Función cuadrática (parábola)
Un balón lanzado hacia una canasta, el chorro de una fuente o el cable de un puente colgante dibujan la misma curva: una parábola. A diferencia de las rectas que ya conoces, aquí $x$ aparece elevada al cuadrado, y eso cambia todo: la gráfica tiene un punto más alto o más bajo, y no crece (ni decrece) siempre igual.
La parábola y su vértice
Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el sentido de las ramas de la parábola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Determina las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría y el sentido de las ramas de la parábola $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.
Calcula el valor del coeficiente $c$ para que la parábola de ecuación $y = x^2 - 6x + c$ pase por el punto $P(2, -3)$.
Calcula el valor del coeficiente $c$ para que la parábola de ecuación $y = x^2 - 6x + c$ pase por el punto $P(2, -3)$.
Puntos de corte con los ejes
Igual que en cualquier función: con el eje $Y$ se calcula $f(0)$ (siempre hay uno). Con el eje $X$ se resuelve la ecuación $ax^2+bx+c=0$; puede haber dos, uno o ningún corte, según el signo del discriminante.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función cuadrática $y = -x^2 + x + 6$.
Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función cuadrática $y = -x^2 + x + 6$.
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = x^2 - 4x$ en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indican los signos obtenidos sobre el crecimiento de la…
Calcula la tasa de variación media de la función $f(x) = x^2 - 4x$ en los intervalos $[1, 3]$ y $[3, 5]$. ¿Qué indican los signos obtenidos sobre el crecimiento de la función en esos intervalos?
Dominio, recorrido y crecimiento
El dominio de cualquier función cuadrática es $\mathbb{R}$: no hay ninguna $x$ prohibida. El recorrido depende del vértice y de hacia dónde se abren las ramas.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Determina el dominio y el recorrido de la función $f(x) = -3x^2 + 12x - 1$.
Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.
Indica los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x) = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 2$.
Traslaciones de la parábola
Observa la gráfica de la siguiente parábola, que es una traslación de $y = x^2$. Escribe su expresión algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ y desarróllala para…
Observa la gráfica de la siguiente parábola, que es una traslación de $y = x^2$. Escribe su expresión algebraica en la forma $f(x) = (x - h)^2 + k$ y desarróllala para expresarla como un polinomio de segundo grado.
Escribe la ecuación de la parábola que se obtiene al desplazar la gráfica de $y = -2x^2$ tres unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia arriba.
Escribe la ecuación de la parábola que se obtiene al desplazar la gráfica de $y = -2x^2$ tres unidades hacia la derecha y cinco unidades hacia arriba.
Halla la ecuación de la parábola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(-1, 4)$ y que corta al eje de ordenadas en $y = 2$.
Halla la ecuación de la parábola en la forma $y = ax^2 + bx + c$ sabiendo que su vértice es el punto $V(-1, 4)$ y que corta al eje de ordenadas en $y = 2$.
Trayectorias y optimización
Muchos fenómenos físicos (lanzamientos, caída de objetos) y problemas de "máximo beneficio" o "área máxima" se modelizan con una parábola: la respuesta está casi siempre en su vértice.
El lanzamiento de una jabalina sigue una trayectoria parabólica dada por la función $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el…
El lanzamiento de una jabalina sigue una trayectoria parabólica dada por la función $h(x) = -0,05x^2 + 2x + 1,5$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros desde el lanzador y $h(x)$ es la altura en metros. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la jabalina? ¿A qué distancia del lanzador toca el suelo?
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ y la recta $g(x) = -x + 1$. A continuación, observa la gráfica para comprobar…
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la parábola $f(x) = x^2 - 5x + 4$ y la recta $g(x) = -x + 1$. A continuación, observa la gráfica para comprobar tus resultados.
Un agricultor dispone de $120\text{ m}$ de valla para cercar un campo rectangular adyacente a un río recto. Si no necesita poner valla en el lado del río, ¿cuáles deben…
Un agricultor dispone de $120\text{ m}$ de valla para cercar un campo rectangular adyacente a un río recto. Si no necesita poner valla en el lado del río, ¿cuáles deben ser las dimensiones del campo para que su área sea máxima? ¿Cuál es esa área máxima?
El esquema ilustra la disposición del campo y del río:
Se quiere inscribir un rectángulo en un triángulo isósceles de base $8\text{ cm}$ y altura $6\text{ cm}$, apoyando uno de los lados del rectángulo sobre la base del…
Se quiere inscribir un rectángulo en un triángulo isósceles de base $8\text{ cm}$ y altura $6\text{ cm}$, apoyando uno de los lados del rectángulo sobre la base del triángulo. Expresa el área del rectángulo en función de la mitad de su base, $x$, y determina las dimensiones del rectángulo de área máxima.