Proporcionalidad directa
Si 3 entradas de cine cuestan 22,50 €, 6 entradas cuestan 45 €. Doble de entradas, doble de precio. Triple de entradas, triple de precio. Cuando dos magnitudes se comportan así, son directamente proporcionales, y calcular con ellas es muy sencillo.
Magnitudes directamente proporcionales
| Entradas ($x$) | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio en € ($y$) | 7,50 | 15 | 22,50 | 30 | 45 |
| $y/x$ | 7,50 | 7,50 | 7,50 | 7,50 | 7,50 |
Aquí $k = 7{,}50$: es el precio por unidad. La constante casi siempre tiene un significado así: precio por kilo, kilómetros por hora, euros por hora…
Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta: a) El número de seguidores de un "influencer" y los…
Determina si las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales. Justifica brevemente tu respuesta:
- a) El número de seguidores de un "influencer" y los "likes" que recibe en su última foto.
- b) La cantidad de kilos de manzanas que compras y el precio total a pagar.
- c) La edad de una persona y su altura en centímetros.
- d) El tiempo que dejas el móvil cargando y el porcentaje de batería que recupera (suponiendo que carga de forma constante).
Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ €. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio…
Un grupo de amigos quiere ir al cine. Sabemos que $3$ entradas han costado $22,50$ €. Completa la siguiente tabla y calcula la constante de proporcionalidad $k$ (precio por entrada):
| Número de entradas | $1$ | $3$ | $5$ | $8$ | $10$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Precio total (€) | $22,50$ |
La gráfica: una recta por el origen
Si dibujas los puntos de la tabla, quedan alineados en una recta que pasa por el origen $(0, 0)$: 0 entradas, 0 €. La constante $k$ es la pendiente (lo que sube la recta por cada unidad que avanza).
Un coche de radio-control recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma: a) ¿Qué distancia…
Un coche de radio-control recorre $12$ metros en apenas $8$ segundos manteniendo una velocidad constante. Si sigue moviéndose de la misma forma:
- a) ¿Qué distancia recorrerá en un minuto ($60$ segundos)?
- b) ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer una pista de $30$ metros?
La batería de un patinete eléctrico se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la…
La batería de un patinete eléctrico se consume de forma proporcional a la distancia recorrida. Si para realizar un trayecto de $4,5$ km se ha gastado un $12 \%$ de la capacidad total de la batería, calcula mediante reducción a la unidad cuánta batería se consumirá en un recorrido de $15$ km por el mismo tipo de terreno.
Regla de tres directa
Para calcular un valor desconocido hay dos caminos equivalentes:
1. Reducción a la unidad: calcula primero el valor para 1 y luego multiplica.
2. Regla de tres (proporción): coloca los datos y usa los productos cruzados.
Escalas y planos
Las escalas son proporcionalidad directa: medida real $= k \cdot$ medida en el mapa.
Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás…
Para preparar un batido de frutas para $4$ personas, se necesitan $600$ ml de leche. Si el próximo sábado vas a invitar a $10$ amigos a casa, ¿cuánta leche necesitarás comprar para que todos tengan su batido? Resuelve utilizando una regla de tres simple directa.
Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo…
Una impresora 3D tarda $45$ minutos en fabricar una pieza que pesa $60$ gramos. Si queremos imprimir una figura del mismo material que pesa $100$ gramos, ¿cuánto tiempo tardará la impresora? Expresa el resultado en horas y minutos.
Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm. 1. ¿Cuántos…
Un mapa de senderismo de la Sierra de Guadarrama está dibujado a una escala $1:25000$. Un grupo de estudiantes planea una ruta que en el mapa mide $14,4$ cm.
-
¿Cuántos kilómetros reales recorrerán en total?
-
Si caminan a una velocidad constante y tardan $45$ minutos en recorrer los primeros $3$ km, ¿cuánto tiempo total les llevará completar la ruta?
Porcentajes como proporcionalidad
Un porcentaje es una proporción con 100: el 15 % de 45 € es $\frac{15}{100} = \frac{x}{45}$, así que $x = 6{,}75$ €. Por eso la cantidad y su porcentaje son directamente proporcionales: el 15 % del doble es el doble.
Has visto una sudadera que te encanta en una tienda online. Su precio original es de $45$ €, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos euros te ahorras gracias a…
Has visto una sudadera que te encanta en una tienda online. Su precio original es de $45$ €, pero hoy tiene un descuento del $15\%$. ¿Cuántos euros te ahorras gracias a la rebaja? (No es necesario calcular el precio final).
A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide…
A la misma hora del día, la sombra de una señal de tráfico de $2,2$ metros de altura mide $1,4$ metros. Si justo al lado hay una torre de alta tensión cuya sombra mide $10,5$ metros, ¿qué altura tiene la torre? Realiza un dibujo esquemático de la situación antes de resolver el problema.