Exercicis: Successos dependents

En una caixa hi ha $8$ bombetes LED, de les quals $3$ estan foses. Si s'extreuen dues bombetes a l'atzar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament, calcula la probabilitat que totes dues funcionin correctament.

D'una baralla espanyola de $40$ cartes s'extreuen dues cartes consecutivament i sense tornar-les a la baralla. Determina la probabilitat que la primera sigui un rei i la segona sigui un as.

En una classe de $30$ estudiants, $18$ són noies. Es sap que $12$ noies i $5$ nois estudien francès. Si es tria a l'atzar un estudiant d'aquesta classe i resulta ser una noia, calcula la probabilitat que estudiï francès.

Siguin $A$ i $B$ dos successos d'un experiment aleatori tals que $P(A) = 0,4$, $P(B) = 0,5$ i $P(A \cap B) = 0,25$. Comprova matemàticament si els successos $A$ i $B$ són dependents o independents.

En un calaix hi ha $5$ mitjons negres i $3$ mitjons blaus, tots barrejats. Si treus dos mitjons a les fosques, l'un rere l'altre, calcula la probabilitat que tots dos siguin blaus.

El diagrama d'arbre següent mostra les probabilitats que un jugador de bàsquet encistelli ($E$) o falli ($F$) el seu primer i segon tir lliure. Observa les probabilitats condicionades i calcula la probabilitat que el jugador falli el primer tir i encistelli el segon.

En un refugi d'animals hi ha gossos i gats. La probabilitat de triar un gos a l'atzar és $0,6$. Si sabem que l'animal triat és un gos, la probabilitat que tingui collaret és $0,8$. Quina és la probabilitat de triar a l'atzar un animal que sigui gos i a més tingui collaret?

D'una urna que conté $4$ boles vermelles i $6$ boles verdes s'extreuen tres boles consecutivament i sense reemplaçament. Calcula la probabilitat que les tres boles extretes siguin vermelles.

La Lucía està resolent un problema de classe: «En una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extreuen dues cartes consecutives sense reemplaçament. Quina és la probabilitat que totes dues siguin copes?». La Lucía escriu al seu quadern:

«Hi ha $10$ copes a la baralla, així que la probabilitat de treure copa la primera vegada és $\frac{10}{40}$. Com que el succés no canvia de tipus en la segona extracció, la probabilitat de treure copa una altra vegada torna a ser $\frac{10}{40}$. Per tant, la probabilitat de treure dues copes és $\frac{10}{40} \cdot \frac{10}{40} = \frac{100}{1600} = \frac{1}{16} = 0,0625$».

1. a) Assenyala amb precisió quin error conceptual ha comès la Lucía en considerar que els dos successos són independents.
2. b) Explica com afecta el fet de no reposar la primera carta tant al nombre de casos favorables com al de casos possibles en la segona extracció.
3. c) Fes el càlcul correcte de la probabilitat en forma de fracció irreductible i en nombre decimal.

En una inspecció de transport de la Dirección General de Tráfico (DGT) en una comarca de Castella i Lleó, els agents retenen un grup de $15$ furgonetes de repartiment de mercaderies. Després de revisar la documentació a l'arxiu central, es comprova que exactament $3$ circulen amb la Inspecció Tècnica de Vehicles (ITV) caducada. Si els agents seleccionen a l'atzar $2$ furgonetes d'aquest grup, una darrere l'altra i sense repetir:

1. a) Modela la situació identificant els successos de cada etapa i indica per què la probabilitat de la segona furgoneta depèn del que ha passat amb la primera.
2. b) Calcula la probabilitat que totes dues furgonetes seleccionades tinguin la ITV completament en regla. Expressa el resultat en forma de fracció irreductible i en percentatge arrodonit a dos decimals.

Un lot de $50$ telèfons mòbils conté $4$ unitats amb defectes de fàbrica. Un inspector de qualitat selecciona a l'atzar $3$ telèfons del lot, un a un i sense reposició. Calcula la probabilitat que cap dels telèfons seleccionats sigui defectuós.

En una enquesta realitzada a $200$ persones sobre la seva preferència entre te i cafè, es van obtenir les dades següents: $120$ prefereixen cafè, de les quals $70$ són dones. Si en total hi ha $110$ dones a l'enquesta, calcula la probabilitat que una persona triada a l'atzar prefereixi te, sabent que és un home.

Disposem de dues urnes i un dau equilibrat de sis cares. Llancem el dau: si surt un nombre menor que $3$, extreiem una bola de l'urna $A$; en cas contrari, extreiem una bola de l'urna $B$. Observa la composició de les urnes a la imatge i calcula la probabilitat que la bola extreta sigui vermella.

Un estudiant té un clauer amb $5$ claus molt semblants, de les quals només una obre la porta de casa seva. Si arriba de nit i prova les claus a l'atzar, descartant les que no funcionen, quina és la probabilitat que aconsegueixi obrir la porta exactament en el tercer intent?

La probabilitat que plogui en una ciutat un dia determinat depèn del temps que va fer el dia anterior. Si avui plou, la probabilitat que plogui demà és $0,7$. Si avui no plou, la probabilitat que plogui demà és $0,2$. Sabent que avui és dilluns i està plovent, calcula la probabilitat que dimecres no plogui.

En un joc de taula, un cofret conté $6$ monedes d'or i $4$ monedes de plata. Un jugador extreu dues monedes sense mirar, l'una rere l'altra i sense reemplaçament. Basant-te en l'esquema del diagrama d'arbre, calcula la probabilitat que les dues monedes extretes siguin de diferent material.

En un hospital, el $40\%$ dels pacients estan ingressats per malalties respiratòries. D'aquests, el $15\%$ són fumadors. Entre els pacients ingressats per altres causes, el $20\%$ són fumadors. Si es tria un pacient a l'atzar i resulta ser fumador, quina és la probabilitat que estigui ingressat per una malaltia respiratòria?

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, extreiem dues cartes a l'atzar i sense reposició. Calcula la probabilitat que almenys una de les cartes extretes sigui un cavall.

Segons sèries climàtiques històriques de l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) per al mes de novembre en una ciutat de la cornisa cantàbrica, el temps presenta una forta persistència: si un dia plou, la probabilitat que plogui l'endemà és de $0,70$; mentre que si un dia no plou, la probabilitat que plogui l'endemà descendeix al $0,30$. Sabem amb certesa que dimarts va ploure intensament.

1. a) Abans de fer càlculs numèrics, estima de manera justificada si la probabilitat que plogui dijous (dos dies després de dimarts) serà superior o inferior al $50\,\%$ ($0,50$).
2. b) Representa mitjançant un diagrama d'arbre els possibles camins per a dimecres i dijous, calcula la probabilitat exacta que dijous plogui i comprova si la teva estimació inicial era correcta, explicant la raó del resultat obtingut.

En un centre de salut d'una capital de província s'analitzen els registres de $1000$ pacients que hi van acudir amb febre durant una campanya hivernal. Del total de pacients, $200$ tenien realment el virus de la grip i $800$ patien altres infeccions víriques comunes. El test ràpid aplicat en el triatge detecta correctament la presència del virus en el $90\,\%$ de les persones que tenen grip, però genera un fals positiu en el $10\,\%$ de les persones que no en tenen. Es vol esbrinar la probabilitat que un pacient triat a l'atzar doni resultat positiu en el test.

Per resoldre-ho, dos estudiants proposen mètodes diferents:

• Mètode 1 (Diagrama d'arbre i probabilitat total): Assignar probabilitats a cada branca ($P(\text{Grip})$, $P(\text{Positiu}\mid\text{Grip})$, etc.) i sumar els camins que condueixen a un test positiu.

• Mètode 2 (Taula de contingència amb freqüències absolutes): Completar una taula $2\times 2$ amb el nombre exacte de persones a cada categoria i dividir el total de positius entre $1000$.

1. a) Aplica tots dos mètodes per calcular aquesta probabilitat i comprova que s'arriba exactament al mateix valor.
2. b) Compara tots dos camins: quin consideres més clar i amb menys risc d'error per explicar-lo a persones no especialistes en matemàtiques? Justifica la teva resposta valorant pros i contres de cadascun.

Una urna conté $x$ boles blanques i $5$ boles negres. Si s'extreuen dues boles a l'atzar i sense reemplaçament, la probabilitat que totes dues siguin blanques és $\frac{1}{6}$. Planteja l'equació corresponent i determina el nombre inicial de boles blanques que hi ha a l'urna.

Una prova de detecció per a una malaltia té una fiabilitat del $95\%$ per detectar els malalts i del $90\%$ per donar negatiu en persones sanes. Es sap que el $2\%$ de la població pateix aquesta malaltia. Si una persona es sotmet a la prova i el resultat és positiu, calcula la probabilitat que realment estigui malalta.

Es disposa de dues urnes amb la composició mostrada a la figura. S'extreu una bola a l'atzar de l'urna $I$ i, sense mirar-ne el color, s'introdueix a l'urna $II$. A continuació, s'extreu una bola de l'urna $II$. Calcula la probabilitat que la bola extreta de l'urna $II$ sigui blanca.

En un torneig d'escacs, un jugador s'enfronta a un mateix rival en una sèrie al millor de tres partides (guanya el primer a aconseguir dues victòries). La probabilitat de guanyar la primera partida és $0,5$. Si guanya una partida, la seva confiança augmenta i la probabilitat de guanyar la següent és $0,6$. Si perd, la seva probabilitat de guanyar la següent baixa a $0,4$. Suposant que no hi ha taules, calcula la probabilitat que aquest jugador guanyi el torneig.

Es tenen tres caixes idèntiques per fora. La caixa $A$ conté $2$ monedes d'or, la caixa $B$ conté $2$ monedes de plata, i la caixa $C$ conté $1$ moneda d'or i $1$ de plata. Es tria una caixa a l'atzar i d'aquesta s'extreu una moneda a l'atzar, que resulta ser d'or. Quina és la probabilitat que l'altra moneda que queda en aquesta mateixa caixa també sigui d'or?

Un sistema d'alarma consta de dos sensors, $A$ i $B$. En condicions normals, el sensor $A$ falla el $5\%$ de les vegades i el sensor $B$ el $8\%$ de les vegades. Tanmateix, a causa d'interferències elèctriques conjuntes, la probabilitat que el sensor $B$ falli sabent que el sensor $A$ ha fallat augmenta al $30\%$. Calcula la probabilitat que, davant d'una intrusió, el sistema complet falli (és a dir, que fallin tots dos sensors).

D'una baralla espanyola de $40$ cartes, s'extreuen tres cartes consecutivament i sense reposició. Calcula la probabilitat de treure exactament dos reis i un cavall, tenint en compte que poden aparèixer en qualsevol ordre.

En una empresa tecnològica, el $60\%$ dels empleats són programadors, el $30\%$ són dissenyadors i el $10\%$ són gerents. El $80\%$ dels programadors, el $40\%$ dels dissenyadors i el $90\%$ dels gerents parlen anglès fluidament. Es selecciona un empleat a l'atzar i es descobreix que no parla anglès fluidament. Calcula la probabilitat que aquest empleat sigui dissenyador.

En una planta conservera de les Rías Baixas (Galícia), l'envasament de musclo es reparteix entre dues línies automatitzades, $L_1$ i $L_2$. La línia $L_1$ assumeix el $60\,\%$ de la producció diària i la línia $L_2$ el $40\,\%$ restant. Les auditories de qualitat assenyalen que la probabilitat que una llauna procedent de $L_1$ presenti un tancament defectuós és de $0,01$ ($1\,\%$). La direcció tècnica exigeix que la probabilitat global de trobar una llauna defectuosa en el conjunt de tota la producció del dia no superi el $0,018$ ($1,8\,\%$).

1. a) Planteja una inequació basada en el teorema de la probabilitat total que permeti determinar la taxa màxima de llaunes defectuoses permesa a la línia $L_2$ per complir l'estàndard de la fàbrica.
2. b) Suposant que la línia $L_2$ opera just en aquest límit màxim admissible, si un inspector agafa a l'atzar una llauna de la producció final i comprova que és defectuosa, calcula la probabilitat condicionada que provingui de la línia $L_2$ i interpreta quina línia aporta més llaunes defectuoses al lot final.

Segons estimacions de seguretat viària de la DGT per a nits festives en àrees urbanes, aproximadament el $4\,\%$ dels conductors que circulen ha consumit alcohol per sobre del límit legal. La policia local utilitza en els controls un dispositiu portàtil de cribratge indiciari: si un conductor supera la taxa, el dispositiu dona positiu el $95\,\%$ de les vegades; si no la supera, el dispositiu dona un fals positiu en el $5\,\%$ de les proves.

1. a) Modela la situació mitjançant un diagrama d'arbre amb totes les probabilitats associades i calcula la probabilitat que un conductor triat a l'atzar en aquest control doni positiu en el test portàtil.
2. b) Si a un conductor seleccionat a l'atzar el test indiciari li dona positiu, calcula la probabilitat real que veritablement superi la taxa legal d'alcohol.
3. c) En vista del percentatge obtingut a l'apartat b), raona matemàticament per què la normativa espanyola prohibeix sancionar amb aquesta única prova i exigeix obligatòriament fer un segon mesurament amb un etilòmetre evidencial homologat després de $10$ minuts d'espera.

Repte del tema. Ens arrisquem a organitzar un festival a l'aire lliure? Avaluaràs el risc meteorològic de la teva localitat prenent decisions basades en dades reals.

1. Recollida de dades i esdeveniments: Consulta al web de l'AEMET el registre dels darrers $30$ dies al teu municipi. Anota en un full de càlcul els dies amb pluja ($A$) i els dies amb ratxes de vent fort ($B$). Defineix l'espai mostral i troba la probabilitat de cada esdeveniment aplicant la regla de Laplace (per exemple, $P(A) = 6/30 = 0,20$).

2. Independència i dependència: Analitza si que plogui dos dies seguits són esdeveniments independents o dependents. Calcula al teu full la probabilitat empírica composta que plogui un dia sabent que va ploure l'anterior, $P(L_2 | L_1)$, i compara-la amb $P(L_2)$ per determinar si el temps previ influeix.

3. Informe de decisió: Elabora un informe d'una pàgina amb una taula comparativa calculant la probabilitat que plogui durant tot un cap de setmana sota la hipòtesi d'esdeveniments independents enfront de dependents. Afegeix una proposta raonada sobre si l'organització hauria de contractar una carpa o una assegurança de cancel·lació.

Es valorarà:

• Identificació precisa d'esdeveniments i càlcul correcte de probabilitats mitjançant la regla de Laplace.

• Distinció matemàtica justificada entre esdeveniments dependents i independents a partir de les dades.

• Organització de les dades en full de càlcul i claredat argumentativa en la proposta final.