Exercicis: Funció quadràtica (paràbola)

Determina les coordenades del vèrtex, l'equació de l'eix de simetria i el sentit de les branques de la paràbola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Calcula els punts de tall amb els eixos de coordenades de la funció quadràtica $y = -x^2 + x + 6$.

Observa la gràfica de la paràbola següent, que és una traslació de $y = x^2$. Escriu la seva expressió algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ i desenvolupa-la per expressar-la com un polinomi de segon grau.

Calcula la taxa de variació mitjana de la funció $f(x) = x^2 - 4x$ en els intervals $[1, 3]$ i $[3, 5]$. Què indiquen els signes obtinguts sobre el creixement de la funció en aquests intervals?

Determina el domini i el recorregut de la funció $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.

Escriu l'equació de la paràbola que s'obté en desplaçar la gràfica de $y = -2x^2$ tres unitats cap a la dreta i cinc unitats cap amunt.

Calcula el valor del coeficient $c$ perquè la paràbola d'equació $y = x^2 - 6x + c$ passi pel punt $P(2, -3)$.

Indica els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.

TIPUS: ERROR D'ALTRI. En Marcos està analitzant la viabilitat econòmica d'un petit taller artesanal de calçat a Elx (Alacant). La funció que estima el benefici net mensual (en centenars d'euros) segons el preu $x$ (en euros) fixat per a cada parell d'espardenyes és $B(x) = -2x^2 + 80x - 600$.

En el seu informe, en Marcos escriu el següent:

«Com que $a = -2$ i $b = 80$, l'abscissa del vèrtex és $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-80}{-4} = 20$. Per tant, el preu òptim és $20\text{ €}$. Tanmateix, com que el coeficient $a$ és negatiu, la paràbola té les branques cap avall, cosa que significa que a $20\text{ €}$ obtenim el benefici mínim possible; per tant, mai hauríem de vendre a aquest preu».

1. a) Assenyala l'error conceptual que comet en Marcos en interpretar el sentit de les branques i el vèrtex quan $a < 0$. Explica amb claredat per què la seva conclusió és falsa.
2. b) Corregeix l'informe calculant el benefici real obtingut en vendre a $20\text{ €}$ (recorda que el resultat està en centenars d'euros) i indica si es tracta d'un màxim o d'un mínim.
3. c) Sense fer operacions llargues, explica quina relació hi haurà entre el benefici obtingut fixant un preu de $15\text{ €}$ i l'obtingut fixant un preu de $25\text{ €}$, basant-te en l'eix de simetria de la funció.

TIPUS: MODELITZA. Durant un episodi d'onada de calor a Còrdova, l'Agència Estatal de Meteorologia (AEMET) registra que la temperatura $T(t)$ en $^{\circ}\text{C}$ durant les hores diürnes (entre les $8:00$ i les $20:00$) s'ajusta amb notable precisió a la funció quadràtica:

on $t$ és el temps transcorregut en hores des de les $8:00$ del matí (és a dir, $t = 0$ correspon a les $8:00$ i $t = 12$ a les $20:00$).

1. a) A quina hora real del dia (hora oficial de rellotge) s'assoleix la temperatura màxima i quin és aquest valor segons el model?
2. b) Comprova si el model prediu la mateixa temperatura a les $10:00$ ($t = 2$) que a les $18:00$ ($t = 10$). Justifica per què passa això utilitzant el concepte d'eix de simetria sense necessitat de calcular ambdues temperatures per separat.
3. c) L'AEMET activa l'avís taronja per calor a la campiña cordovesa quan la temperatura arriba o supera els $40\text{ }^{\circ}\text{C}$. A partir del recorregut de la funció en aquest interval, raona si en aquest dia es va arribar a assolir el llindar d'avís taronja.

El llançament d'una javelina segueix una trajectòria parabòlica donada per la funció $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, on $x$ és la distància horitzontal en metres des del llançador i $h(x)$ és l'altura en metres. Quina és l'altura màxima que aconsegueix la javelina? A quina distància del llançador toca terra?

Troba l'equació de la paràbola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabent que el seu vèrtex és el punt $V(-1, 4)$ i que talla l'eix d'ordenades a $y = 2$.

Determina analíticament els punts d'intersecció entre la paràbola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ i la recta $g(x) = -x + 1$.

Un agricultor disposa de $120\text{ m}$ de tanca per tancar un camp rectangular adjacent a un riu recte. Si no necessita posar tanca al costat del riu, quines han de ser les dimensions del camp perquè la seva àrea sigui màxima? Quina és aquesta àrea màxima?

L'esquema il·lustra la disposició del camp i del riu:

Determina els coeficients $a$, $b$ i $c$ de la funció quadràtica $f(x) = ax^2 + bx + c$ sabent que la seva gràfica passa pels punts $A(0, 3)$, $B(1, 4)$ i $C(-1, 6)$.

El benefici mensual d'una empresa, en milers d'euros, ve donat per la funció $B(x) = -2x^2 + 120x - 1000$, on $x$ és el nombre d'unitats venudes (en centenars). Quantes unitats ha de vendre per maximitzar el seu benefici i a quant ascendeix aquest? Entre quins valors de $x$ l'empresa no té pèrdues?

Escriu l'expressió algebraica d'una funció quadràtica que tingui un màxim absolut de valor $8$ a $x = 3$ i la gràfica de la qual passi per l'origen de coordenades.

Donada la funció $f(x) = -2(x - 3)(x + 1)$, determina, sense desenvolupar-la a la seva forma polinòmica, els seus punts de tall amb l'eix d'abscisses, l'abscissa del seu vèrtex i el valor màxim que aconsegueix.

TIPUS: TRIA EL MÈTODE. Un equip tècnic d'un club de bàsquet de la Lliga Endesa analitza la paràbola que descriu la pilota en un llançament de tir lliure. Per estudiar l'alçada $y$ (en metres) respecte a la distància horitzontal $x$ (en metres des de la línia de tir), dos analistes presenten la mateixa funció escrita de dues maneres diferents:

• Analista A (forma desenvolupada): $f(x) = -0,2x^2 + 1,2x + 2$

• Analista B (forma canònica o de vèrtex): $g(x) = -0,2(x - 3)^2 + 3,8$

El cos tècnic necessita respondre a dues preguntes immediates:

1. Quina és l'alçada màxima assolida per la pilota i a quina distància horitzontal del tirador es produeix?

2. A quina alçada exacta surt la pilota de les mans del jugador en el moment del llançament ($x = 0$)?

1. a) Per respondre a la pregunta 1, quina de les dues expressions resulta més avantatjosa i directa? Justifica la teva resposta indicant com s'obtenen ambdues dades sense necessitat d'aplicar fórmules addicionals.
2. b) Per respondre a la pregunta 2, quina expressió permet contestar de manera immediata i per què?
3. c) Demostra que ambdues expressions són equivalents desenvolupant algebraicament la fórmula de l'Analista B.

TIPUS: MODELITZA / ESTIMA I COMPROVA. Red Eléctrica de España (REE) monitora la producció d'un parc solar fotovoltaic a Extremadura durant una jornada assolellada de primavera. La potència generada $P(t)$ (en megawatts, $\text{MW}$) entre l'alba ($6:00$) i la posta de sol ($18:00$) es modelitza mitjançant la funció:

on $t$ és el temps en hores transcorregut des de les $6:00$ ($0 \le t \le 12$).

1. a) Estima: Sabent que a les $6:00$ ($t=0$) i a les $18:00$ ($t=12$) la potència és nul·la ($0\text{ MW}$), estima a quina hora del dia esperaries que la radiació solar i la producció fossin màximes per simetria natural. Quina potència aproximada intueixes que assolirà el parc?
2. b) Comprova: Calcula analíticament les coordenades del vèrtex de la paràbola. Coincideix l'hora exacta calculada amb la teva estimació prèvia? Quina és la potència màxima real generada?
3. c) A les $14:00$ ($t = 8$), el sistema telemàtic del parc registra una generació de $480\text{ MW}$. Un operari sospita que hi ha una anomalia en els sensors. Avalua $P(8)$ en el model i determina si la lectura del sensor és correcta o si realment hi ha una avaria tècnica.
4. d) Determina el recorregut de la funció en el domini considerat i interpreta què significa el valor mínim obtingut en el context del subministrament elèctric.

Es vol inscriure un rectangle en un triangle isosceles de base $8\text{ cm}$ i altura $6\text{ cm}$, recolzant un dels costats del rectangle sobre la base del triangle. Expressa l'àrea del rectangle en funció de la meitat de la seva base, $x$, i determina les dimensions del rectangle d'àrea màxima.

Donades les paràboles $f(x) = x^2 - 4x + 3$ i $g(x) = -x^2 + bx + c$, troba els valors de $b$ i $c$ perquè ambdues gràfiques es tallin en el vèrtex de $f(x)$ i en l'eix d'ordenades.

Representa gràficament la funció $f(x) = |x^2 - 6x + 5|$ expressant-la prèviament com una funció definida a trossos. Determina els seus intervals de creixement i decreixement i els seus extrems relatius.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una exhibició de focs artificials, es llança un coet des d'una plataforma a $10\text{ m}$ d'alçària. Segueix una trajectòria parabòlica, assolint una alçària de $25\text{ m}$ a una distància horitzontal de $20\text{ m}$, i explota en tocar el terra a $60\text{ m}$ de distància horitzontal. Determina l'equació de la trajectòria $y = ax^2 + bx + c$.

Calcula el valor del paràmetre $k$ perquè la recta d'equació $y = 2x + k$ sigui tangent a la paràbola $y = x^2 - 4x + 5$. Determina també les coordenades del punt de tangència.

Un teatre té aforament per a $500$ persones. Amb l'entrada a $20\text{ \euro}$, el teatre s'omple per complet. Un estudi de mercat indica que per cada euro que augmenti el preu de l'entrada, hi assistiran $10$ espectadors menys. A quin preu s'ha de fixar l'entrada per maximitzar els ingressos del teatre? Quin serà l'ingrés màxim?

Determina els coeficients $a$ i $b$ de la funció $f(x) = ax^2 + bx - 3$ sabent que té un mínim relatiu a $x = -2$ i que la taxa de variació mitjana en l'interval $[-2, 1]$ és igual a $3$.

Es considera la família de paràboles donada per l'equació $f_m(x) = mx^2 - 2mx + 1$, on $m$ és un paràmetre real diferent de zero. Demostra que totes les paràboles d'aquesta família passen per dos punts fixos independents del valor de $m$ i calcula les coordenades d'aquests punts.

TIPUS: PROBLEMA INVERS. En el projecte de construcció d'una variant de carretera a Astúries, la Demarcació de Carreteres ha de dissenyar la boca d'un fals túnel amb perfil parabòlic simètric per protegir la calçada contra esllavissades. La secció transversal es modelitza amb una paràbola de la forma $f(x) = a(x - h)^2 + k$, on $x$ representa la posició horitzontal en metres mesurada des del centre de la calçada (és a dir, el centre està a $x = 0$) i $y = f(x)$ és l'alçada lliure en metres.

Els requisits tècnics fixats en el plec de condicions són:

1. La base del túnel sobre el terra ha de tenir una amplada total de $12\text{ metres}$ (recolzant-se a terra a $x = -6$ i $x = 6$, on l'alçada és $0\text{ m}$).

2. L'alçada màxima del túnel s'ha de situar al centre de la calçada i ser exactament de $6\text{ metres}$.

3. Normativa de seguretat viària: A $4\text{ metres}$ del centre (a $x = 4$ i $x = -4$, per on transiten els camions pels carrils exteriors), l'alçada lliure del túnel ha de ser d'almenys $3\text{ metres}$.

1. a) Identifica raonadament les coordenades del vèrtex $(h, k)$ a partir de les dades i planteja l'equació en forma canònica.
2. b) Utilitza el punt de suport a terra ($x = 6$, $y = 0$) per calcular el valor exacte del paràmetre $a$. Escriu la funció quadràtica completa que defineix el perfil del túnel.
3. c) Comprova analíticament si el disseny compleix la normativa de seguretat viària calculant l'alçada exacta a $x = 4$. Podran passar amb seguretat els transports pesants?

TIPUS: MODELITZA. Una cooperativa olivera de Jaén comercialitza garrafes de $5\text{ litres}$ d'oli d'oliva verge extra. A partir dels registres de vendes de la campanya anterior, la junta rectora disposa de les dades següents:

• Al preu base de $30\text{ €}$ per garrafa, venen una mitjana de $1200\text{ garrafes}$ al mes.

• Per cada increment de $2\text{ €}$ que apliquen al preu, la demanda disminueix en $50\text{ garrafes}$ al mes a causa del transvasament de clients cap a altres marques.

Anomenem $x$ el nombre d'increments de $2\text{ €}$ aplicats (de manera que el preu per garrafa és $P(x) = 30 + 2x$ i la quantitat venuda és $V(x) = 1200 - 50x$).

1. a) Obtén l'expressió algebraica de la funció d'ingressos mensuals de la cooperativa, $I(x) = P(x) \cdot V(x)$, en la seva forma desenvolupada $ax^2 + bx + c$. Justifica, a partir del signe del coeficient quadràtic, per què aquesta relació matemàtica assegura l'existència d'un ingrés màxim.
2. b) Determina quants increments de $2\text{ €}$ s'han d'aplicar per maximitzar els ingressos mensuals i dedueix quin ha de ser el preu final de venda al públic de cada garrafa.
3. c) El director comercial proposa: «Per tenir èxit cal vendre la quantitat més gran possible de producte; apujar el preu redueix les vendes i sempre perjudica la cooperativa». Rebat matemàticament la seva afirmació comparant els ingressos obtinguts venent al preu base de $30\text{ €}$ respecte als obtinguts amb el preu òptim calculat.
4. d) A partir de quants increments de $2\text{ €}$ la cooperativa deixaria de tenir clients? Indica el domini realista de la variable $x$ i el recorregut de la funció d'ingressos en aquest context comercial.