Exercicis: Semblança de figures

Observa els dos polígons semblants de la figura. Calcula la longitud dels tres costats desconeguts del segon polígon sabent que el costat corresponent al de $3 \text{ cm}$ mesura $6 \text{ cm}$.

Determina si dos rectangles són semblants sabent que les dimensions del primer són $15 \text{ cm}$ de base per $10 \text{ cm}$ d'altura, i les del segon són $24 \text{ cm}$ de base per $16 \text{ cm}$ d'altura. Justifica la teva resposta.

En un mapa dissenyat a escala $1:25 000$, la distància en línia recta entre dos pobles és de $8 \text{ cm}$. Calcula quina és la distància real entre tots dos pobles expressada en quilòmetres.

La distància real en línia recta entre dues ciutats és de $120 \text{ km}$. Si les volem representar en un mapa a escala $1:500 000$, a quina distància estaran separades en el mapa, expressada en centímetres?

Dos triangles són semblants amb una raó de semblança $k = 3$. Si el perímetre del triangle menor és de $14 \text{ cm}$, quin és el perímetre del triangle major?

L'àrea d'un quadrat és de $16 \text{ cm}^2$. Si construïm un quadrat semblant aplicant una raó de semblança $k = 2,5$, quina serà l'àrea del nou quadrat?

Una caixa d'embalatge amb forma d'ortoedre té un volum de $50 \text{ dm}^3$. Si fabriquem una caixa semblant les dimensions de la qual són exactament el doble que les de l'original, quin serà el seu volum?

Les àrees de dos pentàgons regulars són $25 \text{ cm}^2$ i $100 \text{ cm}^2$. Quina és la raó de semblança entre els costats del pentàgon major respecte als costats del pentàgon menor?

En Marcos vol encarregar una lona publicitària per a les festes patronals del seu poble a partir d'un cartell original en paper. El disseny original fa $40\text{ cm}$ d'amplada per $60\text{ cm}$ d'alçària, i la impremta li va cobrar $6\text{ \euro}$. Per col·locar a l'escenari de la plaça, en Marcos decideix encarregar una lona semblant augmentant totes les dimensions lineals al triple (raó de semblança $k = 3$). En calcular el pressupost necessari, en Marcos afirma: «Com que els costats es multipliquen per $3$, el preu de la lona serà el triple del cartell petit, és a dir, $3 \cdot 6 = 18\text{ \euro}$».

1. a) Identifica l'error conceptual comès per en Marcos i explica detalladament per què no és correcte aplicar la raó d'escala lineal $k$ al cost del material.
2. b) Quina raó d'escala s'ha d'aplicar per conèixer la variació de la superfície de la lona respecte al cartell petit?
3. c) Sabent que el cost d'impressió és proporcional a la superfície de material utilitzat, calcula el preu real que en Marcos hauria de pressupostar per a la lona gegant.

Segons el reglament oficial de la Federació Espanyola de Bàsquet (FEB), una pista de bàsquet té unes dimensions de $28\text{ m}$ de longitud per $15\text{ m}$ d'amplada. L'ajuntament d'un municipi exposarà una maqueta plana semblant de les instal·lacions a escala $1:50$.

1. a) Abans de fer càlculs numèrics exactes, estima mentalment si la superfície de la maqueta serà més gran, més petita o semblant a l'àrea d'un full de paper estàndard DIN A4 (les dimensions aproximades del qual són $21\text{ cm} \times 30\text{ cm}$, és a dir, uns $630\text{ cm}^2$). Justifica la teva predicció.
2. b) Expressa les dimensions de la pista real en centímetres i calcula la llargada i l'amplada de la maqueta.
3. c) Troba l'àrea de la maqueta en centímetres quadrats i comprova si la teva estimació inicial era encertada (indica aproximadament a quants folis DIN A4 equival la seva superfície).
4. d) Comprova que la relació entre l'àrea de la pista real i l'àrea de la maqueta coincideix exactament amb $k^2$.

En una pizzeria, una pizza petita de $20 \text{ cm}$ de diàmetre costa $6 \text{ \euro}$. Si el preu és estrictament proporcional a l'àrea de la pizza, quant hauria de costar una pizza familiar de $30 \text{ cm}$ de diàmetre?

Una maqueta d'un rascacel és construïda a escala $1:200$. Si el volum de la maqueta és de $1,5 \text{ dm}^3$, calcula el volum real del rascacel expressat en metres cúbics.

Els costats d'un quadrilàter mesuren $4$, $6$, $7$ i $9 \text{ cm}$. Un quadrilàter semblant a aquest té un perímetre total de $65 \text{ cm}$. Calcula la longitud de cadascun dels costats del quadrilàter major.

Un pot cilíndric de pintura té una capacitat de $2 \text{ litres}$ i la seva altura és de $15 \text{ cm}$. Es vol fabricar un pot semblant que tingui una capacitat de $16 \text{ litres}$. Quina serà l'altura del nou pot?

En un plànol topogràfic a escala $1:10 000$, una parcel·la agrícola ocupa una àrea de $12 \text{ cm}^2$. Calcula l'àrea real de la parcel·la en hectàrees. (Recorda que $1 \text{ hectàrea} = 10 000 \text{ m}^2$).

Observa el plànol adjunt. Sabent que la parcel·la ombrejada té una àrea en el paper de $12 \text{ cm}^2$ i que l'escala gràfica indica $1:5000$, calcula l'àrea real de la parcel·la en metres quadrats.

Per pintar la façana d'una casa de nines s'han utilitzat $50 \text{ ml}$ de pintura. Si volem pintar la façana d'una casa real que és $12$ vegades més gran en totes les seves dimensions lineals, quants litres de pintura necessitarem suposant que totes dues façanes són figures semblants?

Dues esferes són semblants. L'àrea de la superfície de l'esfera major és $9$ vegades l'àrea de la superfície de la menor. Si el volum de l'esfera menor és de $4 \text{ cm}^3$, quin és el volum de l'esfera major?

Una empresa d'envasos sostenibles fabrica tres models de caixes de regal amb formes polièdriques semblants: Model A (petit), Model B (mitjà) i Model C (gran). L'equip de disseny disposa únicament de dades relatives de superfície i volum entre elles:

• Per folrar exteriorment la caixa B cal exactament $2,25$ vegades més paper que per folrar la caixa A (la raó entre les seves àrees totals és $2,25$).

• La capacitat interior de la caixa C és exactament $3,375$ vegades el volum de la caixa A.

1. a) Dedueix i calcula la raó de semblança lineal $k$ de la caixa B respecte a la A, i la raó de semblança lineal $k$ de la caixa C respecte a la A. A partir dels resultats, quina relació geomètrica hi ha entre la caixa B i la caixa C?
2. b) Si l'aresta principal de la caixa A fa $12\text{ cm}$, calcula quant fan les arestes corresponents de les caixes B i C.
3. c) Si la caixa A necessita $240\text{ cm}^2$ de cartó i emmagatzema un volum de $400\text{ cm}^3$, calcula directament (utilitzant les raons d'àrea i de volum corresponents) el cartó necessari per fabricar la caixa C i la capacitat en $\text{cm}^3$ de la caixa B.

En una cooperativa olivera de Jaén s'envasa oli d'oliva verge extra (OOVE) en llaunes metàl·liques de disseny cilíndric geomètricament semblants. Disposen de dos formats: una llauna individual d'$1\text{ litre}$ i una llauna familiar de $5\text{ litres}$. En l'envàs d'$1\text{ litre}$, l'alçària fa $18\text{ cm}$ i calen $587\text{ cm}^2$ de llauna per fabricar la seva superfície total.

1. a) Sabent que la capacitat mesura el volum ($1\text{ litre} = 1\text{ dm}^3$), calcula la raó de semblança lineal $k$ entre la llauna familiar i la llauna individual (calcula $k = \sqrt[3]{5}$ arrodonint a dues xifres decimals).
2. b) Calcula l'alçària de la llauna familiar de $5\text{ litres}$. Es multiplica l'alçària per $5$ en quintuplicar la capacitat? Justifica la teva resposta a partir de les propietats de la semblança tridimensional.
3. c) Un operari creu que per fabricar la llauna de $5\text{ litres}$ caldrà el quíntuple de llauna ($5 \cdot 587 = 2935\text{ cm}^2$). Calcula la superfície real de llauna necessària aplicant $k^2$ i raona per què a la cooperativa li resulta més econòmic en material envasar en el format gran que en el petit.

Demostra raonadament si l'afirmació següent és vertadera o falsa: "Tots els rectangles són semblants entre si, ja que tots els seus angles interiors mesuren $90^\circ$". Què passa en el cas dels rombes? Justifica la teva resposta utilitzant les condicions de semblança de polígons.

En ampliar una fotografia rectangular en un programa d'edició, la seva àrea s'ha incrementat en un $69\%$. Determina quina és la raó de semblança $k$ aplicada en l'ampliació i calcula en quin percentatge ha augmentat el perímetre de la fotografia.

Una peça d'enginyeria de titani pesa $4,5 \text{ kg}$. Es fabricarà una peça geomètricament semblant però de mida reduïda, que ha de pesar exactament $500 \text{ grames}$. Si la peça original té una longitud màxima de $30 \text{ cm}$, quina serà la longitud màxima de la nova peça reduïda?

L'àrea de la base d'una piràmide és de $45 \text{ cm}^2$ i el seu volum és de $180 \text{ cm}^3$. Es tallà la piràmide per un pla paral·lel a la base, i s'obté un tronc de piràmide i una piràmide menor a la part superior. Si l'àrea de la base de la piràmide menor és de $20 \text{ cm}^2$, calcula el seu volum.

Observa la figura on un con d'altura $H$ i volum $V$ es tallà per un pla paral·lel a la base a una altura $h$ mesurada des del vèrtex. Si volem que el volum del con petit sigui exactament la meitat del volum del con gran ($\frac{V}{2}$), quin ha de ser el valor exacte de la raó $\frac{h}{H}$? Expressa el resultat utilitzant radicals.

Un dipòsit d'aigua cilíndric costa $120 \text{ \euro}$ pintar-lo per fora i omplir-lo d'aigua costa $400 \text{ \euro}$. Es construeix un dipòsit semblant que té una altura un $50\%$ major. Calcula el cost total de pintar i omplir el nou dipòsit, suposant que les tarifes per metre quadrat de pintura i per litre d'aigua es mantenen constants.

Una empresa fabrica llaunes cilíndriques semblants. La llauna A requereix $150 \text{ cm}^2$ de llauna per a la seva fabricació i conté $300 \text{ ml}$ de suc. Si la llauna B requereix $540 \text{ cm}^2$ de llauna per ser fabricada, quants mil·litres de suc conté?

Es construeix una successió de figures planes de la manera següent: la primera figura té una àrea de $100 \text{ cm}^2$. Cada figura posterior és semblant a l'anterior amb una raó de semblança $k = \frac{3}{4}$. Escriu l'expressió de l'àrea de la figura $n$-èsima i calcula a partir de quina figura l'àrea serà estrictament menor de $10 \text{ cm}^2$.

Un ajuntament projecta construir una nova zona enjardinada de forma triangular que sigui semblant a un parc infantil ja existent. Al parc actual, que té forma de triangle rectangle, els catets fan $15\text{ m}$ i $20\text{ m}$, i la hipotenusa fa $25\text{ m}$. La nova plaça ha de tenir una superfície total projectada de $1500\text{ m}^2$. Per encarregar la tanca perimetral, els tècnics necessiten conèixer amb exactitud el perímetre de la nova plaça.

A l'oficina tècnica sorgeixen dues propostes de càlcul:

• Mètode 1 (Aïllament de costats): Trobar l'àrea del parc actual, plantejar un sistema de proporcions per calcular individualment la nova base i la nova alçària, obtenir la nova hipotenusa mitjançant el teorema de Pitàgores i sumar els tres costats.

• Mètode 2 (Ús global de raons de semblança): Trobar l'àrea del parc actual, calcular la raó d'àrees $k^2$, obtenir la raó lineal $k = \sqrt{k^2}$, calcular el perímetre del parc actual i multiplicar-lo per $k$.

1. a) Desenvolupa completament la resolució utilitzant el Mètode 2 i troba els metres de tanca necessaris.
2. b) Justifica detalladament per què el Mètode 2 és més eficient i comet menys errors d'arrodoriment que el Mètode 1.
3. c) Si la parcel·la fos un polígon irregular de $7$ costats sense angles rectes coneguts en lloc d'un triangle rectangle, explica per què el Mètode 1 resultaria inviable amb les dades de l'enunciat mentre que el Mètode 2 s'aplicaria exactament igual.

Per a una exposició sobre el transport al Museu del Ferrocarril de Madrid, Renfe encarrega una maqueta a escala $1:87$ (la clàssica escala ferroviària H0) d'un cotxe de viatgers d'alta velocitat Avril (S-106). El vagó real fa $20\text{ m}$ de longitud, té una superfície exterior de xapa de $180\text{ m}^2$ i un volum interior útil de $75\text{ m}^3$.

1. a) Calcula la longitud del vagó de la maqueta en centímetres, arrodonint a una xifra decimal.
2. b) Per pintar l'exterior de la maqueta s'adquireix un pot de pintura de modelisme que arriba per cobrir un màxim de $350\text{ cm}^2$. Converteix l'àrea real del vagó a $\text{cm}^2$, aplica l'escala de superfícies i justifica raonadament si un sol pot de pintura serà suficient per pintar tota la maqueta.
3. c) Un visitant del museu afirma: «Com que l'escala és $1:87$, el volum d'aire que cap dins de la maqueta serà $75 / 87 \approx 0,86\text{ m}^3$, és a dir, uns $860\text{ litres}$». Demostra mitjançant el càlcul del volum de la maqueta (en $\text{cm}^3$) per què aquesta afirmació representa un disbarat físic, i determina a quants mil·lilitres equival aproximadament la capacitat real del model a escala.