Eventos dependientes
Sacas dos cartas de la baraja sin devolver la primera. Un médico interpreta el resultado de una prueba diagnóstica. En ambos casos, lo que ya ha pasado cambia las probabilidades de lo que puede pasar después: son sucesos dependientes, y hace falta una herramienta nueva para tratarlos: la probabilidad condicionada.
Probabilidad condicionada
En una clase de $30$ estudiantes, $18$ son chicas. Se sabe que $12$ chicas y $5$ chicos estudian francés. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y resulta…
En una clase de $30$ estudiantes, $18$ son chicas. Se sabe que $12$ chicas y $5$ chicos estudian francés. Si se selecciona al azar un estudiante de esta clase y resulta ser chica, calcula la probabilidad de que estudie francés.
En una encuesta realizada a $200$ personas sobre su preferencia entre té y café, se obtuvieron los siguientes datos: $120$ prefieren café, de los cuales $70$ son…
En una encuesta realizada a $200$ personas sobre su preferencia entre té y café, se obtuvieron los siguientes datos: $120$ prefieren café, de los cuales $70$ son mujeres. Si en total hay $110$ mujeres en la encuesta, calcula la probabilidad de que una persona elegida al azar prefiera té, sabiendo que es hombre.
Regla del producto para sucesos dependientes
Cuando se extrae sin reemplazamiento (no se devuelve lo extraído), la composición cambia para la siguiente extracción: las extracciones son dependientes.
En una caja hay $8$ bombillas LED, de las cuales $3$ están fundidas. Si se extraen dos bombillas al azar, una tras otra y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de…
En una caja hay $8$ bombillas LED, de las cuales $3$ están fundidas. Si se extraen dos bombillas al azar, una tras otra y sin reemplazamiento, calcula la probabilidad de que ambas funcionen correctamente.
En un cajón hay $5$ calcetines negros y $3$ calcetines azules, todos mezclados. Si sacas dos calcetines a oscuras, uno tras otro, calcula la probabilidad de que los dos…
En un cajón hay $5$ calcetines negros y $3$ calcetines azules, todos mezclados. Si sacas dos calcetines a oscuras, uno tras otro, calcula la probabilidad de que los dos sean azules.
Diagramas de árbol con sucesos dependientes
El diagrama de árbol es la forma más clara de organizar varias etapas dependientes: cada rama lleva escrita la probabilidad condicionada a lo ya ocurrido, y cada camino completo se calcula multiplicando sus ramas.
El siguiente diagrama de árbol muestra las probabilidades de que un jugador de baloncesto enceste ($E$) o falle ($F$) su primer y segundo tiro libre. Observa las…
El siguiente diagrama de árbol muestra las probabilidades de que un jugador de baloncesto enceste ($E$) o falle ($F$) su primer y segundo tiro libre. Observa las probabilidades condicionadas y calcula la probabilidad de que el jugador falle el primer tiro y enceste el segundo.
En un juego de mesa, un cofre contiene $6$ monedas de oro y $4$ monedas de plata. Un jugador extrae dos monedas sin mirar, una tras otra y sin reemplazamiento. Basándote…
En un juego de mesa, un cofre contiene $6$ monedas de oro y $4$ monedas de plata. Un jugador extrae dos monedas sin mirar, una tras otra y sin reemplazamiento. Basándote en el esquema del diagrama de árbol, calcula la probabilidad de que las dos monedas extraídas sean de distinto material.
Probabilidad total
Cuando un resultado puede llegar por varios caminos distintos que cubren todas las posibilidades (por ejemplo, pasar antes por una urna u otra, o por un grupo de población u otro), se suma la probabilidad de cada camino.
En un hospital, el $40\%$ de los pacientes están ingresados por enfermedades respiratorias. De ellos, el $15\%$ son fumadores. Entre los pacientes ingresados por otras…
En un hospital, el $40\%$ de los pacientes están ingresados por enfermedades respiratorias. De ellos, el $15\%$ son fumadores. Entre los pacientes ingresados por otras causas, el $20\%$ son fumadores. Si se elige a un paciente al azar y resulta ser fumador, ¿cuál es la probabilidad de que esté ingresado por una enfermedad respiratoria?
Disponemos de dos urnas y un dado equilibrado de seis caras. Lanzamos el dado: si sale un número menor que $3$, extraemos una bola de la urna $A$; en caso contrario,…
Disponemos de dos urnas y un dado equilibrado de seis caras. Lanzamos el dado: si sale un número menor que $3$, extraemos una bola de la urna $A$; en caso contrario, extraemos una bola de la urna $B$. Observa la composición de las urnas en la imagen y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
Revisar la causa a partir del efecto
Una pregunta frecuente en medicina es la inversa: si el resultado de una prueba ha sido positivo, ¿cuál es la probabilidad real de estar enfermo? Hay que "dar la vuelta" a la condicionada con la misma fórmula de probabilidad condicionada, apoyándose en la probabilidad total para el denominador.
Una prueba de detección para una enfermedad tiene una fiabilidad del $95\%$ para detectar a los enfermos y del $90\%$ para dar negativo en personas sanas. Se sabe que el…
Una prueba de detección para una enfermedad tiene una fiabilidad del $95\%$ para detectar a los enfermos y del $90\%$ para dar negativo en personas sanas. Se sabe que el $2\%$ de la población padece esta enfermedad. Si una persona se somete a la prueba y el resultado es positivo, calcula la probabilidad de que realmente esté enferma.
En una empresa tecnológica, el $60\%$ de los empleados son programadores, el $30\%$ son diseñadores y el $10\%$ son gerentes. El $80\%$ de los programadores, el $40\%$…
En una empresa tecnológica, el $60\%$ de los empleados son programadores, el $30\%$ son diseñadores y el $10\%$ son gerentes. El $80\%$ de los programadores, el $40\%$ de los diseñadores y el $90\%$ de los gerentes hablan inglés fluido. Se selecciona un empleado al azar y se descubre que no habla inglés fluido. Calcula la probabilidad de que este empleado sea diseñador.