Exercicis: Proporcionalitat composta

Tres màquines envasadores produeixen $500$ peces en $4$ hores de funcionament ininterromput. Quantes peces produiran $5$ màquines idèntiques si funcionen durant $6$ hores?

Un equip de $4$ pintors aconsegueix pintar un mur de $100 \text{ m}^2$ en $5$ dies. Si es contracten $2$ pintors més perquè treballin al mateix ritme, quants dies necessitaran en total els $6$ pintors per pintar un mur de $150 \text{ m}^2$?

Cinc aixetes iguals, obertes al mateix temps, omplen un dipòsit de $2000$ litres en $8$ hores. Quantes hores trigaran $4$ d'aquestes aixetes a omplir un dipòsit de $3000$ litres?

En una granja, $10$ vaques consumeixen $300 \text{ kg}$ de pastura en $6$ dies. Suposant que totes les vaques mengen la mateixa quantitat diària, quants quilograms de pastura consumiran $15$ vaques en $10$ dies?

En una oficina, $6$ impressores treballant simultàniament imprimeixen $1200$ pàgines en $2$ hores. Quantes impressores de les mateixes característiques es necessiten per imprimir $2400$ pàgines en $3$ hores?

Un hotel cobra $600$ € per allotjar $2$ persones durant $5$ nits. Mantenint la mateixa tarifa per persona i nit, quant cobrarà l'hotel per allotjar $4$ persones durant $3$ nits?

Un grup de $8$ obrers construeix una tanca perimetral de $40 \text{ m}$ de longitud en $5$ dies. Quants obrers seran necessaris per construir una tanca similar de $60 \text{ m}$ de longitud en només $4$ dies?

En un campament, $12$ estudiants consumeixen $40$ barres de pa en $5$ dies. Quantes barres de pa consumiran $15$ estudiants al llarg de $8$ dies si mantenen el mateix nivell de consum?

Per preparar les festes patronals d'un municipi, $4$ màquines d'una impremta local imprimeixen un tiratge de cartells en $6$ dies funcionant $8$ hores al dia. A causa d'una avaria, només queden $3$ màquines disponibles i es decideix ampliar la jornada a $10$ hores al dia per intentar acabar a temps.

En Lucas intenta calcular quants dies trigaran i escriu al seu quadern:

«Impremtes i dies és una relació inversa, així que poso $\frac{3}{4}$. Hores al dia i dies és directa, perquè a més hores de treball es fan més dies, així que poso $\frac{10}{8}$.

Per tant: $\frac{x}{6} = \frac{3}{4} \cdot \frac{10}{8} \Rightarrow x = 6 \cdot \frac{30}{32} \approx 5,6$ dies».

1. a) Localitza i explica de manera raonada els dos errors comesos per en Lucas (un en classificar la relació de proporcionalitat de les hores diàries i un altre en plantejar la fracció de les màquines amb la incògnita al numerador).
2. b) Planteja la proporció correcta, calcula el nombre exacte de dies que trigaran les $3$ màquines i raona si té lògica que el resultat final sigui superior als $6$ dies inicials.

Durant la campanya de recollida d'oliva en una cooperativa oliera de Jaén, una colla de $6$ jornalers recull $12\,000$ kg d'oliva en $4$ jornades de treball completes. A la finca següent, la collita estimada és de $18\,000$ kg i la colla es reforça amb $2$ persones més (sumant un total de $8$ jornalers amb el mateix rendiment).

1. a) Sense fer encara operacions amb fórmules, estima raonadament si trigaran més, menys o exactament els mateixos $4$ dies que a la primera finca. (Pista: compara l'augment proporcional de la collita respecte a l'augment del personal).
2. b) Planteja la proporció composta amb les raons corresponents, calcula el nombre exacte de dies que empraran i comprova si la teva estimació inicial era encertada.

Una inversió financera de $5000$ € a un determinat tipus d'interès simple genera uns beneficis de $400$ € en $2$ anys. Quants interessos generarà un capital de $7500$ € invertit durant $3,5$ anys exactament al mateix tipus d'interès?

Un centre de dades compta amb $12$ servidors que, treballant en paral·lel, processen $4,5 \text{ TB}$ d'informació en $6$ hores. Si $3$ servidors pateixen una avaria i deixen de funcionar, quant de temps trigaran els servidors restants a processar un paquet de dades de $6,75 \text{ TB}$?

Per collir un camp de cereals de $12 \text{ ha}$, $5$ recol·lectores treballant $8$ hores diàries necessiten $3$ dies complets. Quants dies necessitaran $4$ recol·lectores treballant $10$ hores diàries per collir un camp de $15 \text{ ha}$?

Una empresa de logística cobra $1250$ € per transportar $8$ tones de mercaderia a una distància de $300 \text{ km}$. Si les tarifes es mantenen proporcionals al pes i a la distància, quant cobrarà l'empresa per transportar $10,5$ tones a una distància de $450 \text{ km}$?

Una impremta utilitza $4$ màquines rotatives treballant $10$ hores diàries i triga $15$ dies a imprimir la primera edició d'una novel·la. Si l'editorial exigeix acabar una segona edició idèntica en $12$ dies i la impremta disposa de $5$ màquines, quantes hores diàries hauran de treballar les màquines per complir el termini?

Un equip de $6$ ciclistes consumeix $150$ litres d'aigua durant $4$ etapes d'una gran volta. Suposant que el ritme de consum mitjà diari i l'exigència es mantenen constants, quants litres d'aigua consumirà un equip compost per $9$ ciclistes al llarg de $7$ etapes?

Un grup de $15$ operaris aconsegueix asfaltar $2,4 \text{ km}$ de carretera en $8$ dies treballant en torns de $6$ hores diàries. Quants quilòmetres de carretera podran asfaltar $20$ operaris en $12$ dies si l'empresa decideix augmentar els torns a $8$ hores diàries?

En un taller d'artesania, un equip de $4$ escultors necessita $24$ dies treballant $6$ hores diàries per tallar $5$ estàtues de marbre. Quants escultors es necessitaran per tallar $8$ estàtues de les mateixes característiques en $16$ dies treballant $9$ hores diàries?

En el dispositiu d'extinció d'incendis forestals (operatiu de brigades helitransportades a Espanya), una colla de $12$ especialistes pot obrir manualment una faixa tallafocs de $600$ metres de longitud en $5$ hores de treball continu en brolla. Davant d'una emergència declarada a la comarca de Las Hurdes, el centre de coordinació necessita traçar amb urgència un tallafocs de les mateixes característiques de $1\,500$ metres en un termini màxim i improrrogable de $8$ hores abans que canviï la direcció del vent.

1. a) Classifica la relació de proporcionalitat de cada magnitud (longitud del tallafocs i temps disponible) respecte a la incògnita (nombre d'especialistes necessaris), justificant cada cas deixant l'altra magnitud constant.
2. b) Planteja la proporció composta i calcula quants especialistes es necessitarien teòricament.
3. c) Sabent que els especialistes es desplacen en helicòpters en colles indivisibles de $7$ membres, quantes colles completes s'han de mobilitzar obligatòriament per garantir que el tallafocs estigui acabat a temps? Raona per què en aquesta situació de seguretat no es pot aplicar l'arrodoniment matemàtic habitual.

En un alberg juvenil de la comarca pirinenca de Sobrarbe (Huesca), un grup de $25$ senderistes ha consumit $150$ litres de llet durant una estada de $6$ dies. Per a la setmana vinent s'espera l'arribada d'un nou grup de $40$ senderistes que s'allotjaran durant $8$ dies. Per fer la comanda al distribuïdor comarcal, els dos encarregats de magatzem proposen mètodes diferents:

• Mètode A (Reducció a la unitat): calcular primer els litres de llet que consumeix un senderista en un sol dia i multiplicar després per les noves condicions.

• Mètode B (Proporcionalitat composta amb proporcions): classificar les magnituds i muntar l'equació $\frac{150}{x}$ igualada al producte de les raons corresponents.

1. a) Resol el problema aplicant pas a pas tots dos mètodes i comprova si condueixen a la mateixa quantitat de litres.
2. b) Si l'alberg rep al llarg de tot l'estiu reserves contínues de grups de mides i durades molt dispars, quin dels dos mètodes li resulta més àgil i pràctic al gestor per calcular els subministraments de cada grup sense haver de refer tot el plantejament? Justifica la teva resposta.

Una fàbrica compta amb $N$ màquines que produeixen $P$ articles en $D$ dies treballant $H$ hores diàries. Determina l'expressió algebraica simplificada que representa el nombre de dies $x$ necessaris perquè el doble de màquines ($2N$) produeixin un $50\%$ més d'articles ($\frac{3}{2}P$) treballant un terç de la jornada habitual ($\frac{H}{3}$ hores diàries).

Una quadrilla de $12$ obrers, amb un rendiment estimat del $80\%$, construeix un mur de $600 \text{ m}$ en $15$ dies. Quants obrers altament qualificats, amb un rendiment del $120\%$, seran necessaris per construir un mur de $800 \text{ m}$ en un termini màxim de $10$ dies?

Quatre bombes d'extracció d'aigua de tipus A, cadascuna amb un cabal constant de $C$ litres per minut, són capaces d'omplir $3$ piscines idèntiques en $12$ hores. Quantes bombes de tipus B, sabent que el seu cabal és de $1,5C$ litres per minut, es necessiten per omplir $6$ d'aquestes mateixes piscines en $8$ hores?

Un menjador escolar té provisions suficients per alimentar $120$ estudiants durant $20$ dies, lliurant a cada estudiant $3$ racions diàries. Després de transcorrer $5$ dies, $30$ estudiants abandonen el centre per anar a una excursió permanent i l'administració decideix reduir les racions diàries per estudiant a $2$. Quants dies més duraran les provisions restants per als estudiants que queden al centre?

Una empresa manufacturera produeix $5000$ unitats d'un producte en $10$ dies emprant $20$ treballadors, amb un cost salarial total de $C$ euros. Si per exigències del mercat s'incrementa la plantilla en un $25\%$ i es redueixen els dies de treball en un $20\%$, quantes unitats es produiran? A més, si el salari diari per treballador augmenta un $10\%$, quin serà el nou cost salarial total expressat en funció de $C$?

Per pintar un dipòsit esfèric de radi $R$, un equip de $5$ pintors necessita $8$ dies treballant $6$ hores diàries. Quants dies necessitaran $4$ pintors, treballant $8$ hores diàries, per pintar un dipòsit esfèric de radi $2R$? (Recordatori: la superfície a pintar d'una esfera és proporcional al quadrat del seu radi).

Vuit tractors són capaços de llaurar un terreny rectangular de $400 \text{ m} \times 300 \text{ m}$ en $6$ dies. Quants tractors es necessitaran per llaurar un terreny quadrat de $600 \text{ m}$ de costat en $9$ dies, sabent que la duresa de la terra del segon terreny és el doble que la del primer (és a dir, requereix el doble d'esforç i temps per metre quadrat)?

Deu teixidors, treballant $8$ hores diàries, elaboren una peça de tela de $40 \text{ m}$ de llarg i $2 \text{ m}$ d'ample en $5$ dies. Quants teixidors, treballant $10$ hores diàries, es requeriran per elaborar una peça de tela de $60 \text{ m}$ de llarg i $3 \text{ m}$ d'ample en $6$ dies? (Tingues en compte que la quantitat de treball realitzat és directament proporcional a la superfície total de la tela).

Una plataforma logística de comerç electrònic situada al Corredor del Henares (Madrid) opera amb una flota homogènia de furgonetes de repartiment. En condicions ordinàries, $8$ furgonetes lliuren $3\,840$ paquets en $6$ dies fent una jornada laboral d'$h$ hores diàries per vehicle.

Durant la campanya de rebaixes, l'empresa va ampliar la flota a $12$ furgonetes per repartir un volum total de $9\,600$ paquets. En acabar el període de rebaixes, els registres van confirmar que es van necessitar exactament $8$ dies complets treballant a la jornada màxima permesa per conveni, fixada en $9$ hores diàries per furgoneta.

1. a) A partir dels resultats finals comprovats en la campanya de rebaixes ($8$ dies a $9$ hores diàries), reconstrueix el valor de la jornada habitual $h$ (en hores i minuts) que feien les furgonetes en el període ordinari.
2. b) Dedueix una fórmula simplificada que permeti calcular el nombre de dies $D$ que trigarien aquestes mateixes $12$ furgonetes a repartir els $9\,600$ paquets en funció de la jornada diària $h'$ triada. A partir de la teva fórmula, determina quants dies complets farien falta si els repartidors treballessin una jornada reduïda de $6$ hores al dia.

En una comunitat de regants del Campo de Cartagena (Murcia), una estació de bombament solar utilitza panells fotovoltaics quadrats per elevar aigua des d'un pou fins a una bassa d'emmagatzematge. Es coneixen les dades següents de la instal·lació original:

• Disposa de $60$ panells quadrats d'$1,2$ metres de costat.

• Amb una radiació mitjana de $8$ hores diàries de sol eficaç, aconsegueixen bombar $432\text{ m}^3$ d'aigua en $5$ dies.

Per fer front a la temporada estival, la comunitat renova l'estació substituint tots els panells per $80$ unitats d'un model nou, també quadrat, però d'$1,8$ metres de costat. La potència i el cabal generats per cada panell són directament proporcionals a la seva superfície (àrea). Al mes de juliol es compta amb $10$ hores diàries de sol eficaç i cal bombar un volum total de $2\,160\text{ m}^3$.

1. a) Justifica per què la potència depèn del quadrat de la longitud del costat del panell i calcula la raó numèrica de canvi entre la superfície del panell nou i la de l'antic.
2. b) Planteja la proporció composta completa i calcula el nombre exacte de dies que trigarà la nova instal·lació a bombar els $2\,160\text{ m}^3$.
3. c) Si la bassa disposa de reserves per garantir el reg del cultiu durant un màxim de $12$ dies sense rebre noves aportacions d'aigua, cobrirà la nova instal·lació l'ompliment a temps abans que s'exhaureixi la reserva? Interpreta el marge de seguretat disponible.