Escala de áreas y volúmenes
Si duplicas el lado de un cuadrado, no duplicas su área: la cuadruplicas. La razón de semejanza $k$ no afecta igual a longitudes, áreas y volúmenes, y confundirlo es uno de los errores más caros en la vida real (literalmente, en el precio de las cosas).
Longitudes, áreas y volúmenes: tres razones distintas
Dos figuras planas son semejantes con razón de semejanza $k = 3$. a) ¿Por qué número se multiplican las longitudes? b) ¿Por qué número se multiplica el área? c) Si…
Dos figuras planas son semejantes con razón de semejanza $k = 3$.
a) ¿Por qué número se multiplican las longitudes?
b) ¿Por qué número se multiplica el área?
c) Si fueran cuerpos geométricos, ¿por qué número se multiplicaría el volumen?
Dos cuadrados son semejantes con razón $k = 2$. Si el pequeño tiene $5$ cm de lado: a) ¿Cuánto mide el lado del grande? b) ¿Cuáles son las áreas de los dos cuadrados?
Dos cuadrados son semejantes con razón $k = 2$. Si el pequeño tiene $5$ cm de lado:
a) ¿Cuánto mide el lado del grande?
b) ¿Cuáles son las áreas de los dos cuadrados?
Calcular con la razón de áreas
Si conoces cómo cambia el área, para hallar $k$ tienes que hacer la raíz cuadrada, no dividir entre $2$.
Una artista pinta un mural a partir de un boceto de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicando una razón de escala $k = 8$. a) ¿Qué dimensiones tendrá el mural? b)…
Una artista pinta un mural a partir de un boceto de $30\ \text{cm} \times 20\ \text{cm}$ aplicando una razón de escala $k = 8$.
a) ¿Qué dimensiones tendrá el mural?
b) ¿Qué superficie tendrá?
c) Si un bote de pintura cubre $2\ \text{m}^2$, ¿cuántos botes necesitará como mínimo?
a) La razón de las áreas de dos figuras planas semejantes es $9$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados? ¿Y la razón entre sus perímetros? b) Los volúmenes de…
a) La razón de las áreas de dos figuras planas semejantes es $9$. ¿Cuál es la razón de semejanza entre sus lados? ¿Y la razón entre sus perímetros?
b) Los volúmenes de dos cuerpos semejantes están en razón $\frac{27}{8}$. ¿Cuál es la razón de semejanza?
c) Las áreas de dos parcelas semejantes están en razón $\frac{1}{4}$. ¿Cuál es la razón de sus lados?
Calcular con la razón de volúmenes
Igual que antes, pero con raíz cúbica: si conoces cómo cambia el volumen, $k$ sale de $\sqrt[3]{\,}$.
Para la maqueta de un barrio se han construido dos casitas semejantes con razón de semejanza $1,5$. La casita pequeña necesitó $7,2\ \text{dm}^2$ de cartulina y su…
Para la maqueta de un barrio se han construido dos casitas semejantes con razón de semejanza $1,5$. La casita pequeña necesitó $7,2\ \text{dm}^2$ de cartulina y su volumen interior es de $6,4$ litros.
a) ¿Cuánta cartulina se necesitará para la casita grande?
b) ¿Cuál será su volumen interior?
Un proyector forma un cuadrado de $1,5$ m de lado sobre una pantalla situada a $3$ m. Al alejar la pantalla hasta $6$ m, la imagen sigue siendo cuadrada y su lado se…
Un proyector forma un cuadrado de $1,5$ m de lado sobre una pantalla situada a $3$ m. Al alejar la pantalla hasta $6$ m, la imagen sigue siendo cuadrada y su lado se duplica, como se muestra en la figura.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza entre las dos imágenes? ¿Cuánto mide el lado del cuadrado a $6$ m?
b) ¿Cuántas veces mayor es el área de la imagen lejana que la de la cercana?
c) Como la misma cantidad de luz se reparte por toda la superficie, ¿con qué fracción de brillo por metro cuadrado se ve la imagen a $6$ m respecto a $3$ m?
d) ¿A qué distancia habría que colocar la pantalla para que el área de la imagen fuera $9$ veces la inicial?
Maquetas, mapas y cuánto cuesta ampliar
Estas razones aparecen en cosas muy cotidianas: cuánto cristal necesita una pecera, cuánto cuesta llenar de agua un depósito más grande, o cuánto terreno real ocupa una finca dibujada en un mapa.
Dos peceras son semejantes: la pequeña mide $40$ cm de largo y la grande, $80$ cm. a) ¿Cuál es la razón de semejanza? b) Si el cristal de la pecera pequeña costó…
Dos peceras son semejantes: la pequeña mide $40$ cm de largo y la grande, $80$ cm.
a) ¿Cuál es la razón de semejanza?
b) Si el cristal de la pecera pequeña costó $30\text{ €}$, ¿cuánto costará el de la grande, al mismo precio por superficie?
c) Si llenar de agua la pequeña cuesta $5\text{ €}$, ¿cuánto costará llenar la grande?
Una empresa de mudanzas quiere «duplicar la capacidad» de sus cajas cúbicas y decide fabricarlas con la arista el doble de larga. El jefe afirma: «Así cabrá el doble de…
Una empresa de mudanzas quiere «duplicar la capacidad» de sus cajas cúbicas y decide fabricarlas con la arista el doble de larga. El jefe afirma: «Así cabrá el doble de cosas».
a) Explica el error del jefe.
b) ¿Cuántas veces más capacidad tendrá realmente la nueva caja?
c) Si la caja pequeña tiene un volumen de $27\ \text{dm}^3$, ¿cuál será el volumen de la nueva?