La función cuadrática
Lanza una pelota: sube, se frena, cae. Su trayectoria es una parábola. También lo es el chorro de una fuente, el cable de un puente colgante o la gráfica del área de un huerto según su anchura. Detrás de todas está una función con $x^2$: la función cuadrática.
La parábola y sus elementos
Mueve $a$, $b$ y $c$ y observa qué hace cada uno:
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Signo de $a$: si $a > 0$ se abre hacia arriba (∪, vértice mínimo); si $a < 0$, hacia abajo (∩, vértice máximo).
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Tamaño de $|a|$: cuanto mayor, más cerrada (estrecha) es la parábola.
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$c$: es el corte con el eje $Y$, porque $f(0) = c$.
Para cada una de estas funciones cuadráticas, indica los valores de los coeficientes $a$, $b$ y $c$, y razona, sin representarla, si la parábola tiene las ramas hacia…
Para cada una de estas funciones cuadráticas, indica los valores de los coeficientes $a$, $b$ y $c$, y razona, sin representarla, si la parábola tiene las ramas hacia arriba o hacia abajo:
- a) $y = 2x^2 - 3x + 5$
- b) $y = -x^2 + 4x$
- c) $y = 6 - x^2$
- d) $y = \frac{1}{2}x^2$
En la figura aparecen las parábolas $y = x^2$, $y = 2x^2$ e $y = \frac{1}{2}x^2$, como se muestra a continuación. a) Asocia cada parábola con su ecuación. b) ¿Qué efecto…
En la figura aparecen las parábolas $y = x^2$, $y = 2x^2$ e $y = \frac{1}{2}x^2$, como se muestra a continuación.
- a) Asocia cada parábola con su ecuación.
- b) ¿Qué efecto tiene en la forma de la parábola el valor del coeficiente $a$ en $y = ax^2$?
Indica, sin representarlas, si el vértice de cada parábola es un máximo o un mínimo de la función: a) $y = -5x^2 + 3x - 1$ b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$ c) $y = 7x - x^2$…
Indica, sin representarlas, si el vértice de cada parábola es un máximo o un mínimo de la función:
- a) $y = -5x^2 + 3x - 1$
- b) $y = 0,2x^2 - 4x + 6$
- c) $y = 7x - x^2$
Explica de qué coeficiente depende y por qué.
El vértice
Considera la parábola $y = x^2 - 4x + 3$. a) Calcula la abscisa del vértice con la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ y halla después su ordenada. b) Haz una tabla de valores…
Considera la parábola $y = x^2 - 4x + 3$.
- a) Calcula la abscisa del vértice con la fórmula $x = \frac{-b}{2a}$ y halla después su ordenada.
- b) Haz una tabla de valores tomando valores de $x$ alrededor del vértice.
- c) Represéntala e indica su eje de simetría.
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, -4)$ y pasa por el punto $P(3, 0)$. a) ¿Cuál es su eje de simetría? b) Usando la simetría de la parábola, halla otro…
Una parábola tiene su vértice en el punto $V(1, -4)$ y pasa por el punto $P(3, 0)$.
- a) ¿Cuál es su eje de simetría?
- b) Usando la simetría de la parábola, halla otro punto por el que también pase.
- c) ¿En qué puntos corta al eje $X$?
Cortes con los ejes y representación
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Eje $Y$: $(0, c)$.
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Eje $X$: resolver $ax^2 + bx + c = 0$ (ecuación de segundo grado). Dos cortes, uno (el vértice toca el eje) o ninguno, según el discriminante.
Por ejemplo, $y = -x^2 + 2x + 3$: se abre hacia abajo ($a = -1$), vértice en $x_V = \frac{-2}{-2} = 1$, $y_V = 4$; corta al eje $Y$ en $(0, 3)$ y al eje $X$ en $x = -1$ y $x = 3$.
Considera la función $y = x^2 - 2$. a) Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores para $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ y $3$. b) Representa la parábola en…
Considera la función $y = x^2 - 2$.
- a) Copia y completa en tu cuaderno la tabla de valores para $x = -3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ y $3$.
- b) Representa la parábola en unos ejes cartesianos.
- c) ¿Cuál es su vértice? ¿Y su eje de simetría?
Sin representarlas, calcula el punto de corte con el eje $Y$ de cada una de estas parábolas: a) $y = x^2 - 6x + 8$ b) $y = -3x^2 + 2x - 7$ c) $y = 4x^2$ ¿Qué coeficiente…
Sin representarlas, calcula el punto de corte con el eje $Y$ de cada una de estas parábolas:
- a) $y = x^2 - 6x + 8$
- b) $y = -3x^2 + 2x - 7$
- c) $y = 4x^2$
¿Qué coeficiente de la ecuación determina siempre este punto de corte?
Halla los puntos de corte de la parábola $y = x^2 - 5x + 6$ con los ejes de coordenadas: a) Con el eje $Y$. b) Con el eje $X$, resolviendo la ecuación…
Halla los puntos de corte de la parábola $y = x^2 - 5x + 6$ con los ejes de coordenadas:
- a) Con el eje $Y$.
- b) Con el eje $X$, resolviendo la ecuación $x^2 - 5x + 6 = 0$.
- c) Calcula el vértice y comprueba que su abscisa está justo en medio de los dos cortes con el eje $X$.
Parábolas en la vida real: máximos
Cuando un problema pregunta por la altura máxima, el área máxima o el beneficio máximo y la fórmula es cuadrática, la respuesta está en el vértice.
La gráfica muestra la altura de una pelota lanzada hacia arriba en función del tiempo, como se muestra en la figura. a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y…
La gráfica muestra la altura de una pelota lanzada hacia arriba en función del tiempo, como se muestra en la figura.
- a) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la pelota y en qué instante?
- b) ¿Desde qué altura se lanzó?
- c) ¿En qué instante vuelve la pelota a la altura de lanzamiento?
Un balón de voleibol se golpea desde el suelo y su altura, en metros, viene dada por $h = -5t^2 + 20t$, donde $t$ es el tiempo en segundos, como se muestra en la figura.…
Un balón de voleibol se golpea desde el suelo y su altura, en metros, viene dada por $h = -5t^2 + 20t$, donde $t$ es el tiempo en segundos, como se muestra en la figura.
- a) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuánto vale esa altura?
- b) ¿Cuánto tiempo tarda en volver al suelo?
- c) ¿Qué altura tiene a los $3\ \text{s}$? ¿Está subiendo o bajando?
Un hortelano quiere vallar un huerto rectangular pegado a la pared de su casa, de modo que solo necesita valla para tres lados. Dispone de $40\ \text{m}$ de valla. a) Si…
Un hortelano quiere vallar un huerto rectangular pegado a la pared de su casa, de modo que solo necesita valla para tres lados. Dispone de $40\ \text{m}$ de valla.
- a) Si el lado perpendicular a la pared mide $x$ metros, expresa la longitud del lado paralelo en función de $x$.
- b) Escribe la función que da el área del huerto en función de $x$. ¿De qué tipo es?
- c) Calcula el vértice de la parábola y deduce las dimensiones que hacen máxima el área. ¿Cuánto vale esa área máxima?