo el número de permutaciones de $n$ elementos distintos que viste en el apartado anterior, $P_n = n!$.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcular el valor exacto de la expresión $6! - 4!$.
Calcular el valor exacto de la expresión $6! - 4!$.
Calcular $100!$ a mano sería absurdo, pero muchas veces no hace falta: cuando el factorial grande está dividido entre uno más pequeño, casi todo se cancela.
El mismo truco funciona al revés, para escribir un producto como un cociente de factoriales:
Practica★☆☆Sin empezar
Simplificar la siguiente fracción de factoriales sin utilizar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.
Simplificar la siguiente fracción de factoriales sin utilizar calculadora: $\frac{8!}{6!}$.
La misma técnica funciona cuando el número no se conoce, y se escribe con una letra. Es habitual en los ejercicios de combinatoria tener que simplificar expresiones como $\dfrac{n!}{(n-2)!}$.
Practica★☆☆Sin empezar
Simplificar la expresión algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicando el resultado en función de $n$.
Simplificar la expresión algebraica $\frac{(n+1)!}{n!}$ indicando el resultado en función de $n$.
Si una ecuación tiene factoriales de una incógnita, lo normal es simplificar primero (como en la sección anterior) para que quede una ecuación corriente.
Practica★☆☆Sin empezar
Determinar el valor del número natural $x$ sabiendo que $x! = 120$.
Determinar el valor del número natural $x$ sabiendo que $x! = 120$.