Volumen de figuras sólidas y escala
Una maqueta de un edificio, dos vasos con la misma forma pero distinto tamaño, una escultura de hielo que se derrite manteniendo su forma: todo esto son sólidos semejantes, y el volumen es la magnitud que más rápido cambia con la escala.
Volumen y razón $k$ al cubo
Dos cubos de rubik tienen tamaños distintos pero son geométricamente semejantes. La arista del cubo pequeño mide $2 \text{ cm}$ y la arista del cubo grande mide…
Dos cubos de rubik tienen tamaños distintos pero son geométricamente semejantes. La arista del cubo pequeño mide $2 \text{ cm}$ y la arista del cubo grande mide $6 \text{ cm}$. Si el volumen del cubo pequeño es de $8 \text{ cm}^3$, calcula el volumen del cubo grande aplicando la razón de semejanza.
Un tetraedro de plástico tiene un volumen de $15 \text{ cm}^3$. En una fábrica de juguetes deciden construir un tetraedro semejante pero triplicando la longitud de todas…
Un tetraedro de plástico tiene un volumen de $15 \text{ cm}^3$. En una fábrica de juguetes deciden construir un tetraedro semejante pero triplicando la longitud de todas sus aristas. Calcula el volumen del nuevo tetraedro.
Maquetas y planos a escala en 3D
En una maqueta a escala $1:n$, el volumen real no es $n$ veces el de la maqueta, sino $n^3$ veces: una maqueta pequeña representa un edificio enorme en volumen.
Un arquitecto diseña la maqueta de un rascacielos a una escala de $1:100$. Si el volumen de la maqueta en el estudio es de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volumen real…
Un arquitecto diseña la maqueta de un rascacielos a una escala de $1:100$. Si el volumen de la maqueta en el estudio es de $5000 \text{ cm}^3$, determina el volumen real que tendrá el rascacielos expresado en metros cúbicos ($m^3$).
En una pizzería ofrecen refrescos en dos vasos cilíndricos semejantes. El vaso grande es exactamente el doble de alto y el doble de ancho que el vaso pequeño. Si la…
En una pizzería ofrecen refrescos en dos vasos cilíndricos semejantes. El vaso grande es exactamente el doble de alto y el doble de ancho que el vaso pequeño. Si la capacidad del vaso pequeño es de $250 \text{ mL}$, ¿cuántos mililitros de refresco caben en el vaso grande?
Masa y densidad en sólidos semejantes
Si dos objetos son del mismo material (misma densidad), su masa es proporcional a su volumen: también cambia con $k^3$. Esto explica por qué una estatua el doble de alta pesa ocho veces más, no el doble.
Una miniatura de bronce macizo de un famoso monumento pesa $1,5 \text{ kg}$ y tiene una altura de $20 \text{ cm}$. El monumento real, construido exactamente con el mismo…
Una miniatura de bronce macizo de un famoso monumento pesa $1,5 \text{ kg}$ y tiene una altura de $20 \text{ cm}$. El monumento real, construido exactamente con el mismo tipo de bronce y siendo matemáticamente semejante, tiene una altura de $4 \text{ m}$. Calcula el peso del monumento real expresado en toneladas.
Una escultura de hielo con forma de poliedro complejo se derrite uniformemente bajo el sol de manera que en todo momento mantiene una forma semejante a la original. Si…
Una escultura de hielo con forma de poliedro complejo se derrite uniformemente bajo el sol de manera que en todo momento mantiene una forma semejante a la original. Si después de 2 horas se observa que el área de su superficie ha disminuido en un $36\%$, ¿qué porcentaje de su volumen original se ha derretido hasta ese momento?
Área y volumen a la vez
Muchos problemas dan la razón entre áreas (o entre superficies totales) y preguntan por el volumen, o al revés. Hay que pasar primero por $k$: de área a $k$ con raíz cuadrada, y de $k$ a volumen elevando al cubo.
La razón entre las áreas totales de dos conos semejantes es de $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón entre los volúmenes de dichos conos.
La razón entre las áreas totales de dos conos semejantes es de $\frac{16}{25}$. Determina cuál es la razón entre los volúmenes de dichos conos.
En un museo hay dos estatuas de mármol semejantes. El volumen de la primera estatua es $27$ veces el volumen de la segunda. Si la altura de la segunda estatua es de…
En un museo hay dos estatuas de mármol semejantes. El volumen de la primera estatua es $27$ veces el volumen de la segunda. Si la altura de la segunda estatua es de $10 \text{ cm}$, averigua la altura de la primera estatua.
Un embudo cónico de altura $H$ está completamente lleno de aceite. Se deja gotear todo el aceite en un recipiente cónico semejante al embudo pero de altura $2H$, que…
Un embudo cónico de altura $H$ está completamente lleno de aceite. Se deja gotear todo el aceite en un recipiente cónico semejante al embudo pero de altura $2H$, que inicialmente está vacío. Una vez que el embudo se ha vaciado por completo, ¿qué fracción de la altura del recipiente grande estará cubierta por el aceite?
Cortes paralelos a la base: conos y pirámides "deficientes"
Si cortas un cono o una pirámide con un plano paralelo a la base, la figura pequeña de arriba es semejante a la original completa. Comparando alturas (o radios) obtienes la razón $k$ para calcular su volumen, y el tronco resultante es la diferencia.
Una copa de cóctel tiene forma de cono invertido perfecto. Se vierte zumo en la copa hasta alcanzar exactamente la mitad de la altura total de la copa. ¿Qué fracción de…
Una copa de cóctel tiene forma de cono invertido perfecto. Se vierte zumo en la copa hasta alcanzar exactamente la mitad de la altura total de la copa. ¿Qué fracción de la capacidad total de la copa está ocupada por el zumo?
La figura ilustra la copa y el nivel de zumo:
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12 \text{ cm}$ y la arista de su base mide $6 \text{ cm}$. Se corta esta pirámide por un plano paralelo a la base para…
Una pirámide de base cuadrada tiene una altura de $12 \text{ cm}$ y la arista de su base mide $6 \text{ cm}$. Se corta esta pirámide por un plano paralelo a la base para formar un tronco de pirámide cuya base superior tiene una arista de $2 \text{ cm}$. Utilizando la semejanza entre la pirámide original y la pirámide pequeña deficiente, calcula el volumen del tronco de pirámide resultante.