Exercicis: Volum de figures sòlides

Dos cubs de Rubik tenen mides diferents però són geomètricament semblants. L'arista del cub petit mesura $2 \text{ cm}$ i l'arista del cub gran mesura $6 \text{ cm}$. Si el volum del cub petit és de $8 \text{ cm}^3$, calcula el volum del cub gran aplicant la raó de semblança.

S'han fabricat dues esferes d'acer semblants. El volum de la primera és de $10 \text{ cm}^3$ i el volum de la segona és de $80 \text{ cm}^3$. Calcula quina és la raó de semblança $k$ entre el radi de la segona esfera i el de la primera.

Un arquitecte dissenya la maqueta d'un rascacel a una escala de $1:100$. Si el volum de la maqueta a l'estudi és de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volum real que tindrà el rascacel expressat en metres cúbics ($m^3$).

En una pizzeria ofereixen refrescs en dos gots cilíndrics semblants. El got gran és exactament el doble d'alt i el doble d'amplada que el got petit. Si la capacitat del got petit és de $250 \text{ mL}$, quants mil·lilitres de refresc caben en el got gran?

Un tetraedre de plàstic té un volum de $15 \text{ cm}^3$. En una fàbrica de joguines decideixen construir un tetraedre semblant però triplicant la longitud de totes les seves arestes. Calcula el volum del nou tetraedre.

La raó entre les àrees totals de dos cons semblants és de $\frac{16}{25}$. Determina quina és la raó entre els volums d'aquests cons.

Un prisma hexagonal regular té un volum de $120 \text{ cm}^3$. Si construïm un prisma semblant reduint totes les seves dimensions lineals a la meitat, quin serà el volum del nou prisma?

En un museu hi ha dues estàtues de marbre semblants. El volum de la primera estàtua és $27$ vegades el volum de la segona. Si l'altura de la segona estàtua és de $10 \text{ cm}$, esbrina l'altura de la primera estàtua.

En una botiga oficial de records de la Corunya es venen rèpliques a escala de la Torre d'Hèrcules fabricades amb el mateix aliatge massís de metall. El model petit fa $10\text{ cm}$ d'alçària i té una massa de $150\text{ g}$. El model gran, geomètricament semblant, fa $20\text{ cm}$ d'alçària.

En Carlos, un turista, afirma: «Com que l'alçària de la torre gran és el doble ($20 : 10 = 2$), la seva massa també serà el doble, és a dir, $300\text{ g}$».

1. a) Identifica l'error en el raonament d'en Carlos i explica amb les teves paraules per què el volum i la massa d'un objecte tridimensional no es dupliquen quan es dupliquen les seves longituds.
2. b) Aplica la raó de semblança adequada per calcular la massa real que tindrà la reproducció gran.

Les normes comercials del Ministeri d'Agricultura per als cítrics comercialitzats a Espanya classifiquen les fruites pel seu calibre (diàmetre). Considera dues taronges valencianes de la varietat Navelina que es poden modelitzar com a esferes geomètricament semblants: una de calibre mitjà amb un diàmetre de $7\text{ cm}$ i una altra de calibre extra amb un diàmetre de $8,4\text{ cm}$. En esprémer la taronja mitjana, s'han obtingut exactament $70\text{ ml}$ de suc.

1. a) Troba la raó de semblança $k$ entre la taronja gran i la mitjana.
2. b) Sabent que la quantitat de suc és proporcional al volum total de la fruita, calcula quants mil·lilitres de suc s'obtindran de la taronja gran.
3. c) Quantes taronges mitjanes senceres necessitaries esprémer per igualar o superar el suc que proporciona una sola taronja gran? Raona la teva resposta a partir de la relació entre els seus volums.

Una miniatura de bronze massís d'un monument famós pesa $1,5 \text{ kg}$ i té una altura de $20 \text{ cm}$. El monument real, construït exactament amb el mateix tipus de bronze i sent matemàticament semblant, té una altura de $4 \text{ m}$. Calcula el pes del monument real expressat en tones.

Una copa de còctel té forma de con invertit perfecte. S'aboca suc a la copa fins a assolir exactament la meitat de l'altura total de la copa. Quina fracció de la capacitat total de la copa està ocupada pel suc?

La figura il·lustra la copa i el nivell de suc:

Un globus aerostàtic esfèric s'escalfa, provocant que el seu radi augmenti en un $20\%$. Suposant que manté la seva forma perfectament esfèrica en tot moment, en quin percentatge augmenta el seu volum respecte al volum inicial?

Una marca de conserves ven sopa en dues llaunes cilíndriques semblants. La llauna petita té una superfície total de $150 \text{ cm}^2$ i una capacitat de $400 \text{ mL}$. Si la llauna gran té una superfície total de $337,5 \text{ cm}^2$, calcula quina capacitat en mil·lilitres té la llauna gran.

Dos peixos de la mateixa espècie tenen formes geomètricament semblants i longituds de $15 \text{ cm}$ i $25 \text{ cm}$. Sabent que la quantitat d'aliment diari que necessiten és directament proporcional al seu volum (o massa corporal), i que el peix petit consumeix $27 \text{ g}$ de menjar al dia, quants grams diaris necessita el peix gran?

Un dipòsit d'aigua d'una comunitat de regants té forma d'ortoedre i una capacitat de $8000 \text{ L}$. Es decideix construir un nou dipòsit semblant al primer, però dissenyat de manera que l'àrea de la seva base sigui $4$ vegades més gran que l'àrea de la base del dipòsit original. Calcula la capacitat en litres del nou dipòsit.

Dos poliedres irregulars són semblants. El volum del poliedre menor és de $64 \text{ cm}^3$ i el del major és de $343 \text{ cm}^3$. Si l'àrea de la superfície total del poliedre menor és de $48 \text{ cm}^2$, troba l'àrea de la superfície total del poliedre major.

En el sector vitivinícola espanyol, la bóta bordelesa tradicional (utilitzada en cellers de la D.O. Ca. Rioja) té una longitud de $95\text{ cm}$ i una capacitat homologada de $225\text{ litres}$. Un mestre boter artesà ha fabricat una rèplica en miniatura perfectament semblant amb una longitud de $19\text{ cm}$ per a degustacions i decoració.

1. a) Estima: Sense fer servir calculadora i abans de fer operacions numèriques, tria de manera raonada quina d'aquestes tres opcions creus que representarà la capacitat de la bóta petita: al voltant de $45\text{ litres}$, al voltant de $10\text{ litres}$ o menys de $2\text{ litres}$. Justifica la teva intuïció.
2. b) Calcula: Obtén la raó de semblança lineal $k$ (de reducció) i calcula amb exactitud matemàtica la capacitat en litres de la bóta en miniatura.
3. c) Comprova i valora: Compara el resultat exacte amb la teva estimació inicial. Per què sol ser enganyosa la intuïció en estimar com canvia el volum d'un cos tridimensional en reduir les seves dimensions a escala?

En una explotació agrària de regadiu a Castella-la Manxa s'empra un dipòsit d'aigua amb forma de con invertit (amb el vèrtex recolzat a terra). L'alçària total del dipòsit és de $6\text{ m}$ i la seva capacitat màxima és de $54\text{ m}^3$. Després d'uns dies de reg, l'aigua que queda emmagatzemada al fons cònic arriba a una alçària de $4\text{ m}$ des del vèrtex. Per calcular el volum d'aigua disponible, dos tècnics debaten quina estratègia seguir:

• Mètode A: Aïllar el radi superior del con amb la fórmula clàssica $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$, calcular el radi de l'aigua a $4\text{ m}$ d'alçària per semblança de triangles i tornar a fer servir la fórmula del con.

• Mètode B: Considerar que el con d'aigua és semblant al dipòsit complet amb raó $k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ i aplicar directament la relació de volums semblants $V_{\text{aigua}} = k^3 \cdot V_{\text{total}}$.

1. a) Resol el problema calculant el volum exacte d'aigua mitjançant el Mètode B.
2. b) Desenvolupa el Mètode A (arredonint els radis intermedis a dues xifres decimals) i calcula el volum aproximat d'aigua.
3. c) Compara els dos mètodes i justifica quin és preferible en aquest cas atenent a la rapidesa de càlcul i a l'exactitud (absència d'errors d'arredoniment).

Una piràmide de base quadrada té una altura de $12 \text{ cm}$ i l'aresta de la seva base mesura $6 \text{ cm}$. Es talla aquesta piràmide per un pla paral·lel a la base per formar un tronc de piràmide que té una base superior amb una aresta de $2 \text{ cm}$. Utilitzant la semblança entre la piràmide original i la piràmide petita deficient, calcula el volum del tronc de piràmide resultant.

Un embut cònic d'altura $H$ està completament ple d'oli. Es deixa gotejar tot l'oli en un recipient cònic semblant a l'embut però d'altura $2H$, que inicialment està buit. Una vegada que l'embut s'ha buidat per complet, quina fracció de l'altura del recipient gran estarà coberta per l'oli?

Dos sòlids semblants tenen volums $V$ i $2V$ respectivament. Si l'àrea de la superfície del sòlid més petit és $A$, expressa l'àrea de la superfície del sòlid més gran en funció de $A$. Simplifica l'expressió utilitzant radicals.

El planeta Terra té un diàmetre que és aproximadament $3,6$ vegades més gran que el diàmetre de la Lluna. Suposant que tots dos cossos celestials són esferes perfectes, i sabent que la densitat mitjana de la Terra és de $5,5 \text{ g/cm}^3$ mentre que la de la Lluna és de $3,3 \text{ g/cm}^3$, calcula la raó entre la massa de la Terra i la massa de la Lluna (recorda que $Masa = Volumen \times Densidad$).

Una escultura de gel amb forma de poliedre complex es desfà uniformement sota el sol de manera que en tot moment manté una forma semblant a l'original. Si al cap de 2 hores s'observa que l'àrea de la seva superfície ha disminuït en un $36\%$, quin percentatge del seu volum original s'ha desfet fins a aquest moment?

Una indústria metal·lúrgica fabrica esferes massisses d'acer de radi $R = 10 \text{ cm}$. Per motius d'estalvi, desitgen fabricar una nova esfera semblant que utilitzi exactament la meitat de quantitat d'acer que l'original. Quin ha de ser el radi $r$ de la nova esfera? Expressa el resultat exacte i una aproximació amb dues xifres decimals.

Una sitja agrícola està composta per un cilindre d'altura $h$ i radi $r$, rematada per una semiesfera del mateix radi $r$. Es construeix una maqueta a escala de tal manera que el volum total de la maqueta és $\frac{1}{27}$ del volum de la sitja real. Sabent que a la sitja real l'altura del cilindre és el triple del seu radi ($h = 3r$), determina quina és la raó entre l'àrea de la superfície total de la maqueta i l'àrea de la superfície total de la sitja real.

Un got té forma de tronc de con invertit. El radi de la base superior mesura $4 \text{ cm}$, el radi de la base inferior mesura $2 \text{ cm}$, i l'altura del got és de $10 \text{ cm}$. Prolongant virtualment les parets laterals del got es forma un con complet. Utilitzant la semblança de triangles en la secció transversal per trobar l'altura del con deficient, calcula el volum exacte del got.

Un mestre xocolater d'Astorga (Lleó) dissenya per a la campanya de Pasqua dues figures massisses semblants (una figura infantil i una figura familiar) motllades amb la mateixa xocolata. La figura familiar té una alçària que és el triple de la figura infantil (raó de semblança de longituds $k = 3$). A més, per condicionants de cost i d'empaquetatge, la massa de xocolata de la figura gran ha de superar la de la petita en exactament $1040\text{ g}$.

1. a) Escriu una equació algebraica en què intervingui la incògnita $m$ (massa en grams de la figura infantil) i la raó de volums, que reflecteixi que la diferència de masses entre ambdues peces és de $1040\text{ g}$.
2. b) Resol l'equació per determinar la massa exacta de la figura infantil i la massa de la figura familiar.
3. c) Si de cara a l'any següent el xocolater decidís modificar el motlle perquè la figura gran pesés $4000\text{ g}$ i la petita $500\text{ g}$, quina raó de semblança $k$ hauria d'ordenar aplicar a les alçàries dels nous motlles? Construeix l'equació corresponent a partir dels volums i troba el valor exacte de $k$.

Segons la fitxa tècnica del Museu Arqueològic Nacional (MAN) a Madrid, el bust ibèric original de la Dama d'Elx està tallat en pedra calcària, té una alçària de $56\text{ cm}$ i una massa de $65\text{ kg}$. Un ajuntament encarrega a un taller d'escultura una rèplica monumental, geomètricament semblant i del mateix tipus de pedra calcària, per instal·lar-la sobre un pedestal en una rotonda, amb una alçària projectada de $2,80\text{ m}$.

1. a) Calcula la raó de semblança $k$ entre l'escultura monumental i la peça original.
2. b) El camió grua contractat per al trasllat té un límit màxim de càrrega de $7,5\text{ tones}$ ($7500\text{ kg}$). Dedueix raonadament la massa en quilograms de la rèplica monumental i indica justificadament si el camió la podrà transportar amb seguretat.
3. c) Si la superfície exterior del bust original és d'aproximadament $0,4\text{ m}^2$ i s'aplicarà a l'escultura monumental un tractament hidròfug protector que costa $35\text{ €}$ per metre quadrat de superfície, calcula el cost total d'aquest tractament.
4. d) Si per limitacions de la grua l'ajuntament exigís que la massa total de l'estàtua no superés els $4160\text{ kg}$, determina quina seria l'alçària màxima (en metres) que podria tenir la rèplica mantenint la semblança amb l'original.

Repte del tema. Imagina que una marca t'encarrega redissenyar un envàs comercial. Com influeix l'escala en la despesa de material i en la seva capacitat?

1. Mesurament real: Tria una caixa prismàtica a casa (cereals, galetes). Mesura les seves arestes, calcula l'àrea de les seves cares rectangulars i el seu volum. Dibuixa un triangle en una cara i calcula el seu perímetre.

2. Mesurament indirecte: Utilitza la semblança de triangles (mètode del reflex en un mirall o de l'ombra) per calcular l'altura real de la prestatgeria on guardaries l'envàs.

3. Escalat en full de càlcul: Dissenya en un full de càlcul dues versions semblants aplicant les raons $k = 0,5$ i $k = 1,5$. Obtén automàticament les noves dimensions ($k$), l'àrea total de cartó ($k^2$) i el volum resultant ($k^3$).

4. Proposta raonada: Redacta un informe breu justificant si a l'empresa li resulta rentable fabricar l'envàs gran (relació entre cartó gastat i capacitat guanyada) i si cap a la prestatgeria mesurada.

Es valorarà:

• Correcció en el mesurament indirecte aplicant la semblança de triangles.

• Ús rigorós de les raons $k$, $k^2$ i $k^3$ per a longituds, àrees i volums.

• Destresa en l'ús del full de càlcul i justificació crítica de les conclusions.