Semejanza de figuras

Polígonos semejantes

Escalas: de mapas a planos de arquitecto

Una escala $1:n$ dice cuántas veces es más grande la realidad que el dibujo. El dibujo y la realidad son dos figuras semejantes con $k = n$.

Perímetro, área y volumen según $k$

De las caras a los sólidos semejantes

La misma regla vale para cuerpos geométricos completos: dos cajas, dos latas o dos piezas con la misma forma pero distinto tamaño son sólidos semejantes, y su volumen se multiplica por $k^3$.

Comparar razones de área, perímetro y volumen entre ellas

A veces el dato que te dan no es $k$ directamente, sino la razón entre dos áreas, entre dos perímetros o entre dos volúmenes. Hay que deshacer el camino: de área a $k$ con raíz cuadrada, de volumen a $k$ con raíz cúbica, y de ahí a lo que te pidan.

Laboratorio de geometría dinámica: transformar y comprobar

Un diseño de baldosas debe repetir un motivo sin deformarlo. Con GeoGebra u otra aplicación de geometría dinámica, construye el triángulo $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(1,3)$ y mide lados, perímetro y área. Su base mide $3$, su altura $2$ y su área $3$ unidades cuadradas.

1. Define el vector $(3,1)$ y usa la herramienta de traslación sobre el triángulo completo. Comprueba $A'(4,2)$, $B'(7,2)$, $C'(4,4)$. Predice qué medidas se conservarán antes de consultar la aplicación.

2. Sobre el triángulo original, aplica un giro de 90° antihorario con centro $O(0,0)$. Debes obtener $(-1,1)$, $(-1,4)$, $(-3,1)$. Comprueba las distancias al centro y las longitudes.

3. Refleja el original respecto al eje X con la herramienta de simetría axial: $(1,-1)$, $(4,-1)$, $(1,-3)$. Se conservan longitudes, ángulos y área, pero se invierte la orientación.

4. Aplica al original una homotecia de razón 2 y centro O: $(2,2)$, $(8,2)$, $(2,6)$. Las longitudes y el perímetro se duplican; el área pasa de $3$ a $12$. Esto es semejanza, no una isometría.

5. Arrastra C hasta $(1,4)$, dejando A y B fijos. Las imágenes deben actualizarse automáticamente. El área original ahora es $4{,}5$ y la ampliada $18$. Comprueba que las tres isometrías mantienen el área nueva. Si las imágenes no se mueven, habías dibujado copias independientes: reconstruye la transformación vinculada al original.

El esquema muestra una traslación: todos los vértices se desplazan por el mismo vector.

Conjetura y justificación: las isometrías conservan distancias. La comprobación con varios dibujos aporta evidencia, pero no demuestra todos los casos. En una traslación, las diferencias entre coordenadas no cambian: $(x_2+u)-(x_1+u)=x_2-x_1$ y lo mismo con Y; por eso la fórmula de la distancia conserva su valor. En una homotecia de razón positiva k, esas diferencias se multiplican por k y las distancias también.

Crea y depura instrucciones: escribe un procedimiento para transformar cualquier punto $P(x,y)$. Trasladar: $(x+3,y+1)$; girar 90° antihorario sobre O: $(-y,x)$; reflejar en X: $(x,-y)$. Un compañero propone $(y,x)$ para el giro: pruébalo con $(1,0)$ y $(0,1)$ y explica por qué el segundo caso revela el error. Modifica el algoritmo para un giro horario, $(y,-x)$, y compruébalo con ambos puntos.

Cooperación: una persona construye, otra mide y otra busca contraejemplos; rotad. Si una conjetura falla, guardad el caso y explicad qué condición faltaba. Escuchad todas las propuestas y distribuid el uso de la herramienta sin atribuir habilidades al género. Para resolver un desacuerdo, acordad un caso de prueba. Si te bloqueas, identifica la transformación y ensáyala con un solo punto antes de volver al triángulo.

Matemáticas, aportaciones y reconocimiento

Busca en una fuente científica o educativa una aportación de una matemática a la geometría, la simetría o sus aplicaciones. Anota su nombre, el problema que estudió y la fuente; explica la idea con tus palabras y relaciónala con el laboratorio. Comparad qué nombres conocíais antes y cuáles no: la visibilidad histórica no demuestra diferencias de capacidad por género. Incorporad las aportaciones de todas las personas del equipo a la presentación.

Resumen