Exercicis: Nombres naturals

Calcula el resultat de la següent expressió combinada amb nombres naturals, respectant la jerarquia de les operacions:

$15 - 3 \cdot (4 + 2) + 2^3 \cdot 5$

En una divisió entera de nombres naturals, el divisor és $14$, el quocient és $23$ i el residu és $5$. Calcula el valor del dividend.

Simplifica la següent expressió utilitzant les propietats de les potències i expressa el resultat com una única potència:

$2^4 \cdot 5^4 \cdot 10^2$

Calcula el valor exacte de la següent operació amb arrels de nombres naturals:

$\sqrt{144} + \sqrt[3]{125} - \sqrt[4]{16}$

En un restaurant ofereixen un menú que consta de $3$ primers plats, $4$ segons plats i $2$ postres diferents. Quantes combinacions diferents de menú (primer plat, segon i postra) es poden triar?

En una classe de 4t d'ESO, la Lucía intenta calcular de manera ràpida el resultat de l'operació $2^4 \cdot 5^4$ per saber quantes combinacions té un cadenat. Escriu al seu quadern:

$2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^{4+4} = 10^8 = 100\,000\,000$.

La Lucía argumenta: «Com que és una multiplicació de potències, s'han de multiplicar les bases i sempre s'han de sumar els exponents».

1. a) Troba i explica amb claredat l'error conceptual de raonament comès per la Lucía, indicant quines dues propietats diferents de les potències ha barrejat de manera incorrecta.
2. b) Corregeix el càlcul aplicant la propietat adequada per a potències amb el mateix exponent ($a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$) i troba el resultat final exacte sense necessitat de calcular $2^4$ ni $5^4$ per separat.

Un institut de Sevilla organitza una excursió de final de curs al Parc Nacional de Doñana per a $146$ estudiants de 4t d'ESO i docents acompanyants. Per al trasllat, contracten microbusos d'una empresa andalusa que disposen de $24$ places cadascun.

1. a) Modela aquesta situació mitjançant la relació fonamental de la divisió sencera ($D = d \cdot c + r$), identificant quina magnitud real del problema representa el dividend ($D$), el divisor ($d$), el quocient ($c$) i el residu ($r$).
2. b) Fes la divisió sencera i interpreta quants microbusos viatjaran completament plens i quants passatgers ocuparan el microbús que no va complet.
3. c) Raona quants microbusos en total ha de contractar el centre perquè ningú es quedi sense viatjar i calcula quants seients lliures quedaran a l'últim vehicle.

El cometa Halley orbita al voltant del Sol i és visible des de la Terra aproximadament cada $76$ anys. La seva última aparició registrada va ser l'any $1986$. Serà visible l'any $3050$? En cas negatiu, quin serà l'any més pròxim a $3050$ en què es podrà observar?

Utilitza la descomposició en factors primers i les propietats de les potències per simplificar al màxim la següent expressió, donant el resultat com un nombre natural:

$\frac{18^3 \cdot 12^4}{24^2 \cdot 9^4}$

Un agricultor vol plantar $1000$ pomeres formant una quadrícula perfecta (un quadrat amb el mateix nombre d'arbres a cada fila i a cada columna). Quants arbres formaran el costat del quadrat més gran possible? Quantes pomeres li sobraran sense plantar?

En una divisió sencera entre nombres naturals, el divisor és $d = 18$ i se sap que el residu obtingut és exactament el triple del quocient ($r = 3 \cdot c$). El quocient és un nombre natural no nul ($c \ge 1$).

1. a) Tenint en compte la condició obligatòria de la divisió sencera que exigeix que $0 \le r < d$, determina raonadament tots els possibles valors que pot prendre el quocient $c$.
2. b) Per a cadascun dels valors vàlids de $c$, reconstrueix i calcula el dividend $D$ corresponent utilitzant la relació $D = d \cdot c + r$.
3. c) Un company de classe afirma que si el dividend fos $D = 126$, el residu seria $r = 18$. Explica per què aquesta afirmació és matemàticamentGroup impossible en una divisió sencera segons les propietats del residu.

Una cooperativa agrícola de Gandia (València) prepara caixes quadrades de taronges seleccionades per a la seva exportació. Cada pis de la caixa conté una quadrícula de $n \times n$ fruites formant un quadrat perfecte. L'encarregat disposa d'un lot de $500$ taronges acabades de collir i vol formar el pis quadrat més gran possible. Abans de fer comptes, estima «a ull» que el costat de la quadrícula tindrà entre $30$ i $35$ taronges.

1. a) Estima raonadament entre quines dues desenes senceres consecutives s'ha de situar el nombre de taronges per costat, sabent que $20^2 = 400$ i $30^2 = 900$. A partir d'això, valora si la previsió de l'encarregat és raonable o està sobreestimada.
2. b) Comprova calculant els quadrats dels nombres naturals pertinents quin és el quadrat perfecte més gran menor o igual a $500$, deduint quantes taronges per costat tindrà la caixa.
3. c) Calcula quantes taronges sobren del lot de $500$ i quantes en faltarien per poder completar el quadrat perfecte següent. Comprova que la suma d'ambdues quantitats coincideix amb la diferència teòrica entre dos quadrats consecutius ($2n + 1$).

Observa el comportament de les potències de $7$ ($7^1=7$, $7^2=49$, $7^3=343$, $7^4=2401$, $7^5=16807$, ...). Utilitza el patró que segueixen les xifres de les unitats per determinar quina serà l'última xifra del nombre $7^{2025}$.

Un mosaic quadrat està format per rajoles quadrades de $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm}$. L'artista decideix ampliar el mosaic afegint una fila i una columna més de rajoles a les vores per formar un quadrat més gran. Si per a aquesta ampliació ha necessitat $41$ rajoles noves, quantes rajoles formaven el mosaic original?

Per calcular el valor numèric de l'expressió $\frac{6^5 \cdot 5^5}{15^4 \cdot 2^4}$, tres estudiants de 4t d'ESO plantegen estratègies diferents:

• L'Aitor proposa calcular el valor desenvolupat de cada potència ($6^5 = 7776$, $5^5 = 3125$, etc.), multiplicar els numeradors i els denominadors i, finalment, dividir els dos nombres resultants.

• La Bea proposa descompondre les bases en factors primers ($6 = 2 \cdot 3$ i $15 = 3 \cdot 5$), aplicar les propietats de les potències amb la mateixa base per agrupar els factors $2$, $3$ i $5$, i simplificar restant exponents.

• El Carlos proposa observar que al numerador ambdues potències comparteixen l'exponent $5$ i al denominador ambdues comparteixen l'exponent $4$, de manera que agrupa les bases: $(6 \cdot 5)^5$ al numerador i $(15 \cdot 2)^4$ al denominador.

1. a) Desenvolupa pas a pas la resolució completa seguint el mètode de la Bea i seguint el mètode del Carlos fins a obtenir el resultat final natural.
2. b) Compara els tres mètodes argumentant avantatges i inconvenients de cadascun quant a temps, dificultat de càlcul manual i probabilitat de cometre errors.
3. c) Justifica quin és el mètode més eficient per a aquest cas concret i raona per què el mètode de l'Aitor resultaria totalment inviable si els exponents fossin $50$ i $40$ en lloc de $5$ i $4$.

A Espanya, la lletra de control del Document Nacional d'Identitat (DNI) s'obté mitjançant un algorisme matemàtic oficial del Ministeri de l'Interior: es pren el nombre natural de 8 xifres del DNI ($D$) i es divideix entre $23$. El residu d'aquesta divisió sencera ($r$) determina la lletra assignada segons una taula fixa de 23 caràcters oficials (on $0$ correspon a la T, $1$ a la R, ..., i $22$ a la E).

1. a) Basant-te en la relació fonamental de la divisió sencera ($D = 23 \cdot c + r$), justifica matemàticament per què la taula oficial ha de tenir exactament 23 lletres diferents i per què ésGroup impossible que a un DNI li correspongui un residu igual o superior a 23.
2. b) Dues germanes bessones de Saragossa tenen nombres de DNI correlatius: el de la Sofía és $D$ i el de l'Elena és $D + 1$. Si el DNI de la Sofía dóna un residu $r = 14$, dedueix quin serà el residu del DNI de l'Elena i raona si totes dues tindran la mateixa lletra o lletres diferents.
3. c) Suposa que el nombre de DNI d'una altra persona produeix exactament un residu $r = 22$. Si considerem la persona amb el nombre immediatament posterior ($D + 1$), dedueix quin serà el seu residu i explica detalladament què passa amb el quocient $c$. Relaciona aquest canvi amb el concepte de «formar un nou grup complet» explicat als apunts.