Exercicis: Identitats notables

Desenvolupa el quadrat de la suma següent utilitzant la identitat notable corresponent: $(4x + 7)^2$.

Desenvolupa el quadrat de la diferència següent aplicant la identitat notable adequada: $(5a^2 - 2b)^2$.

Calcula el producte de la suma per la diferència per a la següent expressió: $(3m^3 + 8n)(3m^3 - 8n)$.

Factoritza el trinomi quadrat perfecte següent expressant-lo com el quadrat d'un binomi: $x^2 + 14x + 49$.

Expressa el polinomi següent com el quadrat d'una diferència: $25y^2 - 60y + 36$.

Factoritza la diferència de quadrats següent: $81z^2 - 100w^6$.

Determina el terme que falta perquè el polinomi següent sigui un trinomi quadrat perfecte: $9x^2 - \dots + 64y^2$.

Aplica les identitats notables per calcular mentalment el valor exacte de $53^2$ utilitzant l'expressió $(50 + 3)^2$.

Lucía està calculant la superfície d'una xapa metàl·lica quadrada que fa $(2x - 3)\text{ metres}$ de costat i necessita desenvolupar l'expressió algebraica per a un informe de taller. Al seu quadern escriu el següent:

$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

1. a) Identifica els dos errors conceptuals que ha comès Lucía en aplicar la identitat notable.
2. b) Explica a Lucía per què el desenvolupament del quadrat d'una diferència ha de donar com a resultat un trinomi i no un binomi, basant-te en la propietat distributiva.
3. c) Escriu el desenvolupament correcte i comprova que el teu resultat no coincideix amb el de Lucía substituint $x = 4$ tant en l'expressió inicial com en totes dues respostes.

Una almàssera cooperativa a Jaén teularà una zona de descàrrega instal·lant panells fotovoltaics sobre una coberta rectangular que fa exactament $52\text{ m}$ de llarg per $48\text{ m}$ d'ample.

1. a) Sense utilitzar calculadora ni paper, estima mentalment l'àrea arrodonint totes dues mesures a $50\text{ m}$. Raona si esperes que l'àrea real de la coberta sigui més gran, més petita o igual que els $2500\text{ m}^2$ que resulten d'aquesta aproximació.
2. b) Escriu les dimensions com el producte d'una suma per una diferència, $(50 + 2)\cdot(50 - 2)$, i calcula mentalment l'àrea exacta aplicant la identitat notable corresponent.
3. c) Comprova la teva estimació inicial calculant la diferència entre el valor exacte i l'estimat. Per què aquesta diferència coincideix exactament amb $2^2\text{ m}^2$?

Un arquitecte dissenya una plaça quadrada de costat $3x + 5$ metres. Al seu interior, hi col·loca una font també quadrada de costat $x - 2$ metres. Obtén el polinomi ordenat i reduït que representa l'àrea de la zona transitable de la plaça.

Desenvolupa l'expressió algebraica següent amb coeficients fraccionaris i redueix els termes: $\left(\frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{4}y\right)^2$.

Simplifica la fracció algebraica següent factoritzant prèviament el numerador i el denominador mitjançant identitats notables: $\frac{x^2 - 16}{x^2 - 8x + 16}$.

Una empresa estima que si fixa el preu d'un producte en $150 + 3x$ euros, aconseguirà vendre $150 - 3x$ unitats. Determina el polinomi que modelitza els ingressos totals i calcula a quant ascendiran els ingressos si $x = 10$.

Simplifica al màxim l'expressió combinada següent reduint els termes semblants: $(2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$.

Un terreny de conreu té forma circular amb un radi de $R$ metres. Es decideix construir un camí perimetral exterior d'amplada $x$ metres. Expressa l'àrea del camí en funció de $R$ i $x$ desenvolupant l'expressió mitjançant identitats notables.

Desenvolupa el cub de la diferència següent aplicant la fórmula corresponent: $(2x - 3)^3$.

Sabent que la suma de dos nombres és $S = x+y = 12$ i el seu producte és $P = xy = 35$, calcula el valor de $x^2 + y^2$ sense esbrinar el valor individual de $x$ i $y$. (Pista: utilitza el desenvolupament de $(x+y)^2$).

El departament d'urbanisme d'un municipi projecta una zona d'esbarjo infantil rectangular la superfície de la qual ve donada pel polinomi $A(x) = 25x^2 - 36$, amb les mesures expressades en metres i $x > \frac{6}{5}$.

1. a) Determina les expressions algebraiques de la base i de l'altura d'aquesta zona infantil factoritzant el polinomi mitjançant la identitat notable adequada.
2. b) En una segona fase, es decideix transformar el recinte en una plaça totalment quadrada l'àrea de la qual estigui representada pel trinomi $25x^2 + kx + 36$. Troba el valor positiu del paràmetre $k$ perquè aquest trinomi sigui un quadrat perfecte i dedueix l'expressió del costat de la plaça en funció de $x$.
3. c) Si per a una determinada fase d'obres l'àrea de la zona rectangular original és de $64\text{ m}^2$, calcula el valor numèric de $x$, les mesures dels seus costats i l'àrea que tindrà la nova plaça quadrada.

Dins del pla d'horts urbans comunitaris de Sevilla, es parteix d'un terreny experimental quadrat de costat $x\text{ metres}$. Els tècnics de medi ambient plantegen dues modificacions independents sobre aquest disseny:

• Hort A: Augmentar un costat en $4\text{ m}$ i retallar el costat perpendicular en $4\text{ m}$, obtenint un recinte rectangular de dimensions $(x + 4)$ i $(x - 4)$ metres.

• Hort B: Augmentar tots dos costats en $4\text{ m}$, obtenint una parcel·la quadrada més gran de costat $(x + 4)$ metres.

1. a) Desenvolupa i redueix els polinomis que representen l'àrea de l'Hort A i l'àrea de l'Hort B aplicant les identitats notables pertinents.
2. b) Obtén el polinomi ordenat que expressi en quants metres quadrats supera la superfície de l'Hort B a la de l'Hort A.
3. c) Un portaveu veïnal assegura que l'Hort A té exactament la mateixa superfície que l'hort original de costat $x$ perquè «el que s'afegeix de llarg es treu d'ample». Justifica algebraicament si aquesta afirmació és园 vertadera o falsa i determina quants metres quadrats es guanyen o es perden respecte al terreny inicial.

Calcula el valor o valors del paràmetre $k$ perquè el polinomi $49x^4 + kx^2y^3 + 144y^6$ sigui un trinomi quadrat perfecte.

Es disposa d'una làmina de cartró quadrada de costat $L$ centímetres. Per construir una caixa sense tapa, es retallen quatre quadrats iguals de costat $x$ a cada cantonada i es pleguen les solapes. Obtén el polinomi que expressa l'àrea de la base de la caixa i el polinomi que expressa el seu volum.

Demostra algebraicament que la suma del quadrat de la diferència de dos nombres i quatre vegades el seu producte és igual al quadrat de la suma d'aquests nombres. És a dir, desenvolupa i simplifica per provar que $(a-b)^2 + 4ab = (a+b)^2$.

Factoritza completament el polinomi $16x^4 - 81y^4$, aplicant la identitat de la suma per la diferència tantes vegades com sigui possible en el conjunt dels nombres reals.

Simplifica l'expressió algebraica següent, desenvolupant primer els numeradors i factoritzant els denominadors: $\frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{a^2b - ab^2} \cdot \frac{a-b}{4}$.

Demostra que la diferència dels quadrats de dos nombres senars consecutius és sempre un múltiple de $8$. Utilitza les expressions $2n+1$ i $2n-1$ per representar aquests nombres.

Desenvolupa i simplifica al màxim l'expressió niada següent: $\left( (x+2)^2 - (x-2)^2 \right)^2$.

Una volandera mecànica té forma de corona circular. El seu radi exterior ve donat per l'expressió $R = 5x + 3$ mil·límetres, i el seu radi interior per $r = 5x - 3$ mil·límetres. Determina el polinomi reduït que expressa l'àrea de la cara plana de la volandera.

Per calcular el valor numèric de l'expressió $E(x) = (2x + 5)^2 - (2x - 5)^2$ quan $x = 12,5$, dos alumnes de 4t d'ESO proposen estratègies diferents:

• Mètode de Marcos: Desenvolupar el quadrat de la suma i el quadrat de la diferència de manera independent, restar tots dos trinomis agrupant termes semblants i, finalment, substituir $x = 12,5$.

• Mètode de Sara: Considerar l'expressió completa com una diferència de quadrats de la forma $A^2 - B^2$, transformar-la en producte d'una suma per la seva diferència, simplificar els factors resultants i substituir $x = 12,5$.

1. a) Aplica el mètode de Marcos indicant amb claredat el tractament dels signes en restar.
2. b) Aplica el mètode de Sara treballant l'estructura $[(2x + 5) + (2x - 5)]\cdot[(2x + 5) - (2x - 5)]$.
3. c) Compara tots dos procediments i justifica quin resulta més avantatjós i segur per evitar errades típiques de signe. Explica com es mantindria aquest avantatge si les bases fossin polinomis més llargs, per exemple $(x^2 + 2x + 1)^2 - (x^2 + 2x - 1)^2$.

En un parc eòlic de Castella i Lleó, els protocols tècnics estableixen al voltant de cada aerogenerador una zona de seguretat amb forma de corona circular (la superfície plana compresa entre dues circumferències concèntriques). El radi del cercle interior d'exclusió de maquinària és $R_1 = (2x - 3)\text{ metres}$ i el radi del cercle exterior que delimita l'abast de les pales és $R_2 = (2x + 3)\text{ metres}$, amb $x > 3$.

1. a) Planteja la fórmula de l'àrea d'aquesta corona circular traient com a factor comú el nombre $\pi$: $A = \pi \cdot (R_2^2 - R_1^2)$.
2. b) Sense desenvolupar per separat cada quadrat, aplica la identitat notable de la diferència de quadrats per factoritzar $(R_2^2 - R_1^2)$ i obtén l'expressió polinòmica reduïda de l'àrea de la corona en funció de $x$ i $\pi$.
3. c) Si el mesurament topogràfic certifica que l'àrea d'aquesta corona circular és exactament $144\pi\text{ m}^2$, planteja una equació, calcula el valor de $x$ i determina el radi exterior $R_2$. Raona si un diàmetre de rotor de $2\cdot R_2 = 30\text{ m}$ resulta versemblant per a un aerogenerador de potència mitjana a Espanya.